小作业 2（飘带放缩）

证明：当 \(n>0\) 时，满足 \(\displaystyle\frac{e}{{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n}<1+\frac{1}{2n}\)。

即证 \(n\ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)+\ln\left(1+\dfrac{1}{2n}\right)>1\)。

使用飘带放缩，当 \(x\ge 1\) 时有 \(\ln x\ge\dfrac{2(x-1)}{x+1}\)。

\[n\ln\left(1+\dfrac{1}{n}\right)+\ln\left(1+\dfrac{1}{2n}\right)\ge n\frac{\frac2n}{\frac1n+2}+\frac{\frac{2}{2n}}{\frac{1}{2n}+2}=\frac{2n}{2n+1}+\frac{2}{4n+1} \]

需要证明 \(n>0\) 时，\(\dfrac{2n}{2n+1}+\dfrac{2}{4n+1}>1\)。

\[\frac{2n}{2n+1}+\frac{2}{4n+1}=1+\frac{2}{4n+1}-\frac{1}{2n+1} \]

即证 \(n>0\) 时，\(\dfrac{2}{4n+1}-\dfrac{1}{2n+1}>0\)。

\[\frac{2}{4n+1}-\frac{1}{2n+1}=\frac{1}{(4n+1)(2n+1)}>0 \]

原命题得证。

顺便证明了 \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=e\)。