p14386 故障机器

p14386 [JOISC 2017] 故障机器

通信题，欲传递一个 \(60\) bit 的信息。\(A\) 可以向 \(B\) 传递一个长为 \(150\) 的二进制串。

其中有至多 \(40\) 个位置会在 \(B\) 收到前被置零，\(A\) 知道哪些位置会被置零，但 \(B\) 不知道。

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有两个做法，都非常巧妙。

第一种是，考虑为什么不能直接传递这个数，是因为 \(B\) 无法区分欲发送的 \(0\) 和被置零的位。

那么考虑向 \(B\) 标志一些位本身是否被置零了，比方说，每 \(2\) 位为一组，若组内至少有一个被置零，则整组全发 \(0\)。否则剩下的 \(3\) 种情况按三进制传递信息。\(B\) 收到后跳过全零的组即可。

但是最坏情况下可能恰好占掉 \(40\) 组，剩下 \(35\) 组只能传递约 \(\log_23^{35}\approx 55.4\) bit 的信息。

一个解决方法是两边约好一个随机排列，按这个排列打乱相当于被置零的位置随机了，期望只会占 \(\sim 30\) 组，就对了（

另一个比较巧的方法是，两边约好 \(150\) 个 \(60\) bit 的随机数，扣掉 \(40\) 个之后剩下的 \(110\) 个大概率满秩，在对应数上传递 \(1\) 即可。