几何学基础

这学期[22秋]我担任王老师的几何学基础的助教之一,在大家正式开始学习这门课前,先介绍一下这门课程之前还是4学分时盛茂老师的教学内容和注意事项(课程讲义是盛老师与王老师共同完成的,以下部分可能会有不讲的,也可能会有新增的,仅供参考):

第一部分,几何史与公理化。这部分的内容看起来比较简单,也有很多故事性的成分,不过,最重要的是公理化的思想:如何用最少的“限定”所给出我们常见的三维欧氏空间的性质?这样的定义与另一套之前或许接触过的“向量”系统是否能很好地“相容”?从这套性质出发能否得到熟悉的完整体系?从欧几里德到希尔伯特的故事中,可以看到公理化过程的发展。此外,通过这部分的学习,也应掌握严谨书写证明的能力(每一步都有据可依)。

第二部分,平面(解析)几何。这部分的要点是几何与代数的连接。点和直线如何与数和方程对应?几何操作如何与向量运算对应?变换如何与矩阵运算对应?变换群是什么?不同种类的变换对应的变换群是怎样的?值得注意的是,这里有一些复杂的细节操作与证明(例如引入内积时),但个人认为这些证明并不是掌握的重点,最重要的还是建立好联系(Tips:学好代基^_^)。克莱因的观点中,几何是研究变换群作用下不变的性质,而接下来的过程则是对此给出具体的例子:

第三部分,刚体变换。刚体变换——平移、旋转、翻折可能是我们最熟悉的变换,而它保持的性质也就是我们最常见的“形状”与“大小”(矩阵的角度具体是什么保持了形状/大小,将在线性代数中学到,具体来说,矩阵的行列式决定了大小的变化,而形状的变化则可以由分离出正交阵[即旋转翻折对应的矩阵]得到较简单的形式)。由于事实上在中学的学习中,我们已经接触到了不少刚体变换的操作,这一块的学习不会太过困难。不过,将这些熟悉的操作与并不熟悉的矩阵相匹配时,还是会存在难度,这里推荐3Blue1Brown的线性代数系列视频(B站可以搜到),应该几乎覆盖了这一块的代数相关。

第四部分,二次曲面分类。这事实上是利用代数去研究几何的一个很好的例子,藉由代数上对三元二次多项式的刚体变换处理与分类得到几何上对三维空间中二次曲面的处理与分类。虽然涉及的知识不算太难,但是代数的处理并不简单,也需要一定的基本功。多算几个具体的情况可能是比较好的选择,而比起死记硬背十几类二次曲面是什么,更应注意分类后将每类视为相同的“等价类”思想。(事实上,二次曲面的分类是在仿射变换的意义下的等价类,仿射变换可以看作刚体变换与伸缩的复合。)

第五部分,射影变换。从刚体与欧氏平面走到射影经历了一个“自然”的想法——平行直线交于无穷远点。然而,想要从这件事出发建立完整的几何理论是一个十分困难的事。在这段,会学习到射影直线、射影平面、齐次坐标系等一系列新概念,也是课程相对最困难的部分。想要学好这一部分,有三件事非常重要:首先,虽然射影平面很难有整体的直观,但我们可以建立“局部”的直观,将它看成欧氏平面添加一些东西(事实上,其可以看成三个欧氏平面叠加,这也就是基础的流形思想),从而先在局部进行理解。其次,回到代数去,射影几何就是研究射影变换群下不变性质的几何(课程中也会学到,“交比”会成为所期待的不变性质)。当无法从直观上处理时,解方程或许是个不错的选择,也或许能从解的结果中发现性质。第三,“等价类”的思想。我们所操作的“点”可以看成是一列坐标,每次操作都是对其整体进行操作。因此,在遇到问题时,要熟悉对“良好定义”的考虑(也就是说,同一个等价类的东西在操作后不会分离到两个等价类中)。

第六部分,从射影的角度重新看平面几何。射影平面上有一个非常特殊的性质,即点线对偶。任何两不同点有且仅有一条直线同时经过,任何两不同直线有且仅有一个交点,将点与直线对应转换后,能得到互相等价的两个命题。因此,有些问题通过对偶原理得到的另一表述可能更加简洁。另一方面,将欧氏平面看成射影平面的一部分后,通过将“有共同交点”变换为“相互平行”,之前看起来复杂且困难的比例问题可能变得简单,比如有些同学可能在竞赛中接触过的调和点列的一系列问题。再比如,如果在射影平面中进行二次曲线的分类,会得到一个优美的结论:非退化二次曲线(椭圆/双曲线/抛物线)在射影空间中是同一类,并且对应着圆与无穷远直线相离/相交/相切。

