浅谈二分算法

浅谈二分算法

二分

首先知道一下二分是什么。

二分，是一种快速处理大型数据的方法。基本逻辑是折半查找。

设有一个共有 \(n\) 个数字的数组，要从中查询某个元素，就可以用二分查找。

注：这里的数组默认其成员数值具有单调性。这个点十分重要。

还记得小时候（我现在才新初一）跟同学玩过一个游戏（数字炸弹），当时玩得可欢了，一直以为是一个概率小游戏（其实确实有概率的成分），每局能玩上十几分钟。

但是现在学完信息学后，特别是学完二分后，对它有了一种快速解决的方法。

首先我们知道，设出题者所想的这个数字为 \(x\)，则 \(x\in[1,100]\)，这是我们玩的规则，不过大差不差。

那么很显然，因为 \(1\sim 100\) 具有单调上升的性质，而我们又只需要查找一个数，暴力的求解方法是从 \(1\) 尝试到 \(100\)，最坏情况下需要枚举 \(100\) 次，十分漫长。

而我们可以想到，每次说出一个数 \(y\)，只要不是 \(y=x\)，就可以排除 \(100-y+1\) 或 \(y\)​​ 个数（这取决于你猜的这个数是大了还是小了）。

那么我们就可以利用这个特性，假设共有 \(n\) 个数字，每次都排除 \(n\div2\) 个数字，这样最多经过 \(\log_2^n\) 次后就可以结束游戏。

其实小学课本里就有类似的例子，是数学书里一个单元叫做 “ 找次品 ” 的数学问题（不知道的自己查），但那里是用 \(\log _3^n\) 的时间，这里不再赘述。

双指针

双指针，顾名思义，就是运用两个变量 \(l,r\)​ 表示所求区间的左右端点，可以更加轻松地控制对答案有贡献的区间。

设所求元素为 \(p\)，序列为 \(a\)。

比如每次取个中点 \(mid=\frac{(l+r)}{2}\)，若 \(p<a_{mid}\)，则 \(r\leftarrow mid\)，左端点 \(l\) 不变。将区间控制为 \([l,mid]\)。

否则 \(l\leftarrow mid+1\)，将区间控制为 \([mid+1,r]\)。

但这里问题就来了，区间为空的判定条件是 \(l=r\) 还是 \(l>r\) 呢？

二分查找的边界条件

枚举以下情况

• 闭区间

若你用的是闭区间，即 \([l,r]\)，则判断条件即为 \(l=r\)，因为若 \(l=r\)，则 \([l,r]\) 其实就是 \([l,l]\) 或 \([r,r]\) ，就是一个数，答案也显然即为 \(a_l\)​。

示意图：

• 开区间

开区间，是 \((l,r)\)，不包括 \(l,r\) 。所以有效区间为 \([l+1,r-1]\)。判断条件即为 \(l+1=r-1\)​。

示意图：

• 左开右闭

左开右闭，即 \((l,r]\) 有效区间为 \([l+1,r]\)，边界条件即为 \(l+1=r\)​，还是就剩下一个数为止。

示意图：

• 左闭右开

左闭右开，\([l,r)\)，有效区间为 \([l,r-1]\)，边界条件为 \(l=r-1\)​。

示意图：

所以可以总结一下，不管你的 \(l,r\) 都表示什么意思，重点就是四个字，有效区间！

大概大家也注意到了，我在解释除了闭区间其他情况的时候，有效区间的左右端点都是用闭区间来表示，为什么呢？当然是因为我个人喜欢用闭区间啦。