小作业 3（端点效应）

设函数 \(f(x)=\dfrac{\sin x}{2+\cos x}\)，如果对于任何 \(x\ge 0\)，都有 \(f(x)\le ax\)，求 \(a\) 的取值范围。

令 \(g(x)=ax-\dfrac{\sin x}{2+\cos x}\)，则 \(\forall x\ge 0,g(x)\ge 0\)。

\(g(0)=0\)。

\(g'(x)=a-\dfrac{\cos x(2+\cos x)+\sin^2 x}{{(2+\cos x)}^2}=a-\dfrac{2\cos x+1}{{(2+\cos x)}^2}\)。

\(g'(0)=a-\dfrac13\ge 0\)，可以得到 \(a\) 至少 \(\ge\dfrac13\)。

直接猜测答案就是 \(a\ge\dfrac13\)，下面来证明充分性。

\(g(x)=ax-\dfrac{\sin x}{2+\cos x}\)，因为 \(x\ge 0\)，所以 \(x\) 相同时，\(a\) 越小，\(g(x)\) 越小，所以只需要证明 \(a=\dfrac13\) 时，满足 \(\forall x \ge 0, g(x)\ge 0\) 即可。

\(a=\dfrac13\) 时，\(g(x)=\dfrac13x-\dfrac{\sin x}{2+\cos x}\)。

\(g'(x)=\dfrac13-\dfrac{2\cos x+1}{{(2+\cos x)}^2}=\dfrac{{(2+\cos x)}^2-3(2\cos x+1)}{3{(2+\cos x)}^2}=\dfrac{{(\cos x-1)}^2}{3{(2+\cos x)}^2}\ge 0\)。

所以 \(g(x)\) 单调递增，因为 \(g(0)=0\)，所以当 \(a\ge\dfrac13\) 时，\(\forall x\ge 0,g(x)\ge 0\)。