第七部分,拓扑基础。某种意义上,拓扑是研究连续变换下不变性质的学科,关心的是最广义角度的“连续性”。在数学分析A2中涉及的平面上的开集闭集等,是拓扑在欧氏平面上的具体表现。这一部分没有太多硬核内容,主要是科普与一些有趣的拓扑性质(如欧拉示性数),算是对之后拓扑学课程的一个小小的先导。

如果说从这门课程中能学到什么,除了上述知识与思想外,还有一个非常重要的东西:对“直观”理解与思考。从刚体变换到射影变换再到连续变换,变换所能保持的良好性质越来越少,我们也越来越难建立直观。某种意义上,学几何学是为了培养直观,也是为了摆脱直观。从笛卡尔引入坐标系起,“直观”的图形变成了“不直观”的方程式,有些结论却变得更加简洁。在大家苦于高考解析几何的暴算时,不妨想想,如果没有这样清晰的计算工具,如何研究椭圆?当矩阵变换下,很多性质都无法确定时,我们为了得到最终结果,还是需要“抽象”的代数。另一方面,直观仍然重要,因为它可以带来对一些结论的敏感。哪怕是代数中,很多时候为了建立理解,都要举出很多例子,为的就是让某个抽象的定理更加“直观”。几何中更是如此,我们希望射影平面可以部分当作欧氏平面处理,就是因为可以在欧氏平面中画出具体的图形,更好体会结论。所以,这门课程中几何与代数的结合,或许也是在构建一个直观与抽象间的平衡。

另一个值得提醒的是,这门课被有的同学戏称为「线性代数A0」,足见其线代含量。如果轻视了矩阵和相关的处理技巧,也很难把这门课学好(这也是为什么上方推荐了线性代数相关的视频)。其中涉及的最难部分大概在二次型对角化(二次曲面分类)处,到时候可能会根据讲课情况补充一些前置知识。

王作勤老师,人称火箭,一直都是以极高的课程质量与相对困难的内容闻名数院(但考试应该不会为难大家,给分也非常好)。目前,我还并不清楚老师准备讲述哪些内容(个人推测以上的部分是会覆盖的),不过,不管怎么说,希望和大家一起进行这一个学期的学习后,能对几何产生更深的认识(也能和我一起喜欢上🚀老师[确信])。


3B1B新出了一个很不错的有关几何直观的视频:几个错误直观带来的伪证,值得一看。

 

课是好课,老师是好老师,讲义是不那么好的讲义,不过影响不大。考试结束后我们也看到了新版讲义,问题已经优化了许多。

这门课的内容大概是这样的:

1.几何与公理化   前两节课,老师讲了几何发展史,介绍了从欧几里得到希尔伯特的几何公理体系。

2.三维欧氏空间   引入向量,用向量描述几何对象,最后还验证了希尔伯特公理。个人认为这部分讲得有点拖沓,对向量性质的严格证明所占篇幅较大。引入向量时似乎用的是比较公理化的描述,难懂一些,后面的章节也或多或少有这种感觉。我觉得可以把严格的证明留作选读材料,重点讲向量的应用即可,给后面的射影多留点时间。

3.刚体变换   到这里算是进入主题了。引入刚体变换群,用新观点看几何,初步介绍了坐标变换,在此基础上进行了二次曲面的分类。这里和以后会用到一些矩阵的知识,但算是比较基本的内容,没学过也不难接受,对课程的学习影响不大。此外,这一部分强调用群的观点看刚体变换,较多使用了刚体变换的复合,漂亮地解决了很多问题,使人耳目一新。

4.几何与变换   在刚体变换的基础上扩大范围,研究更一般的几何变换群(不过是二维的)。这一部分算是射影变换之前的过渡。

5.射影平面   提出一个观点:重要的不是点是什么,而是点与点的关系是什么,这导致几何结构的产生。开始并不理解这句话,等到学完这部分就懂了:射影几何对点有了全新的认识。引入齐次坐标,用射影平面的新观点看几何。这一章的讲义对齐次坐标的引入稍显突兀,并没有把齐次坐标和“射影”联系起来,造成了一定的理解障碍。不过老师上课讲得比较清楚,新版讲义也有了改进。

6.射影变换   建立除原点的三维空间到射影平面的映射,以此为基础用几何变换定义了射影变换。可以注意到射影变换与之前的几何变换有密切的联系。这一部分依然用到大量矩阵,重点是射影变换保直线保交比的性质。最后进行了射影平面上二次曲线的分类,利用射影观点看欧氏几何,证明了Pappus定理和Desargues定理。

最后一节课的末尾老师还粗略介绍了拓扑变换。

总的来说上这门课的收获很大,老师上课很有激情,思路很清晰,打破了解析几何“暴算”的传统,使我体会到了几何的趣味。在这门课中,我不仅收获到几何知识,还得到了许多好观点,我对几何有了不一样的认识。美中不足就是讲义思路并不清晰,有时会略去一部分证明的过程(留作习题),也经常理不清逻辑关系(为什么引入这个概念?这一步是什么意思?这个结论是哪来的?证完了吗?)。不过老师讲课可以弥补这一缺陷,且新版讲义已有所改善。(PS:新版讲义有了章末习题,老师的手绘图也变成了电脑绘图)

最后说评分。老师出卷可以说是相当照顾我们了,期中期末两次考试都非常容易,还有很多作业题。试卷改得很松,也没有向下调分,还捞了卡绩的同学。我已经被数分和英语恶心了一把,想不到本学期还能有一个4.3,吹爆!


