再谈ST表

再谈 ST 表

思想：倍增。

适用范围：对于一个不可修改的序列维护区间最大/最小值询问。

时间：\(O(n\log n)\) 预处理，\(O(1)\) 查询。

下文以最大值为例。

预处理

状态：设 \(f_{i,j}\) 表示区间 \([i,i+2^j-1]\) 的最大值。

那么递推式就有：

\[f_{i,j}=\max\left\{f_{i,j-1},f_{i+2^{j-1},j-1}\right\} \]

显然边界是 \(f_{i,0}=a_i\)。其中 \(a_i\) 是原序列。

图解：

其中第二个，区间右边界是 \(i+2^{j-1}+2^{j-1}-1=i+2^j-1\)。

查询

假设查询区间为 \([l,r]\)。

找到 \(\max\left\{k\mid 2^k<r-l+1\le 2^{k+1}\right\}\)。

把 \([l,r]\) 分解为 \([l,l+2^k-1]\cup [r-2^k+1,r]\)。

即从 \(l\) 开始的 \(2^k\) 个元素与 \(r\) 结尾的 \(2^k\) 个元素。

因为 \(2^k<r-l+1\le 2^{k+1}\)，所以这俩区间一定可以覆盖整个查询区间。

对于 \(r-2^k+1\) 的解释：

\[r-2^k+1+2^k-1=r \]

所以式子就是：

\[\max\left\{f_{l,k},f_{r-2^k+1,k}\right\} \]

注意：ST 表是预处理完查询，所以不支持修改。

示例代码

例题：P3865 【模板】ST 表 & RMQ 问题

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ljl;
#define FUP(i,x,y) for(auto i=(x);i<=(y);++i)
#define FDW(i,x,y) for(auto i=(x);i>=(y);--i)
inline void Rd(auto &num);
const int N=1e5+5,L=25;
int n,m,a[N];
namespace ST{
	int f[N][L],Lg2[N];
	void Build()
	{
		Lg2[1]=0;
		FUP(i,2,n)Lg2[i]=Lg2[i/2]+1;
		FUP(i,1,n)f[i][0]=a[i];
		FUP(j,1,20)
		{
			FUP(i,1,n)
			{
				if(i+(1<<(j-1))>n)break;
				f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
			}
		}
		return;
	}
	int query(int l,int r)
	{
		int lens=r-l+1;
		int k=Lg2[lens];
		return max(f[l][k],f[r-(1<<k)+1][k]);
	}
}
int main(){
	Rd(n);Rd(m);
	FUP(i,1,n)Rd(a[i]);
	ST::Build();int l,r;
	while(m--)
	{
		Rd(l);Rd(r);
		printf("%d\n",ST::query(l,r));
	}
	return 0;
}
inline void Rd(auto &num)
{
	num=0;char ch=getchar();bool f=0;
	while(ch<'0'||ch>'9')
	{
		if(ch=='-')f=1;
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9')
	{
		num=(num<<1)+(num<<3)+(ch-'0');
		ch=getchar();
	}
	if(f)num=-num;
	return;
}