一些逆元小学习

假如我们想求 \(x\) 模 \(p\) 的逆元，设 \(p=kx+r\)，那么有：

\[\begin{align*} kx+r&\equiv0&\pmod p \\ \frac {kx}{xr}+\frac r{xr}&\equiv0&\pmod p \\ k\times r^{-1} + x^{-1}&\equiv0&\pmod p \\ x^{-1}&\equiv -\lfloor\frac px\rfloor\times r^{-1} &\pmod p \end{align*} \]

那么可以转化为求 \(r\)，也就是 \(p\bmod x\) 的逆元。

通常情况下这个可以用来线性处理前若干个正整数的逆元。

但是借助它，我们可以得到一种快速的全值域逆元。

具体来说，取阈值 \(B\)。直接预处理前 \(B\) 个正整数的逆元，如果询问的数大于 \(B\)，就暴力跳 \(p\bmod x\) 直到跳进 \(B\)。

取 \(B=10^7,p\approx 10^9\) 的话，平均情况下能在 \(4.18\) 步内跳进。

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以及有一些其他的均摊 \(O(1)\) 的逆元方法。

比如离线下来统一处理。

还有维护分数形式，最后除一次。