三角函数学习笔记

1. 三角函数的定义

高考似乎只考 \(\sin\)、\(\cos\) 和 \(\tan\)，这里只学习这三类三角函数。

在平面直角坐标系上画一个以 \((0,0)\) 为圆心，半径为 \(1\) 的圆。从 \((1,0)\) 开始，在圆弧上逆时针走 \(\alpha\) 的距离，会走到一个点 \((x,y)\)，那么 \(\cos\alpha=x,\sin\alpha=y,\tan\alpha=y/x\)。

2. 三角函数的图象

\(\sin x\) 为奇函数，周期 \(2\pi\)，值域 \([-1,1]\)，过 \((0,0)\)。
\(\cos x\) 为偶函数，周期 \(2\pi\)，值域 \([-1,1]\)，过 \((0,1)\)。
\(\tan x\) 为奇函数，周期 \(\pi\)，值域 \(\mathbb{R}\)，过 \((k\pi,0)\)，渐近线为 \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\)，每个周期内单调递增。

3. 诱导公式

诱导公式是一系列研究 \(\sin(x+\frac{k\pi}{2}),\cos(x+\frac{k\pi}{2}),\tan(x+\frac{k\pi}{2})\) 和 \(\sin x,\cos x,\tan x\) 之间关系的公式。

3.1. 基础公式（周期性与奇偶性）

\(\sin(-x) = -\sin x\)
\(\cos(-x) = \cos x\)
\(\tan(-x) = -\tan x\)
\(\cot(-x) = -\cot x\)
\(\sin(2\pi + x) = \sin x\)
\(\cos(2\pi + x) = \cos x\)
\(\tan(\pi + x) = \tan x\)
\(\cot(\pi + x) = \cot x\)

3.2. 角度变换公式（\(\pi\pm x\)）

\(\sin(\pi - x) = \sin x\)
\(\sin(\pi + x) = -\sin x\)
\(\cos(\pi - x) = -\cos x\)
\(\cos(\pi + x) = -\cos x\)
\(\tan(\pi - x) = -\tan x\)
\(\tan(\pi + x) = \tan x\)
\(\cot(\pi - x) = -\cot x\)
\(\cot(\pi + x) = \cot x\)

3.3. 角度变换公式（\(\pi/2\pm x\)）

\(\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x\)
\(\sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos x\)
\(\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x\)
\(\cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin x\)
\(\tan(\frac{\pi}{2} - x) = \cot x\)
\(\tan(\frac{\pi}{2} + x) = -\cot x\)
\(\cot(\frac{\pi}{2} - x) = \tan x\)
\(\cot(\frac{\pi}{2} + x) = -\tan x\)

3.4. 角度变换公式（\(3\pi/2\pm x\)）

\(\sin(\frac{3\pi}{2} - x) = -\cos x\)
\(\sin(\frac{3\pi}{2} + x) = -\cos x\)
\(\cos(\frac{3\pi}{2} - x) = -\sin x\)
\(\cos(\frac{3\pi}{2} + x) = \sin x\)
\(\tan(\frac{3\pi}{2} - x) = \cot x\)
\(\tan(\frac{3\pi}{2} + x) = -\cot x\)
\(\cot(\frac{3\pi}{2} - x) = \tan x\)
\(\cot(\frac{3\pi}{2} + x) = -\tan x\)

3.5. 其他常用公式

\(\sin(2\pi - x) = -\sin x\)
\(\cos(2\pi - x) = \cos x\)
\(\tan(2\pi - x) = -\tan x\)
\(\cot(2\pi - x) = -\cot x\)

