浅谈博弈论

巴巴博弈。

巴巴博弈？

巴巴博弈！

博弈

多名玩家参与的竞争游戏。

特征

每次只允许一个人行动，通常轮流行动。
每个玩家的目标是获胜，且每个人都是上帝视角，可以找到最优方案。
获胜条件通常为多得分或达到指定局面。
大部分为两个玩家 A、B 参与。结果只有 A 胜，B 胜和平局三种。

公平组合游戏

若一个游戏满足：

两名玩家交替行动。
玩家决策相同，只与当前局面有关。
不能行动的玩家负。

则这个游戏称为公平组合游戏。例如下文的 Nim 博弈。

状态设计

包含当前游戏的局面和即将行动的玩家。
即将行动的玩家称为先手，对方称为后手。
结果分为先手必胜（简称胜）、先手必败（简称败）和平。

注意操作完后先手不一定会改变。下文假定轮换行动玩家。

有向图游戏

在一个有向图里，两名玩家从起点依次移动棋子，首先无法移动的玩家负。

所以我们可以把任意的公平组合游戏的每一个状态看作有向图的点，决策看作边，建立有向图。

注意不一定是 DAG，可能有环。

这种图被称为博弈图。

状态转移与决策

设当前先手为 A，对手为 B。

此时从当前状态转移到的结果有三种情况：

先手必胜。此时先手指 B，故结果为对于 A 是必败的。
先手必败。此时后手 A 必胜。
平。

然后由于每个玩家开了挂，所以一定会选择最利于自己的那个状态去转移。

就是有必胜状态就不选平和必败，有平就不选必败。

所以我们有：

可以变化到任意先手必败的状态，当前状态为先手必胜。
所有变化都为先手必胜，当前状态为先手必败。
只能转移到平和先手必胜，当前状态为平。

所以说博弈论的求解是先 DFS 把可行状态求出来，后根据搜出来的结果调整。

即搜索方向与转移方向是反着的。

所以就十分自然地想到用记忆化搜索。

小 trick：越靠近终止状态的状态一定是越先被记搜搜到的。因为搜索反向。

若图中存在环，可以利用拓扑排序，将能计算的点的状态先计算出来，没被计算过的点的状态就是平。因为它们既不能转移到先手必胜，也不能转移到先手必败。符合平局的定义。

板子是设 $f_u$ 表示在局面 $u$ 的情况下，先手的最优结果。有些题目如果先后手人不同操作不同还需要再开一维存先手。

Nim 博弈

情景类似于：有 $n$ 堆石子，第 $i$ 堆石子有 $a_i$ 个，两名玩家轮流取石子，每次可以选择任意一堆取不多于该堆石子个数个石子，不能不取，无法操作者负。

同样地，Nim 博弈可以根据所有堆的石子个数确定状态。

这样，一共有 $\prod_{i=1}^n a_i$ 种状态，要 $O(\prod_{i=1}^n a_i)$ 地求出所有状态的胜负是绝对不允许的。

那么如何快速判断呢？

定理：若一个局面，满足 $\oplus_{i=1}^n a_i\neq 0$，则先手必胜，反之先手必败。

证明：

结论一：若 $\forall a_i=0$，则游戏结束，先手必败。

结论二：若 $\oplus _{i=1}^n a_i=k\neq 0$，设 $k$ 的二进制下为 $1$ 的最高位为第 $p$ 位，则必然存在某个 $a_j$ 的二进制下第 $p$ 位为 $1$。

由于 $a_j$ 和 $k$ 的 $1$ 的最高位相同，异或完一定等于 $0$，所以 $a_j\oplus k<a_j$。

那么我们可以从 $a_j$ 中取走 $a_j-a_j\oplus k$ 个石子，使得 $a_j\leftarrow a_j\oplus k$，则原式变为：

\[\oplus _{i=1}^{j-1}a_i \ \oplus a_j \oplus k \ \oplus_{i=j+1}^n a_j=0 \]

所以一定存在一种取法，使得剩下的石子异或和为 $0$。

结论三：若 $\oplus _{i=1}^n a_i=0$，则不管取多少个，必然会使剩下的异或和不等于 $0$。

因为所有石子二进制下每一位为 $1$ 的数字个数必定是偶数，而设取了 $m$ 个石子，则 $m$ 二进制下有至少一位必定是 $1$，使得这一位所有的 $1$ 的个数变成偶数，异或完就不为零了。

