251104A. 图

251104A. 图

给定一个 \(n\) 个点的完全无向图，求给每条边定权在 \([1,V]\) 内的方案数，使得点 \(1\) 到点 \(n\) 的最短路长度等于 \(k\)。对非质数取模。

\[1\le n, k\le 13, 1\le V\le 10^9 \]

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考虑按 \(1\) 到 \(x\) 的最短路长度 \(d_x\) 对原图分层，第 \(i\) 层包含所有 \(d_i=i\) 的点。

特别的，第 \(k+1\) 层包含所有 \(d_i > k\) 的点。

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对于第 \(i\le k\) 层，设其包含 \(s_i\) 个点。

• 层内两两边无限制，贡献 \(V^{\binom {s_i}2}\) 种方案。
• 枚举 \(j<i\)，第 \(j\) 层到第 \(i\) 层每对点间边权满足 \(j+w \ge i\)。（否则 \(d_x\) 可以更小）
• 对于第 \(i\) 层内每个点，至少有一个第 \(j<i\) 层上的点使上述不等式取等。（否则 \(d_x\) 可以更小）

可以直接容斥计算。具体来说，假如其之前共有 \(k\) 个点，第 \(i\) 个点需求边权 \(w_i \ge v_i\)。那么答案就是

\[\left(\prod_{i}(V-v_i+1)\right)-\left(\prod_i(V-v_i)\right) \]

也即任意的方案减去没有取等的方案。

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第 \(k+1\) 层较为特殊，由于我们只需要 \(d_x>k\)，所以：

• 对于层内的边，仍然贡献 \(V^{\binom {s_i}2}\)。
• 对于每个 \(j<i\)，只需要满足 \(j+w>k\)。

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直接暴力枚举 \(d_x\)，方案数约为 \(\binom {n+k} k\)，可以接受。

由于枚举过程中钦定了顺序，可能要计算一下重排的方案数。

值得注意的是，对于所有第 \(k+1\) 层内的点，在计数重排方案时，我们看作无差别。

原因是：虽然该层内的点在不同的赋权方案下可能有不同的权值。但既然状态只决定了计数方式，那交换状态相同的点，在完全相同的计数方式下显然只会计数出完全相同的方案。

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code

#include <algorithm>
#include <iostream>

typedef long long i64;

const int N = 15;
i64 n, k, V, MOD;

int d[N], cnt[N];
i64 ans = 0, binom = 1;

void dfs(int p, i64 plan, i64 binom) {
	binom *= (n - p + 1);
	binom /= ++cnt[d[p]];

	if(d[p] <= k) {
		i64 eq = 1, gr = 1;
		for(int i = 1; i < p; ++i) {
			if(d[i]	== d[p]) {
				plan = plan * V %MOD;
			} else {
				int diff = d[p] - d[i];
				if(V - diff + 1 <= 0) eq = 0;
				else eq = eq * (V - diff + 1) %MOD;
				if(V - diff <= 0) gr = 0; 
				else gr = gr * (V - diff) %MOD;
			}
		}
		plan = plan * (eq - gr +MOD) %MOD;
	} else {
		for(int i = 1; i < p; ++i) {
			if(d[i] == d[p]) {
				plan = plan * V %MOD;
			} else {
				int diff = k - d[i];
				if(V - diff <= 0) plan = 0;
				else plan = plan * (V - diff) %MOD;
			}
		}
	}

	if(p == n) {
		binom = binom * cnt[k] / (n - 1);
		ans = (ans + plan * (binom %MOD)) %MOD;
	} else {
		int upd = d[p] >= k ? k + 1 : k;
		int dwn = p == n - 1 ? std::max(d[p], (int)k) : d[p];
		for(int i = dwn; i <= upd; ++i) {
			d[p + 1] = i, dfs(p + 1, plan, binom);
		}
	}
	--cnt[d[p]];
}

int main() {
	freopen("graph.in", "r", stdin);
	freopen("graph.out", "w", stdout);

	std::cin >> n >> k >> V >> MOD;
	d[1] = 0;
	for(int i = 1; i <= k; ++i) {
		d[2] = i; dfs(2, 1, 1);
	}
	std::cout << ans << "\n";
}