River Flow

定义函数 \(f_t(x)=\left\lfloor\dfrac{x}{2^t}\right\rfloor \bmod 2\)，也就是周期为 \(2^{t+1}\) 的值域为 \([0,1]\) 的方波。

现在给你一个函数 \(g\) 的从 \([0,n)\) 的片段和参数 \(T\)，问能不能找到若干组 \(k_i,t_i,b_i \in \mathbb{Z}\) 使得：

\[\forall x\in\mathbb Z\cap[0,n), g(x)=\sum_ik_if_{t_i}(x-b_i) \]

要求 \(\max t_i \le T\)，保证 \(2^T\le\frac n2\)。

如果能，构造一组方案最小化 \(\sum k_i\)。

\(1\le n\le10^6, 0 \le g(i) \le 10^9\)

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先取出这个函数长为 \(2^{T+1}\) 的任意一部分，剩下的部分必然是循环的，因为 \(f_{t_i}\) 的循环节 \(\le 2^{T+1}\)。

对整个函数作差分，\(\Delta f_t(x-b)\) 会在 \(k2^{t}+b\) 处对 \(\Delta g\) 贡献 \((-1)^k\)。

考虑这么一个值：

\[G_t(b)=\sum_{k=0}^\infty \Delta g(2^{t+1}+b)-\Delta g(2^{t+1}+2^t+b) \]

不难发现，假如 \(t' \neq t_0\)，那么所有 \(f_{t'}(x-b)\) 对 \(G_{t_0}\) 的贡献是 \(0\)。

因此 \(G_{t_i}(b_i)\) 就是 \(\Delta f_{t_i}(x-b_i)\) 的系数 \(k_i\)。

依次检查并构造即可。