结论四：石子一定越取越少，最后必然会达到全为 $0$ 的局面。

所以如果局面的异或和不为 $0$，先手一定可以使其变为 $0$，一步一步变成全为 $0$ 的局面，所以先手必胜。

（发现者是怎么想到用异或判定的啊……）

SG 函数

首先定义一下 $\operatorname{mex} $ 运算。

$\operatorname{mex(S)}$ 表示在集合 $S$ 中，最小的不属于 $S$ 的非负整数，即：

\[\operatorname{mex(S)}=\min_{i=0,i\notin S} {i} \]

上文提到，任意的公平组合游戏都可以转化为有向图游戏。

设在博弈图中，从点 $x$ 出发，可到达的点的集合为 $S=\{y_1,y_2,\cdots ,y_k\}$，则定义 $\operatorname{SG(x)}=\operatorname{mex}(\operatorname{SG_{i\in S}(i)})$，即所有可达点的 $\operatorname{SG}$ 值的 $\operatorname{mex}$ 值。

特别地，如果 $S=\empty$，则 $\operatorname{SG(S)}=0$。

对于一个有向图 $G$ 的 $\operatorname{SG}$ 值定义为起点 $s$ 的 $\operatorname{SG}$ 值。即 $\operatorname{SG(G)}=\operatorname{SG(s)}$。

有向图游戏的和

设 $G_1,G_2,\cdots,G_m$ 为 $m$ 个有向图游戏，它们的 $\operatorname{SG}$ 值分别为 $\operatorname{SG(G_1)},\operatorname{SG(G_2)},\cdots,\operatorname{SG(G_m)}$。

定义有向图游戏 $G$，其游戏规则为任选一个有向图游戏进行操作一次，则称 $G=\sum_{i=1}^m G_i$，定义 $\operatorname{SG(G)}=\oplus _{i=1}^m \operatorname{SG(G_i)}$。

SG 定理

定理：若 $\operatorname{SG(x)}=0$，则该局面为必败局面，否则为必胜局面。

证明：

设可达点集合为 $S=\{y_1,\cdots ,y_k\}$。

若 $S=\empty$，则 $\operatorname{SG(x)}=0$，无法移动，先手必败，成立。
若 $\operatorname{SG(x)}\neq 0$，则必然存在一个 $y_j\in S$，满足 $\operatorname{SG(y_j)}=0$，先手就可以将状态转移到 $y_j$。
若 $\operatorname{SG(x)}=0$，则必然 $\forall y_j\in S,\operatorname{SG(y_j)}>0$，即先手无论如何转移，都无法转移到一个 $\operatorname{SG(x')}=0$ 的点 $x'$。必定会转移到一个 $\operatorname{SG}$ 值不等于零的点。
在没有环的情况下，状态是不可以无限扩展的，所以必定会遇到无法扩展的终止状态 $t$，必定有 $\operatorname{SG(t)}=0$，满足先手必败态。

证毕。类似于 Nim 博弈的证明。

对于有向图游戏的和的 $\operatorname{SG}$ 值，可以把每个子有向图游戏看成一堆石子，每次操作就是取石子，无法操作就是取完了。就可以更好地理解对于有向图游戏的和的 $\operatorname{SG}$ 的定义了。

实在不行感性理解一下。

所以，SG 定理的伟大之处在于，它让我们在知道了 Nim 博弈的判断条件后，利用 $\operatorname{SG}$ 值，将 Nim 博弈推广到了普通的公平博弈，功德无量。

博弈论解题步骤

像 DP 一样，抽象出状态。
设定初始状态、结束状态。
状态转移。

计算 $\operatorname{SG}$ 值时一定要注意：

状态转移时用 $\operatorname{mex}$。
多个子任务同时进行时用 $\oplus$。

例题

CF859C Pie Rules

link.

