复习：mex 小学习

\(\text{mex}(S)\) 中被定义为 \(S\) 没有出现过的最小自然数。

\(\text{mex}(S)=x\) 意味着 \([0,x-1]\subseteq S\)，同时 \(x \notin S\)。

总有 \(|S|\ge \text{mex}(S)\)。

一般而言有两种考虑角度，一种是从 \(0\) 开始的极长连续段长度，另一种是满足 \(x\notin S\) 的 \(x\) 最小值。

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mex 有时候会带来一些单调性，例如在“最小 mex 生成树中”，从大到小枚举第一个“删去所有边权为 \(x\) 的边后图仍然连通”的 \(x\)，即为答案。因为若此时 \([0,x-1] \not\subseteq S\)，答案必 \(<x\)。这个过程可以用线段树分治维护。

所以“最小化 mex” 一类题目中常见的方法是从小往大尝试贪心地钦定一个数不存在，而“最大化”则是钦定一个前缀存在。

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还有另外一个性质是 \(\text{mex}(S\setminus x)=\min(\text{mex}(S),x)\)，即从 \(S\) 中删去 \(x\) 后相当于 mex 对 \(x\) 取 \(\min\)。

从这可以看出对 mex 的维护来说，删除远比加入简单，因此很多问题都可以优先从删除的角度考虑。

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更常见的情况是在序列上询问区间 \(\text{mex}\) 相关问题。

对于区间求 mex，常见的方法是：

• 用值域线段树维护每个颜色上一次出现的位置。
• 在 \(r\) 处按上一次出现位置是否 \(\ge l\)，在线段树上二分。
• 可以在线地用持久化线段树或者离线下来扫描线维护。

mex 在序列上还有很多其他性质，例如，固定左/右端点，mex 不降。

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另一种常见的操作是：对 \(r\) 扫描线，同时维护所有 \(l\) 对应的 mex。然而如上文所说，维护加数是复杂的。

更好的方法是令 \(r\) 从右往左扫描，此时只需要删数：

• 欲删去 \(r\)，记 \(a_r\) 上一次出现的位置是 \(p\)，区间 \([p+1,r]\) 对 \(p\) 取 \(\min\) 即可。
• 利用上一个单调的性质，可以通过结合线段树二分做到 \(\log n\) 每次移动。
• 由于取 \(\min\) 等价于找到边界后区间覆盖，也可以用 ODT 直接维护。

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mex 在区间上更深刻的性质是“极小 mex 区间”，区间 \(I\) 极小即不存在 \(I'\subset I\) 满足 \(\text{mex}(I')=\text{mex}(I)\)。

一个性质是“极小 mex 区间”只有 \(2n\) 个，证明考虑：

• 对 \([l,r]\)，不妨先令 \(a_l \ge a_r\)。
• \(\text{mex}(l+1,r)=\min(\text{mex}(l,r), a_l)\)，若 \(\min\) 取前者，删去 \(l\) 不劣。
• 否则 \(\text{mex}(l+1,r)=a_l\)，由 \(\text{mex}\) 全相等，只有最小的 \(r\) 使得区间极小。每个 \(l\) 至多贡献 \(1\) 个 \([l,r]\)。
• \(a_l<a_r\) 情况同理，总共至多 \(2n\) 个。

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欲处理出所有的“极小 mex 区间”，考虑对上一段 线段树/ODT 的算法改进：

• 线段树需要对每种不同值额外递归到叶子找端点。具体地，可以传入引用变量 \(H\) 表示当前右侧的最大值，每次符合条件后优先递归右侧，找到端点后更新 \(H\)，然后跳过所有同值段。复杂度均摊 \(\log n\)。
• 用 ODT 可能更简单，还可以额外给出每种 mex 等价类的 \(I=[l,r]\) 满足的 \(l\in [l_1,l_2], r\in [r_1,r_2]\) 信息。

upd on 26.11.04：放一个今天写的板子（

struct node { mutable int p, v; }; // 右端点位于 p，等价类 mex 为 v
inline bool operator < (const node& x, const node& y) { return x.p < y.p; }
std::set<node> set;

void split(int x) {
  // split x-1], [x
  if(x == 1) return ;
  auto p = set.lower_bound({x, 0}), q = p--;
  if(q != set.begin() && p->p == x-1) return ;
  set.insert({x-1, q->v});
}

struct Range { int x, y, e; };
std::vector<Range> rgex;

// ckmin [x,y) to v, remove y
void domin(int x, int y, int v) {
  split(x), split(y);

  // remove y
  auto q = --set.end();
  if(q->v) rgex.push_back({y, y, q->v});
  set.erase(q);

  // ckmin
  auto p = set.lower_bound({x, 0});
  int pos = 0;
  while(p != set.end() && p->v >= v) {
    auto q = p++; pos = q->p;
    if(q->v) rgex.push_back({ pos, y, q->v });
    set.erase(q);
  }
  if(pos) set.insert({pos, v});
}

void init() {
  int mex = 0;
  static int buc[N], tmp[N], pre[N], las[N];
  for(int i = n; i >= 1; --i) {
    ++buc[v[i]];
    while(buc[mex]) ++mex;
    tmp[i] = mex;
  }
  for(int i = 1; i <= n; ++i) pre[i] = las[v[i]], las[v[i]] = i;
  for(int i = 2; i <= n+1; ++i)
    if(i == n+1 || tmp[i] != tmp[i-1])
      set.insert({i-1, tmp[i-1]});
  for(int i = n; i >= 1; --i) domin(pre[i]+1, i, v[i]);
}