2023年南京大学“飞迪计划”二次选拔考试题（数学）
2023年南京大学“飞迪计划”二次选拔考试题（数学）
如果同学们有类似的考试，欢迎回忆题目分享给我，我会提供详细解答。
2023年南京大学“飞迪计划”选拔考试题目（数学部分）
考试时间：2023年9月7日14:00~17:00
“飞迪计划”介绍
“飞迪计划”(Fiddie's talent training plan)是以南京大学数学系校友飞迪命名的一个选拔项目．
考试内容：数学、物理、算法、英语．其中，
- 数学部分有五个解答题，前四题满分15、第五题满分40；
- 物理部分有五个解答题，每题满分都是20分，难度介于高考和高中物理竞赛之间；
- 算法部分有三道题，需要结合实际问题，从已有的算法出发，对算法进行改进，并分析算法的表现能力；
- 英语部分是4篇六级水平的阅读（各5道选择题，共40分）、1篇六级水平的翻译（共30分）、1篇学术文章阅读（数学、物理、算法三选一，共30分，包含两个选择题和两个问答题）．
考试对象：2023级本科大一新生．
数学部分考查范围：中学数学、微积分．
第一题 (15分)
证明：任给7个实数，其中必定存在两个实数x，y，满足
0 < \dfrac{x-y}{1+xy} < \dfrac{\sqrt{3}}{3}. \\
第二题(15分)
已知平面上有10个圆，任意两个圆都相交，是否存在直线l，与每个圆都有公共点？证明你的结论．
第三题(15分)
已知a，b，c为正实数，且三次方程x^3-ax^2+bx-c=0有三个实根，证明：三次方程的三个实根为某三角形三边长的充要条件是：-a^3+4ab-8c>0．
第四题(15分)
正整数n的“重复表示”是把这个正整数n重复写两遍，比如：2023的“重复表示”是20232023．
问：是否存在正整数n，它的“重复表示”是完全平方数？如果是，请给出尽可能多的这样的正整数n；如果不是，请说明理由．
第五题(40分)
定义在区间I\subset\mathbb{R}上的函数f:I\to\mathbb{R}的Legendre变换 是函数
f^*(t)=\sup\limits_{x\in I}(tx-f(x)). \\
证明:
（1）使得f^{\ast}(t)\in\mathbb{R}(即f^{\ast}(t)\ne\infty)的值t\in\mathbb{R}构成的集合I^*可能是空集、单点集或者区间．而如果I^{\ast}是区间，则函数f^{\ast}(t)在I^{\ast}上是凸函数．
（2）若f是凸函数，则I^{\ast}\ne\varnothing且当f^{\ast}\in C^0(I^{\ast})时，
(f^{\ast})^{\ast}(x)=\sup\limits_{t\in I^{\ast}}(xt-f^{\ast}(t))=f(x) \\
对任意的x\in I成立．也就是说，凸函数的Legendre变换是对合变换. （一个变换\mathcal{F}是对合变换指的是\mathcal{F}^2=I, 其中I表示恒等变换.）
（3）当x\in I, t\in I^*时，有如下Young不等式的推广版本:
xt\le f(x)+f^{\ast}(t). \\
（4）当f是凸的可微函数时，f^{\ast}(t)=tx_t-f(x_t)，其中x_t由方程
t=f'(x) \\
确定；给出Legendre变换f^{\ast}及其自变量t的几何解释.
（5）当\alpha>1且x\ge 0时，函数f(x)=\dfrac{1}{p}x^p的Legendre变换是函数f^{\ast}(t)=\dfrac{1}{q}t^q, 其中t\ge 0且p^{-1}+q^{-1}=1．并证明Young不等式
xt\le\dfrac{1}{p}x^p+\dfrac{1}{q}x^q. \\
（6）函数f(x)=e^x的Legendre变换是函数f^{\ast}(t)=t\ln\dfrac{t}{e}, t>0，并且满足不等式
xt\le e^x+t\ln\dfrac{t}{e}, \forall x\in\mathbb{R}, t>0. \\ 后记
我手中其实还有同学们提供的“2023年南京大学数学系拔尖班二次选拔考试”回忆版题目的。但是因为直接复制粘贴搬运，并且【不标注来源】的号实在是太多，结果他们发的推送的点击量比我发的点击量多得多。关键是在微信举报，客服那边也说没有侵权违规，举报无门。所以我决定尘封一段时间再说，最近不打算发布数拔的题目和解答了。
