[USACO1.5] 八皇后 Checker Challenge 题解

[USACO1.5] 八皇后 Checker Challenge

题目描述

一个如下的 \(6 \times 6\) 的跳棋棋盘，有六个棋子被放置在棋盘上，使得每行、每列有且只有一个，每条对角线（包括两条主对角线的所有平行线）上至多有一个棋子。

上面的布局可以用序列 \(2\ 4\ 6\ 1\ 3\ 5\) 来描述，第 \(i\) 个数字表示在第 \(i\) 行的相应位置有一个棋子，如下：

行号 \(1\ 2\ 3\ 4\ 5\ 6\)

列号 \(2\ 4\ 6\ 1\ 3\ 5\)

这只是棋子放置的一个解。请编一个程序找出所有棋子放置的解。
并把它们以上面的序列方法输出，解按字典顺序排列。
请输出前 \(3\) 个解。最后一行是解的总个数。

输入格式

一行一个正整数 \(n\)，表示棋盘是 \(n \times n\) 大小的。

输出格式

前三行为前三个解，每个解的两个数字之间用一个空格隔开。第四行只有一个数字，表示解的总数。

样例 #1

样例输入 #1

6

样例输出 #1

2 4 6 1 3 5
3 6 2 5 1 4
4 1 5 2 6 3
4

提示

【数据范围】
对于 \(100\%\) 的数据，\(6 \le n \le 13\)。

题目翻译来自NOCOW。

USACO Training Section 1.5

（一）读懂题目

（Who） 关键词

6×6棋盘
六个棋子
每行、每列
每条对角线
只有一个

(What) 关键词之间关键联系：

满足每行每列每个对角线只有一个棋子的棋局就是一种解法

(How) 思路：

（1）

分析：第一反应使用深度优先搜索去做，枚举每一行，对本次摆放的棋子的每一列和每一个对角线都标上记号

（2）

分析：我们可以运用标记数组，bool类型来进行标记

（3）

分析：重要的是对角线的标记问题，但经过观察可以发现，对角线不是i+j相等就是i-j+8相等，所以可以利用这个特性来进行标记

（二）分析时间+空间复杂度

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)

（三）代码实现

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int ans,n;//ans是用来记录输出次数，题目只要求输出3次 
int a[15];//每一行 
bool b[15],c[40],d[40];//标记数组，b数组标记那一列，c和d数组标记对角线 
void print()//打印函数 
{
	for(int j=1;j<=n;j++)
	{
		printf("%d ",a[j]);
	}
	puts("");
	return;
}
void dfs(int i)//重点：深搜dfs 
{
	if(i>n)//如果一种情况成立（i已经遍历完每一列所有位置） 
	{
		ans++;//记录+1 
		if(ans<=3)//如果<=3才输出，否则就是+1而已 
		{
			print();
		}
		return;
	}
	for(int j=1;j<=n;j++)//枚举每一列 
	{
		if(!b[j]&&!c[i+j]&&!d[i-j+n])//如果这个点没有被其他皇后给攻击到 
		{
			//标记ing …… 
			b[j]=true;
			c[i+j]=true;
			d[i-j+n]=true;
			a[i]=j;
			dfs(i+1);//继续深搜
			//取消标记，回溯ing…… 
			b[j]=false;
			c[i+j]=false;
			d[i-j+n]=false;
		}
	}
	return;
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	dfs(1);//记得从1开始 
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}

（四）总结反思

本题就是著名的八皇后问题，最初由国际西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔于1848年提出的问题，是回溯算法的典型案例。
然后就是被许多人又改成了许多版本（N皇后、K皇后、皇后游戏、还是N皇后）……
呃，正事——
本题考察的是我们对与搜索的掌握，但对于本题而言，深搜dfs的回溯还是更适合枚举方案的
所以最后也是运用了dfs进行作答
AC~