单调栈与单调队列

单调栈与单调队列

你说我都会树链剖分了，咋还不会单调栈与单调队列啊？

单调栈

问题类型：对于一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\)，对于 \(\forall 1\le i\le n\)，求 \([a_1\sim a_{i-1}]\) 或 \([a_{i+1}\sim a_n]\) 的最靠近 \(i\) 且比 \(a_i\) 大/小的问题。

以在 \(i\) 左边的区间为例。

不过说最值问题可以用线段树、ST 表、树状数组之类的，为啥要学这个嘞？

• 实现简单
• 速度较快，毕竟线段树、树状数组常数都挺大的
• 不会其他的：

那么我们来看看原理。

不妨先手搓一个样例玩玩。

假设数组为 \([1,2,3,4,5]\)，求最大值。

那么我们挨个看看 \(i\)。

\(i\)	数列
\(1\)	\([1]\)
\(2\)	\([1,2]\)
\(3\)	\([1,2,3]\)
\(4\)	\([1,2,3,4]\)
\(5\)	\([1,2,3,4,5]\)

发现第 \(i\) 次操作有且仅有 \(a_i\) 被新加入数列。即 \([a_1\sim a_{i-1}]\) 是不变的。如果暴力枚举就会重复，效率极低。

所以我们考虑贪心的思想。

因为是求最大值，如果 \(\exist \ i<j,a_i\le a_j\) 的情况，是不是从现在开始，在 \(a_i\) 的有生之年就不可能对答案有贡献。

因为后面的区间如果包含了 \(a_i\)，也必定包含了 \(a_j\)，所以 \(a_i\) 一定会被 \(a_j\) 所替代，也就无法产生贡献。

那我们就不需要考虑 \(a_i\)，可以把它踢出去。

所以我们存储在序列里的元素一定是一个具有单调性的序列。

我们考虑用栈进行存储。

如果 \(i<j,a_i\le a_j\)，即 \(a_i\) 已成为废品，那么就让它从栈中弹出。重复执行这一步骤。

最后再加入 \(a_j\) 就算完成了一次操作。

来看看代码。

for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		while(!st.empty()&&h[st.top()]<h[i])
		{
			ans[st.top()]=i;
			st.pop();
		}
		st.push(i);
	}

虽然看起来是双层循环，是 \(O(n^2)\)，但是如果仔细算算，发现 while 里面的操作总共最多执行 \(n\) 次，所以总时间复杂度是 \(O(n)\)。

单调队列

单调栈的升级版。升级在于规定了区间长度为 \(m\)。

即当前为 \(i\)，与 \(i\) 有关系的区间为 \([i-m-1,i-1]\) 和 \([i+1,i+m+1]\)。求最值。

以在 \(i\) 左边的区间为例。

那么我们再来手搓玩玩。序列还是 \([1,2,3,4,5]\)，区间长度为 \(3\)。

\(i\)	序列
\(1\)	\([1]\)
\(2\)	\([1,2]\)
\(3\)	\([1,2,3]\)
\(4\)	\([2,3,4]\)
\(5\)	\([3,4,5]\)

其中只有 \(i\in \left\{ 3,4,5\right\}\) 时才有意义。所以只需要考虑 \(3\le i\le 5\)。

可能不够直观，换种方式看看？

\[[1\ 2\ 3]\ 4\ 5\\ \ 1\ [2\ 3\ 4]\ 5\\ \ 1\ 2\ [3\ 4\ 5]\\ \]

注意到，每次改动仅是多加上一个数 \(a_{i+1}\)，并减去一个数 \(a_{i-m+1}\)。所以说就是单调栈的升级版。

俗称滑动窗口。感觉十分形象。

这个是真正的区间最值。但上文说过，线段树、ST 表、树状数组都太慢且不容易实现。

老规矩，还是维护一个具有单调性的双端队列，这样可以模拟从尾部进，从队头出。

对于每次“滑动”，先将滑动所加元素加入队列尾部，不断踢出不比其更优的元素。这个原理和单调栈相似。

然后由于是滑动，所以队列前面的元素可能已经超过了窗口，那我们将它踢出队列。

最后将新加元素加到队列尾部。

代码：

for(int i=1;i<=n;++i)
	{
		while(!dq.empty()&&a[dq.back()]<=a[i])
			dq.pop_back();
		while(!dq.empty()&&dq.front()<=i-k)
			dq.pop_front();
		dq.push_back(i);
		ans[i]=a[dq.front()];
	}

完结撒花。