qoj18370 Map1e

令 \(R(k)= \underbrace{111\dots1}_{k}\)。

多次询问 \(N\)，求出最大的 \(k\) 使得 \(R(k)\) 整除 \(N\)。

\[|N|\le 10^5,\sum |N| \le 5\times 10^5 \]

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有 \(R(k)=\dfrac{10^k-1}9\)，则欲最大化 \(k\) 使得

\[10^k-1 \mid 9N \]

不妨记 \(M=9N,r(k)=10^k-1\)，欲满足：

\[M\equiv 0\pmod{r(k)} \]

注意到

\[10^k\equiv 1\pmod{r(k)} \]

因此相当于每 \(k\) 个数一段，每段求和，记所得和为 \(s(k)\)。

我们希望 \(s(k)=qr(k)\)，其中 \(q\) 为整数，且 \(q\le n\)。

不妨取若干模数 \(\text{mod}\)，若模 \(\text{mod}\) 意义下 \(s(k)(r(k))^{-1}>n\)，则 \(q\) 必不为整数。

如此即可 \(\mathcal O(\frac nk)\) 检验每个 \(k\)，由调和级数性质，时间复杂度 \(\mathcal O(\sum|N|\ln|N|)\)。

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出题人没素质卡了常见模数，有一个快速生成罕见模数的方法。

openssl prime -generate -bits 30