qoj2554. AND PLUS OR

传送门

我们考虑将题目中的式子：

\[A(i)+A(j)<A(i\&j)+A(i|j) \]

写成

\[A(t+x)+A(t+y)<A(t)+A(t+x+y) \]

结论是，若存在任意满足条件的 \((t,x,y)\)，则必然存在一组 \((t',x',y')\) 满足 \(|x|=|y|=1\)

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证明考虑设函数 \(F(x)=A(t+y+x)-A(t+y)\)，则原式即 \(F(0)<F(x)\)。

记 \(m=|x|\)，我们取一条链 \(x_0\subset x_1\subset \cdots\subset x_m\)，满足 \(|x_i|=i\)，且 \(x_m=x\)。

原式即 \(F(x_0)<F(x_m)\)，则 \(\exist i,F(x_i)<F(x_{i+1})\)，否则 \(F(x_0)\ge F(x_m)\)。

那么 \((t+x_i,x_{i+1}-x_i,y)\) 即为一解满足 \(|x'|=1\)。

由 \(x,y\) 对称性可得存在一解满足 \(|x'|=|y'|=1\)。

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另外一种证明方法是考虑，若对于任意 \(t,|x|=1,|y|=1\)，均有

\[A(t+x)+A(t+y)\ge A(t)+A(t+x+y) \]

则考虑由位对称性，我们总能找到一种排列位的方式，相当于

\[A(l,r)+A(l+1,r+1)\ge A(l+1,r)+A(l,r+1) \]

不难发现其为四边形不等式的形式，则对任意 \((t,x,y)\) 上式均成立，故不存在解。

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考虑得到了这个性质之后我们直接枚举 \((t,x,y)\) 即可做到 \(\mathcal O(n^22^n)\)。