整理：斜率优化

关于斜率优化的整理

我们先来看一道题。

HNOI2008 玩具装箱

题目描述

P 教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。

P 教授有编号为 \(1 \cdots n\) 的 \(n\) 件玩具，第 \(i\) 件玩具经过压缩后的一维长度为 \(C_i\)。

为了方便整理，P 教授要求：

• 在一个一维容器中的玩具编号是连续的。

• 同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物。形式地说，如果将第 \(i\) 件玩具到第 \(j\) 个玩具放到一个容器中，那么容器的长度将为 \(x=j-i+\sum\limits_{k=i}^{j}C_k\)。

制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为 \(x\)，其制作费用为 \((x-L)^2\)。其中 \(L\) 是一个常量。P 教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容器，甚至超过 \(L\)。但他希望所有容器的总费用最小。

数据范围与约定

对于全部的测试点，\(1 \leq n \leq 5 \times 10^4\)，\(1 \leq L \leq 10^7\)，\(1 \leq C_i \leq 10^7\)。

这显然是一道 DP 题，状态容易得出，\(dp_i\) 表示装下前 \(i\) 个玩具的最小花费。

转移就是将若干个玩具作为一段装起来，\(dp_i=dp_j+(\sum_{k=j+1}^i c_k-L)^2\)，显然利用前缀和优化求和过程，因此转移方程写为：

\(dp_i=dp_j+(pre_i-pre_j-L)^2\)。

拆开式子：\(dp_i=dp_j+pre_i^2+pre_j^2+L^2-2pre_ipre_j-2pre_iL+2pre_jL\)

这看起来无法使用常规手段优化，因为式子比较复杂，有些项与 \(i,j\) 均相关，无法使用单调队列优化。

但是我们对式子进行简单变形：

\[dp_j+pre_j^2+2pre_jL=2pre_ipre_j+dp_i+2pre_iL-prei^2-L^2 \]

我们将 \(dp_j+pre_j^2+2pre_jL\) 设为 \(y\)，\(2pre_i\) 设为 \(k\)，\(pre_j\) 设为 \(x\)，\(dp_i+2pre_iL-prei^2-L^2\) 设为 \(b\).

那么上面的式子就变成了 \(y=kx+b\)，即一次函数。

现在问题就变成了平面上有若干个点 \((x,y)\)，现在使用一条斜率为 \(k\) 的直线去分别经过这些点，求截距的最小值。

看上去还是无法解决。

但是这里我们有一个计算几何的工具：凸包^[1]。

所以我们对前面所有点维护下凸包，然后二分求切点即可。

而上面我们设出一次函数解析式，维护凸包，二分切点并最后进行转移的过程，就是所谓斜率优化。你问我为什么叫斜率优化？我也不知道。

斜率优化的基本过程

1. 定义状态并写出转移方程。
2. 化简式子并设出一次函数解析式。
3. 套模版维护凸包。
4. 二分求出切点，即转移位置。
5. 转移。
6. A 掉这道题

过程简单地如同如何将大象塞进冰箱。

实现细节

注意可以转移的区域，即可行决策点，当决策点不合法时要从凸包中删去。

二分时，定义 \(cal(i,j)\) 表示使用 \(j\) 这个决策点转移 \(i\)，然后用 \(mid\) 和 \(mid+1\) 比哪个更优即可。

---

1. 凸包 - OI Wiki (oi-wiki.org) ↩︎