二中省选模拟d2t3记录

给你一个 \(n\times n\) 的矩阵 \(a\)，每个位置有一个数或者 \(-1\)，你要选择一些位置，满足：

• 每行每列都有且仅有一个被选中的位置。
• 不能选 \(-1\) 所在的位置。

记你选的数的和为 \(S\)，对于每个 \(i=0,1,\cdots,m-1\)，询问是否存在一种合法方案使得 \(S \equiv i \pmod m\)。

\[n,m\le 100,-1\le a_{i,j}\le m \]

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首先发现这个东西长得很像积和式，只是题目中的运算是求和。

因此我们可以考虑将数放到指数上，这样就可以直接套积和式，我们考虑一个多项式的形式。

\[f(x)=\sum_{p}\prod_{i=1}^nx^{a_{i,p_i}} \]

（其中 \(p\) 是一个长为 \(n\) 的排列）

那么我们只需要在最后检查 \(f(x)\bmod x^m-1\) 的对应次项的系数是否为 \(0\) 即可得知答案。

然而众所周知地，积和式无法在多项式时间内计算，但是我们知道，行列式与积和式长得十分相似：

\[f(x)=\sum_p(-1)^{f(p)}\prod_{i=1}^nx^{a_{i,p_i}} \]

（其中 \(f(p)\) 表示排列 \(p\) 的逆序对数）

但是如果我们直接套行列式，可能出现一个问题，就是负系数的项把正系数的项抵消了。

解决方法就是我们给每个位置赋一个随机的权值。

\[f(x)=\sum_p(-1)^{f(p)}\prod_{i=1}^nc_{i,p_i}x^{a_{i,p_i}} \]

（\(c\) 是随机出来的权值）

这样就可以有效减少错误率。

不幸的是，当我们分析时间复杂度时会发现时间复杂度是 \(n^3\times (nm)^2=O(n^7)\) 的。

边乘边取模可以将时间复杂度降到 \(O(n^5)\)，但仍然无法通过。

我们考虑优化掉多项式。

（下文记 \(m\) 次单位根的 \(i\) 次方为 \(w_i\)）

我们会注意到，单位根 \(w_i\) 的 \(m\) 次方 \((w_i)^m\) 总是等于 \(1\)。

因此假如我们将 \(w_i\) 代入 \(f(x)\)，就相当于自动对 \(x^m-1\) 取模。

所以我们将每一个 \(m\) 次单位根代入 \(f(x)\)，最后直接插值，就可以得到原来的多项式。

这个题到这里就做完了，时间复杂度 \(O(n^4)\)。

但是如果直接使用浮点数存复数，不仅精度容易爆，还跑得慢容易被卡场。

所以我们考虑将整个多项式 \(f(x)\) 对一个大素数 \(p\) 取模，只需要在本地提前打好素数和对应的原根表即可。

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另外，mxz在赛时使用模拟退火通过了此题，让我们 /bx 他。 /bx/bx/bx

具体方法是以 \(-1\) 的个数为指标，在最小化它的过程中记录途中的和的出现情况。

为什么我的模拟退火没过过题，这不公平