1028D basket

提供一个 \(\mathcal O(NK)\) 做法。

考虑同其他题解，建图

\[x\to x-2,\qquad x\to x+K,\qquad x\in[2,n] \]

则被删去的点集合法，等价于导出子图无环。

对偶数 \(K\)，奇偶独立，相当于计数不包含连续 \(\frac K2+1\) 个 \(1\) 的二进制串，分开做完乘起来即可。

---

对奇数 \(K\)，令 \(h=\frac {K+1}{2}\)，把同奇偶、间距为 \(2\) 的连续选中点称为一段。

两段异奇偶的区间 $ [a,b],[c,d] $ 能够形成环，当且仅当 $ a+K\le d$ 且 \(c+K\le b\)。而且可以证明只要存在任意环，就一定存在这样的两段。

从小到大扫描顶点，维护两条奇偶序列当前极长连续 \(1\) 段：

长度至少 \(h+1\) 的段称为长段。任何时刻不可能同时存在两条长段，否则成环。

在此基础上，设 DP 状态：

• \(f(u,v)\)：表示两段均为短段，满足 \(0\le u,v\le h\)。
• \(g(j,d)\)：表示奇数段长 \(j\)，偶数段长度 \(\ge h+1\)，最多还能再延长 \(d\) 次（绿色段）。这里的 \(d\) 在偶数段超过 \(h\) 的那一刻（红色）计算。此后的 \(j\) 变化不影响 \(d\)，也不用保存偶数段实际长度。
  若不存在这样的奇数段，置 \(d\) 为 \(\infty\) 即可。

• \(h(d,j)\)：与 \(g\) 对称，表示奇数是长段。

总状态数为 \(O(K^2)\)，每个状态只有填 \(0/1\) 两种转移。

至此得到一个 \(O(NK^2)\) 时间、\(O(K^2)\) 空间 的做法。

---

进一步观察到，所有转移只有以下几种形式：

• 在短段、长段之间转移 \(O(K)\) 个边界状态
• 将某一维的所有状态求和，放到坐标 \(0\)
• 取出或清除边界行、边界列
• 某一维整体加一或减一

所以维护 二维表的循环行、列下标 以及 每行、每列的模 \(M\) 总和。整体平移只修改下标，清除、替换一行或一列是 \(O(K)\)，边界转移也是 \(O(K)\)。