因为是按照从左到右的顺序取的，所以考虑设 $f_u$ 表示取完 $[u,n]$ 后先手的最优得分。

还要统计后缀和，设 $s_i=\sum_{j=i}^n a_j$。

那么转移分为两种，一种是把分给自己，让出先手，贡献是 $a_u+s_{u+1}-f_{u+1}$。

否则就是给对方，留下先手，贡献是 $f_{u+1}$。

然后搞个记搜就做完了。

~~复习博弈论时竟然被我秒了。~~

Code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ljl;
const int N=55;
int n,a[N],f[N],sum[N];
int dfs(int u)
{
	if(f[u]!=-1)return f[u];
	if(u>n)return 0;
	f[u]=0;
	if(u==n){f[u]=a[n];return f[u];}
	//use
	int ans=a[u]+sum[u+1]-dfs(u+1);
	ans=max(ans,dfs(u+1));
	f[u]=ans;
	return f[u];
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		cin>>a[i];
	memset(f,-1,sizeof(f));
	for(int i=n;i>=1;--i)sum[i]=sum[i+1]+a[i];
	cout<<sum[1]-dfs(1)<<' '<<dfs(1)<<'\n';
	return 0;
}

AT_dp_k Stones

link.

这里设 $f_u$ 表示还剩下 $u$ 颗石头时先手的最优结果。

由于不存在平，所以只考虑胜负。

每次转移就是枚举 $a_i$，用 $f_{u-a_i}$ 更新状态。

小技巧：轮换状态可以用 $\oplus 1$ 操作来 $0\rightarrow 1$，$1\rightarrow 0$。然后取最优状态可以用按位或运算。

~~哦哦哦我竟然也秒切出来了。~~

Code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ljl;
const int N=105,K=1e5+5;
int n,k,a[N],f[K];
int dfs(int u)
{
	if(f[u]!=-1)return f[u];
	if(u==0)return 0;
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		if(u>=a[i])
			ans|=(dfs(u-a[i])^1);
	}
	f[u]=ans;
	return f[u];
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin>>n>>k;
	for(int i=1;i<=n;++i)cin>>a[i];
	memset(f,-1,sizeof(f));
	if(dfs(k))cout<<"First\n";
	else cout<<"Second\n";
	return 0;
}

P10501 Cutting Game

link.

蓝书上的例题。

设 $n$ 行 $m$ 列为当前的状态。

首先肯定没人想剪出 $1\times k$ 的矩阵，因为这样下一步对方就可以剪出 $1\times 1$ 的矩阵，这是必败状态。

然后我们考虑分割。按照横着切，可以分为两个子矩阵，一个大小为 $i\times m$，一个大小为 $(n-i)\times m$。

同理，按照纵向切，可以分为 $n\times j$ 和 $n\times (m-j)$ 的两个子矩阵。

然后我们就可以枚举，从“完成一个矩阵”这一状态转移到“完成两个子矩阵”。

放图：

所以我们要求 $\operatorname{SG(\{n,m\})}$，只要求出右边那坨的 $\operatorname{SG}$ 值即可。

而右边那个的 $\operatorname{SG}$ 值，则等于 $\operatorname{SG({n-i,m})}\oplus \operatorname{SG(i,m)}$。

由于不止一种剪法，所以要对多个新状态的 $\operatorname{SG}$ 值取 $\operatorname{mex}$。

所以要注意什么时候用异或，什么时候用 $\operatorname{mex}$。

Code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ljl;
const int N=205;
int n,m,sg[N][N];
int getsg(int a,int b)
{
	if(sg[a][b]!=-1)return sg[a][b];
	bool vis[N*N];memset(vis,0,sizeof(vis));
	for(int i=2;i<a-1;++i)
		vis[getsg(i,b)^getsg(a-i,b)]=1;
	for(int i=2;i<b-1;++i)
		vis[getsg(a,i)^getsg(a,b-i)]=1;
	for(int i=0;;++i)
		if(!vis[i])
		{
			sg[a][b]=i;
			return i;
		}
}
void Main()
{
	cout<<(getsg(n,m)==0?"LOSE\n":"WIN\n");
	return;
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	memset(sg,-1,sizeof(sg));
	for(int i=1;i<=200;++i)
		sg[1][i]=sg[i][1]=0;
	while(cin>>n>>m)Main();
	return 0;
}

参考资料

李煜东小蓝书《算法竞赛进阶指南》第 $0x3A$ 节《博弈论之 SG 函数》
OI wiki 博弈论
浅谈SG函数和博弈论

posted @ 2026-07-05 21:41 Atserckcn 阅读(22) 评论(0) 收藏举报

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