P17320 [ICPC 2018 Nanjing R] Cherry and Chocolate

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考虑固定第一个点 \(a\) 和第二个点 \(b\)，答案即树以 \(b\) 为根，挖掉 \(a\) 及其子树后，最大子树的大小。

第二步时，后手会取最小化上述值的 \(b\)，也即子树的重心。

那么一个 \(O(n^2)\) 的方法是枚举 \(a\)，以 \(a\) 为根处理每个子树的重心。

一个很巧妙的观察是：若 \(a\) 对应最优解为 \(b_0\)，则更优的 \(a'\) 只可能位于 \(a\) 的 \(b_0\) 方向的子树中。

考虑若 \(a'\) 不往 \(b_0\) 方向移动，相当于以 \(b_0\) 为根的树的某棵子树大小增加，这样答案一定不优。

那么类似点分治的方法在树上二分即可做到 \(\mathcal O(n\log n)\)。

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这个 trick 在 此题 中亦有提及。其共性是当我们取任意一点，可以 \(\mathcal O(n)\) 的判定欲求点位于根的哪个子树内。

这提供了某种类似二分的单调性/有界性，所以称作 树上二分（？