即可做到时间 \(\mathcal O(NK)\)，空间 \(\mathcal O(K^2)\)。

---

欢迎品鉴代码（

#include <bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
int n, k, h, A, su, sv, lu, ld, ou, od; ll M;
ll S[505][505], L[505][505], O[505][505];
ll RS[505], CS[505], RL[505], CL[505], RO[505], CO[505], IL[505], IO[505],
   NS[505], MS[505], NL[505], ML[505], NO[505], MO[505], iL[505], iO[505],
   rH[505], cH[505], fL[505], fO[505], z0[505], z1[505];
ll md(ll x) { x %= M; return x < 0 ? x + M : x; }
ll &sx(int u, int v) { return S[(u + su) % A][(v + sv) % A]; }
ll &lx(int j, int d) { return L[(j + lu) % A][(d + ld) % h]; }
ll &ox(int i, int d) { return O[(i + ou) % h][(d + od) % h]; }
ll pw(ll b, ll e) { ll r = 1 % M; for (b %= M; e; e >>= 1, b = b * b % M) if (e & 1) r = r * b % M; return r; }
ll nr(int q) {
    static ll f[1005]; f[0] = 1 % M; ll w = 0;
    for (int i = 1; i <= q; i++) { w = md(w + f[i - 1] - (i > h + 1 ? f[i - h - 2] : 0)); f[i] = md(w + (i <= h)); }
    return f[q];
}
ll odd() {
    h = (k + 1) / 2; A = h + 1; su = sv = lu = ld = ou = od = 0;
    for (int i = 0; i < A; i++) { memset(S[i], 0, sizeof(ll) * A); memset(L[i], 0, sizeof(ll) * h); }
    for (int i = 0; i < h; i++) memset(O[i], 0, sizeof(ll) * h);
    for (ll *p : {RS, CS, RL, CL, RO, CO, IL, IO}) memset(p, 0, sizeof(ll) * (h + 1));
    ll TS = 1 % M, TL = 0, TO = 0; sx(0, 0) = RS[0] = CS[0] = TS;
    for (int t = 1; t <= (n - 1) / 2; t++) {
        for (int v = 0; v <= h; v++) rH[v] = sx(h, v);
        for (int u = 0; u <= h; u++) cH[u] = sx(u, h);
        for (int j = 0; j <= h; j++) { z0[j] = lx(j, 0); lx(j, 0) = 0; }
        for (int d = 1; d < h; d++) { CL[d] = md(CL[d] - lx(h, d)); lx(h, d) = 0; }
        CL[0] = 0;
        for (int j = 0; j <= h; j++) { iL[j] = IL[j]; IL[j] = 0; }
        for (int i = 0; i < h; i++) { z1[i] = ox(i, 0); ox(i, 0) = 0; }
        for (int d = 1; d < h; d++) { CO[d] = md(CO[d] - ox(h - 1, d)); ox(h - 1, d) = 0; }
        CO[0] = 0;
        for (int i = 0; i < h; i++) { iO[i] = IO[i]; IO[i] = 0; }
        for (int j = 0; j <= h; j++) IL[j] = md(iL[j ? j - 1 : 0] + rH[j ? j - 1 : 0]);
        IO[0] = md(iO[0] + RL[h] + CS[h]);
        for (int i = 1; i < h; i++) IO[i] = md(iO[i - 1] + cH[i - 1]);
        for (int w = 0; w < h; w++) fL[w] = fO[w] = 0;
        for (int w = 0; w < h - 1; w++) { fL[w] = md(CL[w + 1] + iL[h - w - 1] + rH[h - w - 1]); fO[w] = md(CO[w + 1] + (w < h - 2 ? iO[h - w - 2] : 0)); }
        su = (su + A - 1) % A; sv = (sv + A - 1) % A;
        if (h > 1) { lu = (lu + A - 1) % A; ld = (ld + 1) % h; ou = (ou + h - 1) % h; od = (od + 1) % h; }
        ll T = md(TS + TL + TO), a = T, b = T;
        sx(0, 0) = T;
        for (int w = 1; w <= h; w++) { sx(0, w) = md(CS[w - 1] + RL[w - 1]); sx(w, 0) = md(RS[w - 1] + RO[w - 1]); a = md(a + CS[w - 1] + RL[w - 1]); b = md(b + RS[w - 1] + RO[w - 1]); }
        for (int w = 0; w < h; w++) { lx(0, w) = fL[w]; ox(0, w) = fO[w]; }
        NS[0] = a; MS[0] = b;
        for (int u = 0; u < h; u++) { NS[u + 1] = md(2 * RS[u] + RO[u] - cH[u]); MS[u + 1] = md(2 * CS[u] + RL[u] - rH[u]); }
        TS = 0; for (int u = 0; u <= h; u++) TS = md(TS + NS[u]);
        a = IL[0]; b = IO[0];
        for (int w = 0; w < h; w++) { a = md(a + fL[w]); b = md(b + fO[w]); }
        NL[0] = a; NO[0] = b;
        for (int j = 1; j <= h; j++) NL[j] = md(RL[j - 1] - iL[j - 1] - z0[j - 1] + IL[j]);
        for (int i = 1; i < h; i++) NO[i] = md(RO[i - 1] - iO[i - 1] - z1[i - 1] + IO[i]);
        for (int w = 0; w < h; w++) { ML[w] = md((w < h - 1 ? CL[w + 1] : 0) + fL[w]); MO[w] = md((w < h - 1 ? CO[w + 1] : 0) + fO[w]); }
        TL = 0; for (int j = 0; j <= h; j++) TL = md(TL + NL[j]);
        TO = 0; for (int i = 0; i < h; i++) TO = md(TO + NO[i]);
        memcpy(RS, NS, sizeof(ll) * (h + 1)); memcpy(CS, MS, sizeof(ll) * (h + 1)); memcpy(RL, NL, sizeof(ll) * (h + 1));
        memcpy(RO, NO, sizeof(ll) * h); memcpy(CL, ML, sizeof(ll) * h); memcpy(CO, MO, sizeof(ll) * h);
    }
    if (n & 1) return md(TS + TL + TO);
    ll ans = 0;
    for (int u = 0; u <= h; u++) for (int v = 0; v <= h; v++) { ll x = sx(u, v); if (x) ans = (ans + x * ((u == h && v == h) ? 1 : 2)) % M; }
    for (int j = 0; j <= h; j++) {
        for (int d = 0; d < h; d++) { ll x = lx(j, d); if (x) ans = (ans + x * ((d && j < h) ? 2 : 1)) % M; }
        ans = (ans + IL[j] * (j < h ? 2 : 1)) % M;
    }
    for (int i = 0; i < h; i++) {
        for (int d = 0; d < h; d++) ans = (ans + ox(i, d) * 2) % M;
        ans = (ans + IO[i] * 2) % M;
    }
    return md(ans);
}
ll sol(int N, int K) {
    n = N; k = K;
    if (!(K & 1)) { h = K / 2; ll a = nr(n / 2), b = nr((n - 1) / 2); return a * b % M; }
    if (K >= n - 2) return pw(2, n - 1);
    return odd();
}
int main() {
    freopen("basket.in", "r", stdin); freopen("basket.out", "w", stdout);
    int T; if (scanf("%d", &T) != 1) return 0;
    while (T--) { int N, K; scanf("%d%d%lld", &N, &K, &M); printf("%lld\n", sol(N, K)); }
    return 0;
}