排列组合

排列组合

加法原理

完成某件事情有 \(n\) 类方法，其中第 \(i\) 类方法有 \(a_i\) 种方案。

则总共有 \(\sum_{i=1}^na_i\) 种方案。

乘法原理

完成某件事有 \(n\) 个步骤，第 \(i\) 个步骤有 \(a_i\) 种方案。

则共有 \(\prod_{i=1}^n a_i\) 种。

排列问题

定义：在一个集合中，有序地不重复地选取若干元素。

• 排列数

给定一个 \(n\) 个元素的集合，从中有序地选出 \(m\) 个元素，方案为 \(n(n-1)(n-2)\cdots (n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}\)。

定义对于 \(n\ge m\)，\(P(n,m)\) 表示从 \(n\) 个元素中，有序选出 \(m\) 个的方案数。

所以 \(P(n,m)=\frac{n!}{(n-m)!}\)。

• 组合数

对于一个有 \(n\) 个元素的集合，从中无序地选出 \(m\) 个，方案为 \(\frac{n!}{m!(n-m)!}\)，用 \(C_n^m\) 表示。

显然有 \(C^n_m=C^{n-1}_m+C^{n-1}_{m-1}\)，意思是最后一个数字（第 \(m\) 个）选和不选。

插板法

题目：将 \(n\) 个相同的物品，放入 \(m\) 个不同的盒子里，问方案数。

考虑将 \(n\) 个物品排成一排，\(m\) 个盒子就是用 \(m-1\) 个板子，将 \(n\) 个物品隔成 \(m\) 段，每段都当作放进一个盒子中。

方案数为 \(C_{n-1}^{m-1}\)。

还可以转化成类似于 \(\sum_{i=1}^m x_i=n\) 的正整数解个数。

改版：将 \(n\) 个相同的物品，放入 \(m\) 个不同的盒子里，但是不要求每个盒子都要放，求方案数。

可以考虑让每个盒子里附带上一个借来的物品，这样既可以满足不需要新放入，又可以用公式做。

方案数：\(C_{n+m-1}^{m-1}\)。

那么又可以转化成了满足 \(\sum_{i=1}^m x_i=n\) 的非负整数解个数。

还相当于满足 \(\sum_{i=1}^m y_i=n+m\) 的正整数解个数。