"奇变偶不变，符号看象限"：若 \(k\) 是奇数，那么 \(\sin\) 会变成 \(\cos\)，\(\cos\) 会变成 \(\sin\)，\(\tan\) 会变成 \(\cot\)，\(\cot\) 会变成 \(\tan\)；若 \(k\) 是偶数，函数名不变。符号可以先认为 \(x\) 位于第一象限，此时 \(\sin x\)、\(\cos x\)、\(\tan x\)、\(\cot x\) 都是正的，然后找到 \(x+\frac{k\pi}{2}\) 位于哪个象限，由此判断 \(\sin/\cos/\tan/\cot(x+\frac{k\pi}{2})\) 是正的还是负的，并写出公式中的符号。

4. 三角恒等变换

首先根据三角函数的定义有 \(\sin^2 x+\cos^2 x=1\)。

4.1. 两角和差公式

\(\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\sin\beta\cos\alpha\)
\(\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\cos\beta\)
\(\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\)
\(\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\)

4.2. 二倍角公式

\(\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\)
\(\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha\)
\(\tan 2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}\)

推论：

\((\sin\alpha\pm\cos\alpha)^2=1\pm\sin 2\alpha\)
\(2\cos^2\alpha=1+\cos 2\alpha\)
\(2\sin^2\alpha=1-\cos 2\alpha\)

4.3. 万能公式

可以将 \(\sin 2\alpha\)、\(\cos 2\alpha\)、\(\tan 2\alpha\) 只用 \(\tan \alpha\) 表示。

\(\sin 2\alpha=\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}=\frac{2\tan\alpha}{1+\tan^2\alpha}\)
\(\cos 2\alpha=\frac{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}=\frac{1-\tan^2\alpha}{1+\tan^2\alpha}\)
\(\tan 2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}\)

4.4. 辅助角公式

\(a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x)=\sqrt{a^2+b^2}(\cos\varphi\sin x+\sin\varphi\cos x)=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)\)，由于系数平方和为 \(1\)，所以可以用某个角度 \(\varphi\) 的 \(\cos\varphi\) 和 \(\sin\varphi\) 拟合系数。

4.5. 积化和差与和差化积

\(\cos\alpha\cos\beta=\frac{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}{2}\)
\(\sin\alpha\sin\beta=-\frac{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)}{2}\)
\(\sin\alpha\cos\beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}{2}\)
\(\cos\alpha\sin\beta=\frac{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)}{2}\)
\(\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\)
\(\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\)
\(\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\)
\(\sin\alpha-\sin\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\)

5. 复分析视角下的三角函数

欧拉公式：\(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\)。

欧拉公式证明：

根据泰勒展开，有：

\(e^x=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^i}{i!}\)
\(\cos x=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^ix^{2i}}{(2i)!}\)
\(\sin x=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(-1)^ix^{2i+1}}{(2i+1)!}\)

\(e^{ix}=\sum_{j=0}^{\infty}\frac{(ix)^j}{j!}=\left(\sum_{j=0}^{\infty}\frac{(-1)^jx^{2j}}{(2j)!}\right)+i\left(\sum_{j=0}^{\infty}\frac{(-1)^jx^{2j+1}}{(2j+1)!}\right)=\cos x+i\sin x\)

推论：\(\cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2},\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\)。

三角恒等变换公式证明：

\(\sin(\alpha+\beta)=\frac{e^{i(\alpha+\beta)}-e^{-i(\alpha+\beta)}}{2i}=\frac{(e^{i\alpha}-e^{-i\alpha})(e^{i\beta}+e^{-i\beta})+(e^{i\alpha}+e^{-i\alpha})(e^{i\beta}-e^{-i\beta})}{4i}=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha\)
\(\cos(\alpha+\beta)=\frac{e^{i(\alpha+\beta)}+e^{-i(\alpha+\beta)}}{2}=\frac{(e^{i\alpha}+e^{-i\alpha})(e^{i\beta}+e^{-i\beta})}{4}-\frac{(e^{i\alpha}-e^{-i\alpha})(e^{i\beta}-e^{-i\beta})}{4i^2}=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\)

\(\tan(\alpha+\beta)=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}=\frac{\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\)