qoj18373 Counting Trees

给定 \(2^k\) 个点的完全图，边 \((u,v)\) 带边权 \(w=u\oplus v\)。

给定权值 \(a_*,b_*\)。 一个生成树 \(T\) 的权值为

\[\left(\sum_eb_w\right)^q\prod_ea_w \]

问，对于每个 \(d\)，满足 \(d=\displaystyle\bigoplus_e w_e\) 的生成树边权之和。

\[k\le 16, q\le 5 \]

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考虑枚举 \(r\)，计数 $ \displaystyle\bigoplus_e w_e=r $ 的答案，记为 \(ans_r\)。

令边带 \(ae^{zb}\) 的贡献，即可转化为边权之积，最后提取 \([z^q]\) 项系数即可。

考虑做 FWT，对 \(\widehat{ans}_r\) 求和，则边权为 \(d\) 的边额外贡献 \((-1)^{d\mathbin{\&} r}\) 的因子，记为 \(g_r(d)\)，则边 \(d\) 贡献 \(f_r(d)=a_de^{zb_d}g_r(d)\)。

构造该图的 Laplace 矩阵，有：

\[A_{uv}= \begin {cases} \displaystyle\sum_{t\neq u}f_r(u\oplus t) &\text{ if } u=v\\ -f_r(u\oplus v) &\text{ if } u\neq v \end{cases} \]

不妨令 \(f_r(0)=0\)，则有 \(A_{uu}=F_r=\displaystyle\sum_t f_r(t)\)。

应用矩阵树定理的特征值形式。

一个观察是，不妨取 \(h_s=[g_s(u)]^T\)，则有。

\[\begin{align*} (Ah_s)_u=&\sum_v A_{uv}g_s(v) \\=&F_rg_s(u)-\sum_{v\neq u}f_r(u\oplus v)g_s(v) \\=&F_rg_s(u)-\sum_{v\neq u}f_{r\oplus s}(u\oplus v)g_s(u) \\=&g_s(u)(F_r-F_{r\oplus s}) \end{align*} \]

于是有 \((F_r-F_{r\oplus s})\) 为其一特征值，由于 \(s\) 任意性。有：

\[\widehat{ans}_r=|A|=\frac1{2^k}\prod_{t\neq r}(F_r-F_t) \]

\(F_r\) 不难 FWT 一次求得，其为关于 \(z\) 的 \(q+1\) 次多项式。

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关于 \(\displaystyle\prod_{t\neq r}(a_r-a_t)\) 一类问题，有一类解法是：

先求多项式 \(P(x)=\displaystyle\prod_t(x-a_t)\)，取其导数

\[\frac\partial{\partial x}P(x)=\sum_i\prod_{j\neq i} (x-a_j) \]

则 \(\frac{\partial P}{\partial x}(a_r)\)中，\(i\neq r\) 的 \(\prod\) 均贡献 \(0\)，其值即为所求。

那么利用多项式多点求值即可在 \(\mathcal O(n\log^2 n)\) 时间内求出答案。

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回到原问题，想要套用上面那个方法，在多点求值的过程中需要处理 \(\left(\mathbb{F}_p[z]/(z^{q+1})\right)[x]\) 域上二维多项式的求逆等操作，比较麻烦。

可以先同样分治 NTT 求出 \(P\)，然后取 \(p_i=[z^i]P\)，注意这里 \(p_i\) 是关于 \(x\) 的 \(2^k\) 次多项式。

设系数 \(\alpha=[z^0]F_r\)，\(\beta=F_r-\alpha\)，取 \(\frac\partial{\partial x}P\) 在 \(\alpha\) 处的泰勒展开：

\[\begin{align*} [z^q]\frac{\partial P}{\partial x}(F_r) &=[z^q]\sum_{k=0}^\infty\frac{\frac{\partial^{k+1}P}{\partial x^{k+1}}(\alpha)}{k!}(F_r-\alpha)^k \\&=[z^q]\sum_{k=0}^\infty\frac1{k!}\frac{\partial^{k+1}P}{\partial x^{k+1}}(\alpha)\beta^k \\&=\sum_{k=0}^q\frac1{k!}\sum_{j=0}^qp_j^{(k+1)}(\alpha)[z^{q-j}]\beta^k \end{align*} \]

即可转化为关于 \(x\) 的单维多项式多点求值问题。

时间复杂度 \(\mathcal O(q^2k^22^k)\)。

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代码太丑了不放了（？）10.1k