IMO2004代数预选题

\textbf{解：}存在这样的函数。 令 \[ H(x)=\frac{(x+1)(2x-1)(x-2)}{x(x-1)}. \] 对于 \[ x\notin\left\{-1,0,\frac12,1,2\right\}, \] 定义 \[ f(x)=\operatorname{sgn}H(x). \] 对于特殊点，定义 \[ f(0)=1,\qquad f(1)=-1, \] 以及 \[ f(2)=1,\qquad f(-1)=f\left(\frac12\right)=-1. \] 下面验证该函数满足条件。 首先， \begin{align*} H(1-x) &= \frac{(2-x)(1-2x)(-1-x)} {(1-x)(-x)}\\ &= -\frac{(x+1)(2x-1)(x-2)} {x(x-1)}\\ &=-H(x). \end{align*} 因此，当 $x+y=1$ 且 $x\ne y$ 时， \[ y=1-x, \] 从而在非特殊点处有 \[ f(y)=-f(x), \] 即 \[ f(x)f(y)=-1. \] 其次， \begin{align*} H\left(\frac1x\right) &= \frac{ \left(\frac1x+1\right) \left(\frac2x-1\right) \left(\frac1x-2\right)} { \frac1x\left(\frac1x-1\right) }\\ &= -\frac{(x+1)(2x-1)(x-2)} {x(x-1)}\\ &=-H(x). \end{align*} 因此，当 $xy=1$ 且 $x\ne y$ 时， \[ y=\frac1x, \] 于是同样有 \[ f(y)=-f(x), \] 故 \[ f(x)f(y)=-1. \] 最后检查特殊点。 对于 $x+y=1$，特殊点中非平凡的配对为 \[ 0\leftrightarrow1,\qquad -1\leftrightarrow2. \] 由定义， \[ f(0)f(1)=1\cdot(-1)=-1, \] 且 \[ f(-1)f(2)=(-1)\cdot1=-1. \] 点 $1/2$ 满足 $1/2=1-1/2$，但题设要求 $x\ne y$， 故无需考虑。 对于 $xy=1$，特殊点中非平凡的配对为 \[ \frac12\leftrightarrow2, \] 并且 \[ f\left(\frac12\right)f(2) =(-1)\cdot1=-1. \] 而 $1$ 和 $-1$ 在取倒数时都映到自身， 由于题设要求 $x\ne y$，也无需考虑。 综上，所构造的函数满足题目要求，因此 \[ \boxed{\text{存在这样的函数 }f.} \]