南京二模概率压轴题

不透明的口袋中装有编号分别为 \(1,2,\ldots, n(n\ge 2,n\in \mathbb{N}^*)\) 的 \(n\) 个小球，小球除编号外完全相同，现从中有放回地任取 \(r\) 次，每次取 \(1\) 个球，记取出的 \(r\) 个球的最大编号为随机变量 \(X\)，则称 \(X\) 服从参数为 \(n,r\) 的“BM”分布，记为 \(X\sim \mathrm{BM}(n,r)\)。

（1）若 \(X\sim\mathrm{BM}(2,2)\)，求 \(P(X=2)\)；
（2）若 \(X\sim\mathrm{BM}(4,m)\)，且 \(E(X)\ge\dfrac{13}{4}\)，求 \(m\) 的最小值；
（3）若 \(X\sim\mathrm{BM}(n,n)\)，求证：\(\forall n\ge 2\) 且 \(n\in\mathrm{N}^*\)，\(E(X)>n-1\)。

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（1）\(\displaystyle P(X=2)=1-\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{3}{4}\)。
（2）\(\displaystyle E(X)=\sum_{i=1}^4 1-{\left(\frac{i-1}{4}\right)}^m\ge \frac{13}{4}\)，枚举可得 \(m\) 最小值为 \(3\)。
（3）

\[E(X)=n-\sum_{i=1}^{n-1} {\left(\frac{i}{n}\right)}^n \]

需要求证 \(E(X)>n-1\)，只需要说明 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1} {\left(\frac{i}{n}\right)}^n<1\)，即 \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n-1} i^n<n^n\)。

我想到一种用数学归纳法的证明方法。

我们尝试证明 \(\displaystyle \sum_{i=1}^{m-1}i^n<m^n\) 对于所有 \(1\le m\le n,n\ge 2\) 都成立。

当 \(m=1\) 时显然命题成立。

假设对于所有 \(1\le m<k\) 时，命题成立，现在尝试证明 \(m=k\) 时命题也成立。

\[m^n=(m-1+1)^n=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}(m-1)^i\ge (m-1)^n+n(m-1)^{n-1} \]

\[n(m-1)^{n-1}\ge(m-1)^n>\sum_{i=1}^{m-2}i^n \]

所以 \(\displaystyle m^n=(m-1)^n+n(m-1)^{n-1}\ge (m-1)^n+(m-1)^n>(m-1)^n+\sum_{i=1}^{m-2}i^n=\sum_{i=1}^{m-1}i^n\)。

原命题得证。