题解：洛谷 P11452([USACO24DEC] Cake Game S)

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1. Description

现在有 \(n\) 个蛋糕排成一列，两头奶牛将交替进行以下操作直到只剩下一个蛋糕为止：

1. Bessie 选择两个相邻的蛋糕并将它们堆叠起来，制造大小为两者大小之和的一个新蛋糕。
2. Elsie 选择最左边或最右边的蛋糕藏起来。

然后 Bessie 将吃掉最后一个蛋糕，Elsie 将吃掉她藏起的所有蛋糕。

现在由 Bessie 先进行操作，当两头奶牛都采用最优策略时，两头奶牛各能吃掉多少蛋糕？

tips：\(n\) 一定是偶数。

2. Solution

看似是一道博弈题，其实先手的 Bessie 根本没有对于局势的决定权，这个结论很有意思，我们来看看为什么。

首先显然的，Bessie 可以吃到 \(\frac{n} 2+1\) 个蛋糕，Elsie 可以吃到 \(\frac{n} 2-1\) 个蛋糕，为了达到这个目标，Bessie 必须保证自己堆叠的蛋糕不被吃掉。

这就延伸出了下一个结论，Bessie 的选择看似有很多，实际上只有一种，就是在 Elsie 的“步步紧逼”下保证自己堆叠的大蛋糕不被吃掉。因为如果 Bessie 堆叠的蛋糕被吃掉了，那么就相当于自己浪费了若干次机会，还让 Elsie 节省了若干次机会，这显然很亏。

而为了防止自己堆叠的蛋糕被吃，第一回合，Bessie 只能堆叠第 \(\frac n2\) 和第 \(\frac n2+1\) 个蛋糕，接下来的回合，Elsie 藏起哪边的蛋糕，Bessie 只能向反方向逃窜。

所以，Elsie 可以吃掉左右两边最大的 \(\frac n2-1\) 个蛋糕， 只需要找到最大的选择即可。

3. Code

/*by qwer6*/
/*略去缺省源和快读快写*/
const int N=5e5+5;
int n,len,ans;
int pre[N];
signed main(){
	int t;
	read(t);
	while(t--){
		read(n);
		for(int i=1;i<=n;i++)pre[i]=pre[i-1]+read();
		len=n/2-1;
		ans=0;
		for(int i=0;i<=len;i++)tomax(ans,pre[i]+pre[n]-pre[n-len+i]);
		write(pre[n]-ans),Spa,write(ans),Nxt;
	}
}