qoj14453. 网络改造

qoj14453. 网络改造

给定一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边的有向图，你可以：

• 以 \(a_i\) 的代价翻转一条边。
• 以 \(b_i\) 的代价删去一条边。
• 以 \(c_i\) 的代价删去一个点。

无自环无重边，问至少需要多少代价将这个图变为无环图？

\[n\le 22 \]

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首先是一个很强的转化：

由于最终的图是无环图，那么任取其一拓扑序 \(p\)。

那么对于所有边 \(\{(p_i,p_j)|i>j\}\)，也就是逆序的点，我们要么删去，要么反转。这同时意味着只有这两种操作的代价中的最小值是有用的。下文边权指代删去和反转操作代价的最小值。

那么原问题转化为对排列 \([1,n]\) 定序，求逆序的边边权之和最小值。

设 \(f(S)\) 表示集合 \(S\) 的答案。

那么对于每个集合 \(S\)，枚举 \(x\)，有转移：

\[f(S)\leftarrow f(S\setminus x)+w_x(S\setminus x) \]

其中 \(w_x(S)\) 表示点 \(x\) 指向点集 \(S\) 中的点的所有边的代价之和。

\(f(\cdot)\) 和 \(w(\cdot)\) 都可以在 \(\mathcal O(n2^n)\) 内求出。

最后考虑删点，令 \(d(S)=\sum_{x\in S} c_x\)。

令 \(T\) 表示全集，那么答案就是

\[\min_S d(S)+f(T\setminus S) \]

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code

#include <iostream>
#include <algorithm>

namespace wyx {

const int N = 22, M = 1 << N;

int c[N];
int v[N][N];
int n, m;
int del[M];
int dp[M], w[N][M];

inline void main() {
	std::cin >> n >> m;
	for(int i = 0; i < n; ++i) std::cin >> c[i];
	for(int t = m; t--; ) {
		int x, y, a, b;
		std::cin >> x >> y >> a >> b;
		--x, --y, v[x][y] = std::min(a, b);
	}

	m = 1 << n;

	for(int i = 0; i < m; ++i) dp[i] = 1e9;
	dp[0] = 0;

	for(int i = 0; i < n; ++i) {
		int t = 1 << i;
		auto& w = wyx::w[i];
		w[0] = 0;
		for(int j = 1; j < m; ++j) {
			if(j & t) continue;
			int y = std::__lg(j);
			 w[j] = w[j^(1<<y)] + v[i][y];
		}
	}
	for(int j = 0; j < m; ++j) {
		for(int i = 0; i < n; ++i) {
			int t = 1 << i;
			if(j & t) {
				 dp[j] = std::min(dp[j], dp[j ^ t] + w[i][j ^ t]);
			}
		}
	}

	int ans = dp[m-1];
	for(int i = 1; i < m; ++i) {
		int y = std::__lg(i);
		del[i] = del[i ^ (1<<y)] + c[y];
		ans = std::min(ans, del[i] + dp[(m-1) ^i]);
	}

	std::cout << ans << "\n";
}

};

int main() {
	std::ios::sync_with_stdio(0), std::cin.tie(0), std::cout.tie(0);
	wyx::main();
}