[ABC200F]Minflip Summation

我们有一个字符串 \(S\)，由 0，1 和 ? 组成，\(T\) 为 \(S\) 重复 \(K\) 次的结果。

如果我们把 \(T\) 中每个 ? 都替换成 0 或 1，我们就能够得到 \(2^{Kq}\) 种不同的字符串，其中 \(q\) 是 \(S\) 中 ? 的数量。对于每个由如下规则生成的字符串，解决如下问题，把答案求和并模 \(10^9+7\)：

设 \(T'\) 为把 \(T\) 中所有 ? 替换为 0 或 1 得到的字符串。我们会重复执行如下操作，直到 \(T\) 中所有元素均相同。最少需要多少次操作？

• 选择两个整数 \(l,r\) 满足 \(1 \le l \le r \le |T'|\)，把 \(S\) 的第 \(l\) 个到第 \(r\) 个字符取反。取反的意思是，0 变为 1，反之亦然。

\(1 \le |S| \le 10^5\)，\(1 \le K \le 10^9\)。

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看到一个非常巧妙的做法。

我们看到区间取反，直接考虑异或差分，然后操作就变成了每次将两个 1 变成 0。

而当整个序列都变成全 0 后，我们的原序列要么是全 0，要么是全 1，都是符合要求的。

而且新的序列里 1 的数量一定是偶数，所以答案就是 \(\frac k2\)，\(k\) 表示 1 的个数。

那么，我们的目标就变成了对差分后的新序列 \(T'\) 中的 1 计数，相当于相邻两项不相等的对数。

根据期望的线性性，我们可以直接拆开来，单独考虑相邻两个字符的贡献。

于是我们分类讨论：

1. 相邻两个字符都是固定的，那么假如原来不相同，对答案有 \(\frac12\) 的贡献，否则有 \(0\)　的贡献。
2. 相邻两个中有一个 ?，那么这时候他有 \(\frac12\) 的概率和另外一个相同，所以贡献是 \(\frac14\)。
3. 相邻两个都是 ?，这时不难发现和第二种情况是一样的。

于是把 \(S\) 扫一遍，对首尾情况再特判一下，就做完啦

……吗？其实并没有，我们发现当 \(S=\) ? 的时候，我们计算出来的答案是 \(\frac14\)，但是实际上应该是 \(\frac 12\)，为什么呢？

是因为这时候首尾的两个 ? 其实本质上是同一个字符，但是我们将它当作了两个独立的随机变量，所以需要特判。其他的情况是不会出现问题的。

于是就真的做完啦。啦啦啦。