ZROJ3265 猜数游戏

显示器上有五个数位，每个位置可以显示 \(0\) 到 \(9\)，也就是说显示器可以显示 \(0\) 到 \(99999\) 的所有数。

初始所有位置都是 \(0\)。给定 \(L,R\)，系统将从 \([L,R]\) 中随机选出一个数字 \(x\)，我们的目标是猜出这个数。

每一秒，我们可以干两件事情中的一件：

• 将显示器上的某一个数位上的数字修改为任意数字。
• 询问当前数字和 \(x\) 的大小关系（返回大于，等于或小于）。

你需要求出，在最劣情况下，我们最少需要几秒可以确定出一个唯一的 \(x\)。

\(1 \le n \le 10^5\)，最多 \(50\) 次多测，\(8\) 秒。

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一开始一直想着直接构造，结果直接炸了。（）

我们考虑 \(O(n^3)\) 的区间 dp。

我们发现每一次的转移点要么在当前区间的左边，否则右边。

那么我们设 \(f(l,r,0/1)\)，表示确定答案在 \([l,r]\) 范围内，当前显示屏上的数字在 \(l-1/r+1\) 的位置。

不难发现转移封闭，那么我们就成功拿到了 \(40\) 的暴力分。

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考虑优化，我们发现这道题答案值域极其小（\(\le 5\log n\)），打表甚至可以发现答案 \(\le 42\)。

因此考虑把这个作为 dp 对象。我们设 \(g(x,k,0/1)\)，表示 \(x\) 作为 左/右 端点时最靠 右/左 的答案 \(\le k\) 的另外一个端点。

考虑转移，以 \(g({x,k,0})\) 为例。

相当于找到一个点 \(p\) 作为下一个切割的点，满足 \(g({p-1,k-1-d(x,p),1})\le x\)，贡献就是 \(g({p+1,k-1-d(x,p),0})\)。

这里 \(d(x,y)\) 表示在显示器上把 \(x\) 改为 \(y\) 的最小操作次数。

做到这一点后我们从小到大枚举 \(k\)，那么就可以在 \(\mathcal O(n^2\log n)\) 解决。

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考虑继续优化，我们发现阻挡我们进一步优化的瓶颈在于 \(d\) 函数无法优美地表示。

加入一个巧妙的转化，我们发现这个相当于我们可以选择将 \(x,y\) 的每一位改成 \(-1\)，然后最小的能够使得 \(x\) 与 \(y\) 完全相同的修改次数就是 \(d(x,y)\) 的两倍。

这个形式特别像高位前缀和，考虑将原本的数看作 1， \(-1\) 看作 0，那么贡献与求和的形式其实就是高位前缀与后缀和。

这样我们就可以以 \(2^5\) 的单次代价暴力往上加 \(d\) 的贡献，保存到一个 \(11^5\) 的桶中，\(10^5\) 这个数可能需要单独处理。

那么接下来我们扫描线，在每个位置上维护可以转化到他的数（高位后缀和），查询的时候暴力遍历。

这一部分可以在 \(42*32*n=1344n\) 的时间内解决。

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最后是查询，由于第一次分割比较特殊，我们考虑枚举第一次的切割点，然后二分答案。

那么可以简单地在 \(O(Tn\log\log n)\) 的时间内完成。

至此就解决了这道问题。

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后记：

如果答案值域小，可以考虑把答案作为 dp 限制，原限制作为 dp 对象。