随笔分类 - 数学
摘要：狄利克雷卷积 && 莫比乌斯反演 狄利克雷卷积 数论函数及其运算 数论函数 是指定义域是正整数，值域是一个数集的函数。 加法，逐项相加，即$(f+h)(n)=f(n)+h(n)$； 数乘，这个数和每一项都相乘，即 $(xf)(n)=x·f(n)$ 狄利克雷卷积 定义两个数论函数的狄利克雷卷积 $
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摘要：二项式反演与错排问题 常见简单组合恒等式： 1. $C_n^m=C_n^{n m}$ 2. $C_n^m=C_n^{m 1}+C_{n 1}^{m 1}$ 3. $\sum_{i=0}^{n}C_n^i=2^i$ 4. $\sum_{i=0}^{n}( 1)^i C_n^i=[n=0]$ 3.4.证
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摘要：Miller_Rabin Part0 前言： Miller_Rabin是一个 高效 判定素数的 随机 算法。 其运用到的理论知识是： 费马小定理 $and$ 二次探测定理 。 Part1 费马小定理： 关于这个定理没什么好多讲的。 $$ 若p是素数,则\ \ a^p\equiv a\mod p $$
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摘要：题意： 一个m边形的骰子，求连续投出n个相同的面，和m个两两不同的面的期望次数。 solution： 令$f_i$表示已经连续投出i个相同的面，到连续投出n个还需要的期望次数. 令$g_i$类似的表示第二种问题的期望次数。 对于$f_i$ ，有两种情况： ① 投出了和前i个相同的面，转移到了$f_{
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摘要：题意：多重集的组合数模板题。 solution： 首先考虑任意$ f_i≥s$的情况，考虑插板法，那么原命题可以等价于求n 1个板子和s朵花组成的排列数： 即多重集{${ (n 1)·1,s·0 }$}的全排列数:$P=\frac{(n+s 1)!}{(n 1)! s!}=C_{n+s 1}^{n
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摘要：题目大意：要集齐N张卡片，每包干脆面出现每种卡片的概率已知，问你集齐N张卡片所需要的方便面包数的数学期望(N include include include include define RG register define IL inline define LL long long define
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摘要：Description Freda发明了传呼机之后，rainbow进一步改进了传呼机发送信息所使用的信号。由于现在是数字、信息时代，rainbow发明的信号用N个自然数表示。为了避免两个人的对话被大坏蛋VariantF偷听T_T，rainbow把对话分成A、B、C三部分，分别用a、b、c三个密码加密
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摘要：Lucas&&Exlucas Lucas和Exlucas可以求模p意义下 大数 的组合数。 先考虑p为质数的情况，那么直接上Lucas定理即可。 Lucas 定理 基本内容 ： $$ C_n^m=C_{n\ mod\ p}^{m\ mod\ p} C_{n/p}^{m/p}\ (mod\ p)\ p
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摘要：BSGS&&ExBSGS BSGS 和 ExBSGS 都是用于解决形如形如下式的高次同余方程的。 $$ a^x\equiv b\ (mod\ p) $$ 同样的先考虑a，p为质数的情况。 令： $$ x=i t j $$ 那么： $$ a^x\equiv b\ (mod\ p) \iff a^{i
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摘要：CRT&&ExCRT CRT和ExCRT是用来求解如下的线性同余方程组的： $$ x\equiv a_1\ (mod\ p_1)\\ x\equiv a_2\ (mod\ p_2)\\ ……\\ x\equiv a_n\ (mod\ p_n)\\ $$ 先考虑特殊一点的情况：任意的pi互质。可以用C
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摘要："XOR" Solution: 线性基模板，求异或空间第k大（小）。 只讲一下需要注意的是： 求解线性基时，应按照从高往低位消元，这样才能保证基的单调性。
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摘要："装备购买" Solution： 贪心+线性基。 由于线性基能够表出的线性空间和原数表出的线性空间相同， 所以只需要在高斯消元求线性基的过程中贪心选取价格最低的行(向量)即可。 Code： cpp include include include include include define RG r
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摘要："花园" Solution: 如果您敏锐的注意到了M的范围，那么不难想到状压。 状态压缩一下最后M位的放的花盆的情况。 同时还可以提前与处理一下V[i,j]表示状态i能否转移到状态j。 但是，鉴于它是一个环形的，所以似乎并不好怎么去DP（断环为链似乎也不好弄）。 所以此处用的转移还是特别巧妙的。 不
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摘要："数学作业" Solution： 设fi表示1~i构成的数除以M的余数，记x为i的位数。 不难写出递推式： $$ f_i=(f_{i 1} 10^x+i)\ mod\ M $$ 但是线性的递推显然会TLE，所以考虑优化。 注意到x最大只能到18，所以可以把转移过程分成18段，这样每一段的x都相等 那
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摘要："石头游戏" 权限题。 描述 石头游戏在一个 n 行 m 列 (1≤n,m≤8) 的网格上进行，每个格子对应一种操作序列，操作序列至多有10种，分别用0~9这10个数字指明。 操作序列是一个长度不超过6且循环执行、每秒执行一个字符的字符串。每秒钟，所有格子同时执行各自操作序列里的下一个字符。序列中的
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摘要："sumdiv" Sol: 直接把A质因数分解，由算术基本定理的推论可知： $$ ans=\prod^{cnt}_{i=1}(\sum^{B c_i}_{j=0}p_i^j)\ (mod\ 9901) $$ 可以发现，里面每一项都是一个等比数列求和，那么： $$ ans=\prod^{cnt}_{i
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摘要："The Luckiest Number" Sol: 直接上一波转化： $$ \overbrace{88......88}^x=8 (10^x 1)/9 $$ 那么： $$ L\ |\ \overbrace{88......88}^x\iff L\ |\ 8 (10^x 1)/9\iff 9L\ |
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摘要："Hankson的趣味题" Sol: 注意到x显然为b1的约数，所以直接暴力枚举b1的约数即可，在暴力check一下是否满足条件即可。 没了。。。 Code： cpp for (i=1,ans=0;i i
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摘要："余数之和" Solution: 一波转化： $$ \sum^n_{i=1}k\ mod\ i=\sum^n_{i=1}k i \left\lfloor {k/i}\right\rfloor =n k \sum^n_{i=1}i \left\lfloor {k/i}\right\rfloor $$
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摘要："反素数" Solution: 引理一： 1~N中最大的反质数为，就是1~N中约数最多的数里最小的一个 引理二： 若把最大的反质数x质因数分解: $$ x=(p1^{c1}) (p2^{c2}) ...... (pk^{ck}) $$ 若p1≤p2≤......≤pk，那么一定满足：c1≥c2≥..
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