模拟赛-六

T1 不讲（？

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T2

首先考虑建图，交换 \(A_i,B_i\) 即对边定向。

考虑枚举 \(\text{mex}(A)=x+1,\text{mex}(B)=y+1\)。

则点 \(0\sim x\) 需要入边，点 \(0\sim y\) 需要出边。

考虑 \(x\) 从大往小扫，由单调性 \(y\) 不降。

子问题即给定每个点 只需要入度/只需要出度/都需要/都不需要。需支持快速修改。

可以注意到结论是，不合法当且仅当存在一个点其需求的边数大于度数，或者存在一个连通块是树，且里面每个点都需要入度/都需要出度。

可以 \(\mathcal O(1)\) 维护。

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T3

没有 DP 的直接数做法（？

记 \(w(a)\) 为 \(a\) 的所有质因子集合。

记 \(g(T)\) 表是 \(w_a\) 的并集恰好为 \(T\) 的 \(S\) 数量。

记

\[f(T)=\prod_{p\in T}\frac{p-1}p \]

则有答案即为

\[\text{ans}=\sum_T f(T)g(T) \]

考虑 \(g(T)\) 不好求，我们转而子集反演，设

\[G(T)=\sum_{Q\subseteq T}g(Q) \]

则

\[g(T)=\sum_{Q\subseteq T}(-1)^{|T|-|Q|}G(Q)=\prod_{w_a\in T}(1+w_a) \]

代回

\[\text{ans}=\sum_T f(T)\sum_{Q\subseteq T}(-1)^{|T|-|Q|}G(Q) \]

交换求和次序

\[\text{ans}=\sum_Q G(Q)\sum_{Q\subseteq T} f(T)(-1)^{|T|-|Q|} \]

考虑组合意义即

\[\begin{align*} \text{ans}&=\sum_Q G(Q)\left(\prod_{p\in Q}\frac{p-1}p\right)\left(\prod_{p\notin Q} 1-\frac{p-1}p\right) \\&=\sum_Q G(Q)\left(\prod_{p\in Q}\frac{p-1}p\right)\left(\prod_{p\notin Q}\frac1p\right) \\&=\left(\prod_p\frac1p\right)\sum_Q G(Q)\prod_{p\in Q}(p-1) \end{align*}\]

\(a_i\) 不可能同时拥有两个 \(>\sqrt V\) 的质因子，那么枚举 \(\le\sqrt V\) 的部分(\(2^{16}\))，然后后面的质数直接统计即可，这一步跟别的题解差不多了。

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T4

和成都七中差不多的 trick，都是把连通块信息变成路径信息，然后用点分治维护。

甚至维护点到分治中心标号的 \(\text{hi},\text{lo}\) 都差不多，不过这样应该是编号在 \([L,R]\) 区间内限制带来的自然结果。

只不过这一题是三个点的斯坦纳树，但是本质相同欸。