记一类连续段dp

连续段 dp 通常用在，需要同时考虑值在序列上位置，和相邻值关系的计数问题上。

此时如果我们直接常规 dp，需要记录每个数是否用过，复杂度容易退化到指数级。

此时可以考虑把 dp 搬到值域上，由于转移仅关心大小关系或者仅关心较大值，此时所有的连续段都等价的，即可快速转移。

此类 dp 的状态设计通常为 dp[i][k][...] 表示考虑完前 \(i\) 小的元素，连成 \(k\) 个连续段，满足 ... 条件的方案数，状态设计在满足大小关系（已填入的数 \(\le\) 当前数）的基础上能够简单更新。

转移一般含三种：新增一段；连在某一段 左/右 侧；合并两个段。

复杂度 \(\mathcal O(n^2F)\)，\(F\) 是剩下部分的复杂度。

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P5999 [CEOI 2016] kangaroo

显然这里只关心每个数与相邻两个数的位置关系

而我们的转移方式天然钦定了大小关系。显然连在某一段一侧的转移是不合法的，剩下两种都是合法的。

注意这里要额外考虑数是否在边界上，额外增加一维表示边界是否被占即可。

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P9197 [JOI Open 2016] 摩天大楼

即求 \(\sum |a_i-a_{i-1}|=k\) 的方案数。

按值域从小往大枚举，转移顺序天然钦定大小关系，在小的数上 \(-v\)，在大的数上 \(+v\)，即可查分出 \(|a_i-a_{i-1}|\)。

但是这样会导致值域过大，也可以记录段的边界和数的差，例如，假如当前数下降了 \(v\)，且有 \(k\) 个边界，那么总和即增加 \(kv\)。

这道题也要考虑边界问题。

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P7967 [COCI 2021/2022 #2] Magneti

即求 \(\sum \max(a_i,a_{i-1})=k\) 的方案数。

这里转移仅关心较大值。我们直接从小到大枚举转移即可。