qoj 7680 地铁

qoj7680

假如相邻两个点的 \(x\) 坐标差总是 \(\ge 3\) 就好了！不难构造如下的东西：

事实上我们真的可以让 \(\Delta x\ge 3\)！

---

一个简单的想法是我们对坐标系做某种线性变换 \(T\)，其在 \(\mathbb{Z}^2\) 上可逆，并且变换后满足 \(\Delta x'\ge 3\)，这样我们就可以在 \(x'\) 上操作，然后把方案逆映射回去。

考虑变换

\[\begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A & B\\ C & D\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} \]

取其逆矩阵

\[T^{-1}=\frac1{AD-BC} \begin{pmatrix} D & -C\\ -B & A\\ \end{pmatrix} \]

其同样须为整系数矩阵，则 \(AD=1+BC\)。

欲使 \(x'=Ax+By\) 之间的差 \(\ge 3\)，不妨取 \(a=2001,b=2003\)，易得 \(x'=b(ax+y)-y\) 满足条件，此时 \(A=ab,B=b-1\)，取 \(C=1,D=a\)，即可。

考虑我们放置的点跟某个车站的距离必 \(\le 50\)。

逆变换有 \(x=Dx'-Cy',y=Ay'-Bx'\)，那么逆映射后的 \(\Delta x\le2\times10^8\)，可以通过。