NOIP十连 day2 | #3647. 随机打乱 | #3648. 猜数

NOIP十连 day2

前两题太简单了！

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3647. 随机打乱

给定 \(n\) 个区间 \([l,r]\)，每个区间有属性 \(a\)，等于 \(l/r\) 之一，保证所有端点互不相同。

取 \(S=\emptyset\)。对每个区间依次执行：

• 若 \(S\cap[l,r]=\emptyset\)，令 \(S\leftarrow S\cup {a}\)。

随机打乱这 \(n\) 个区间，问 \(|S|\) 的期望。

\[n\le 10^3 \]

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考虑顺序确定之后区间序列为 \(R\)，我们做这样的流程。

依次枚举每个区间 \(R_i\)，对于所有 \(i<j\) 满足 \(a_i\in R_j\) 删去 \(R_j\)。

那么最后 \(|R|\) 即为所求 \(|S|\)，原因是考虑 没被删去 等价于 与\(S\)无交。

那么考虑没被删去的区间都被包含于 \(S\) 中点划分出的区间。

不难设计区间 dp: \(F(l,r)\) 表示所有 \(\subseteq [l,r]\) 的区间的 \(|S|\) 的期望。

转移有，枚举 \(R_i\subseteq [l,r]\)，贡献 \(\frac1m(F(l,a_i-1)+F(a_i+1,r))\)，其中 \(m\) 为区间个数。\(\mathcal O(n^3)\)。

从大往小枚举 \(l\)，过程中维护 \(S_r=\sum F(a_i+1,r)\)，然后从小往大枚举 \(r\)，上式第一项均摊 \(\mathcal O(n)\) 维护。总复杂度即可 \(\mathcal O(n^2)\)。

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启示（？）：

• 在某类转移需求 条件\(P\)，而 条件\(P\) 依赖以前的选择时，可以转而考虑在选择时就删去将会使得 条件\(P\) 不满足的对象，以获得更简洁的限制条件。（某种意义上的贡献预累积（？

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3648. 猜数

交互库有隐藏的 \(1\le y\le10^{18}\)，每轮可以询问 \(x\)：

• 交互库会选择返回 \(y\bmod x\) 或者 \(\left\lfloor\dfrac yx\right\rfloor\) 之一。

试在 \(4\) 轮询问内找出 \(y\)？

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考虑若 Judger 返回 \(y\bmod x=t\)，即得 \(y=kx+t\)。

若 Judger 返回 \(\left\lfloor\dfrac yx\right\rfloor=t\)，即得 \(tx\le y<tx+x\)。

若干次询问后第一类限制条件可以 CRT 合并为 \(y\equiv t\pmod X\)。第二类限制条件可以并出一个区间 \([L',R']\)。

也即 \(y=kX+t\)。\(k\in [L,R]\)。不妨记 \(D=R-L+1\)。

在此基础上，若询问 \(x\)：

• 若返回 \(y\bmod x=t\)，不妨取 \(x\) 与 \(X\) 互质，那么 \(X'=X\cdot x\)，\(D'\le\lceil\frac Dx\rceil\)。
• 若返回 \(\lfloor\frac yx\rfloor=t\)，有 \(D'\le\lceil\frac xX\rceil\)。

可以发现我们不管如何总能限制 \(D'\) 的值。初始有 \(D=10^{18}\)，所求即在 \(4\) 次询问内将 \(D\) 限制至 \(1\)。

而这个过程仅与 \(X,D\) 有关，不妨记 \(F(X,C)\) 表示当钦定一开始的 \(X\) 的情况下，最大的 \(D\) 使得 \(D'\) 能在 \(C\) 次询问内后限制至 \(1\)。即 \(D'\le F(X,C-1)\) 总成立。

因此对于我们选择的 \(x\)，有

\[\begin{cases} D'\le\left\lceil\frac xX\right\rceil\le F(X,C-1) \\ D'\le\left\lceil\frac{F(X,C)}x\right\rceil\le F(X\cdot x,C-1) \end{cases} \]

记 \(F(X,C-1)\) 为 \(E\)，有：

\[\begin{cases} x\le X\cdot F(X,C-1) \\ F(X,C)\le xf(X\cdot x,C-1) \end{cases} \]

为使 \(x\perp X\)，不妨取 \(x=X\cdot F(X,C-1)-1\)，当 \(X=1\) 时取 \(x=F(X,C-1)\)。边界处取得 \(F(X,1)=\max(X-1,2)\)。

写个暴力计算可以发现 \(4\) 次询问实际上可以确定大约 \(4\times 10^{137}\) 这么个范围内的数。那么应该是足够的（？

实现时维护 \(X,L,R\)，按上述算法构造参数即可。

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启示（？）：

• 遇到较为复杂的转移可以先写成子问题递归的形式，再单独考虑这一步，写出转移式再仔细分析。