附上上一届的期中1.jpg 2.jpg 3.jpg,感受一下考试有多容易。

又及,提醒后人注意,定义RP2RP2上的射影变换不需要保交比,保交比可以由保直线推出来(判断题大坑)!

不过下次开课大概是王老师上,不知道考试又会改成什么样了(

盛茂第一面就给人一种很有教学激情的感觉。当他在介绍知识的时候,激动得就好像在给我们介绍自己的作品。

 

其实我直到期中考试附近的时候才搞明白这个课到底在讲什么。作为一名刚刚从高中来的新生,不是很能定义这种课程的性质。但是上到最后就能发现,这个课程的主旨是十分清晰的。

 

一开始给我们讲解几何学的历史,从古希腊到欧几里得,再到后来的近代的数学家。我以为这部分是水课,就是讲故事的,所以没有认真听,结果没想到这部分还可以出题!其实就是要我们用几何的方法证明无理数的存在性,以及一些衍生的问题。

 

几何学历史的最后部分介绍了希尔伯特公理体系,可以说是整个课程中最难的毒瘤,作业里要证明出“ASA能推出三角形全等”难倒了一群人。但是在最终的考试里,公理体系也只是出几道常识判断题的程度,老师并没有用这个东西来为难我们。之所以要在作业中出难题,老师说是因为“我觉得这个基础性的思想是你们需要了解的”。

 

然后就是欧氏几何了。三维空间中的直线、平面、向量、点积、叉积,以及它们之间的关系,怎么方便地计算。然后就是这个课程的第一个重头戏:刚体变换与二次曲面。刚体变换就是旋转和平移的复合(但是这是需要证明的),然后我们要把三维空间中的所有二次曲面进行分类,最后分出15个类型。这一部分对群论和线性代数的知识提出了一些要求,所以如果是少院的同学,建议先学一学这些前置知识,比如看一看B站上3B1B的线性代数系列视频,然后请求助教在习题课上讲一讲群论基础。

 

学完了这些,就是期中考试。恰好就在这时,我们的教材上出现了经典的一句话:“很好。那么,几何学到底是什么呢?”在刚体变换的下一章就给出了答案。

 

期中考试后,盛茂老师和他的课本,又以一种十分顺滑的逻辑思路,把我们从刚体变换带到了仿射变换,并引导出了射影直线和射影平面的概念。全程都没有任何一个概念是凭空产生的塞给我们的,都是从前面的一些概念“自然导出”的。在克服了听懂理解上的困难之后,你会发现整个课程的逻辑链条都非常完整而优美。这正是盛茂老师所追求的课堂,也是他想带给我们的数学世界。

 

射影几何内部的知识就不说了,举它的几个应用。比如透视变换:我过去曾经尝试学习计算机图形学,怎么把世界中的三维坐标转换为摄像机上的二维透视图像,当时就并不深入地学习过透视变换。如今老师从透视变换的源头给我们讲解原理,可以说是醍醐灌顶,而且还发现了透视变换的很多其他用处(比如证明多点共线)。除此之外,还有一些中学数学竞赛会需要用到的定理(Pappus定理等),在这里我们用射影几何的方法去证明,整个过程简直就是逻辑的艺术品。因为射影平面的对偶性(任意两根直线都有交点,正如任意两个点都能确定一条直线),这些定理的对偶命题可以以完全相同的方式证明。在这里我大概明白了射影几何存在的意义,因为它是一个更加完善的系统,虽然并没有那么直观。

 

最后,在课程的最后一章,老师蜻蜓点水地给我们讲了半节课(即1.5个课时)的拓扑几何的知识,大概了解了一下。

 

最后的给分还没出来,但是已经查过期末和期中卷子了。助教真的很负责任,而且改的分数也比较宽松,只要能理解出你的意思是对的就不会因为你的笔误扣分。

 

这个学期是盛茂老师最后在科大教课了,所以以后还有其他老师的话,希望他/她也能像盛茂老师这样有激情和光芒。

posted on 2022-12-11 12:31  Eufisky  阅读(607)  评论(0编辑  收藏  举报

导航