小作业 1（放缩法）

证明：\(x\ge 2\) 时，\(x^3+2x\ln x>3\ln(x+1)+x^2\)。

---

常用放缩不等式：

• \(e^x\ge ex\)
• \(e^x\ge ex+{(x-1)}^2,x\in[0,+\infty)\)
• \(e^x\ge x+1\)
• \(e^x\ge 1+x+\dfrac{x^2}{2},x\in[0,+\infty)\)
• \(\ln x\le x-1\)
• \(\ln x\le \dfrac{x}{e}\)
• \(\ln x\ge 1-\dfrac{1}{x}\)
• \(\dfrac12\left(x-\dfrac1x\right)\le\ln x\le\dfrac{2(x-1)}{x+1},x\in(0,1]\)
• \(\dfrac{2(x-1)}{x+1}\le\ln x\le\dfrac12\left(x-\dfrac1x\right),x\in[1,+\infty)\)

---

但是好像不用放缩？

直接设 \(f(x)=x^3+2x\ln x-3\ln(x+1)-x^2\)，即证 \(x\ge 2\) 时，\(f(x)>0\)。

\(f'(x)=3x^2+2+2\ln x-\dfrac{3}{x+1}-2x=(3x^2-2x+2)+2\ln x-\dfrac{3}{x+1}\)。

由于 \(3x^2-2x+2\) 在 \(x\ge 2\) 时单调递增，所以 \(f'(x)\) 在 \(x\ge 2\) 时单调递增。

\(f'(2)=9+2\ln 2>0\)，所以当 \(x\ge 2\) 时，\(f'(x)>0\)，即 \(f(x)\) 在 \(x\ge 2\) 时单调递增。

\(f(2)=4+4\ln 2-3\ln 3=4(1+\ln 2)-3\ln 3=4\ln (2e)-3\ln 3>0\)，所以 \(x\ge 2\) 时 \(f(x)>0\)。

---

小作业 2 用导数会被创飞，来补一下小作业 1 的放缩法证明。

\[f(x)=x^3-x^2+2x\ln x-3\ln(x+1)\ge x^3-x^2+2x\left(1-\frac1x\right)-3x \]

当 \(x=1\) 时 \(\ln x=1-\dfrac1x\)，当 \(x=0\) 时 \(\ln(x+1)=x\)，所以两个不等式不能同时取等，所以 \(f(x)>x^3-x^2+2x\left(1-\dfrac1x\right)-3x\)。

\[x^3-x^2+2x\left(1-\frac1x\right)-3x=x^3-x^2-x-2=(x-2)(x^2+x+1) \]

当 \(x\ge 2\) 时，\(x-2\ge 0\) 且 \(x^2+x+1>0\)，所以 \(f(x)>0\)。