费马小定理

费马小定理

定义：

设 p 为素数，a 为整数，则 \(a^p \equiv a\ (\mod p)\) ，若 \(p \nmid a\) ，则 \(a^{p-1} \equiv 1\ (\mod p)\)

先证明若 \(p \mid a\) ，证明过程如下：

\[\because p \mid a \\ a\mod p=0 \\ a^p \mod p =0 \]

再证明当 \(p \nmid a\) 时：

创建集合 \(S=\){ \(x_1,x_2,x_3,\cdots,x_{p-1}\)} ，S为1，2，3，\(\cdots\)，p-1的一个 排列 ，\(ax_1,ax_2,ax_3,\cdots,ax_{p-1}\) ，任意两项模 p 不同余

若\(\exists\ \forall\ i,j,╞ 1\le i <j <p\) ，使得 \(ax_i\ \equiv ax_j (\mod p)\)

则 \(p\mid a(x_i-x_j)\)

\(\because p \nmid a\ \ ,\therefore p\mid(x_i-x_j)\)

又\(\because x_i \mod p \not= x_j\mod p\)

\(\therefore 矛盾\)

设\(\forall \ k \in S,p\ \nmid\ S_k\)

\(\because ax_1\mod p,ax_2\mod p,\cdots,ax_{p-1}\mod p\) 为1,2,3,\(\cdots\) ，p-1的一个排列（上文已提到）

\(\therefore (ax_1)(ax_2)(ax_3)\cdots(ax_{p-1})\equiv x_1\cdot x_2\cdot x_3 \cdots x_{p-1} (\mod p)\)

\[x_1\cdot x_2 \cdot x_3 \cdots x_{p-1} \\ =(p-1)(p-2)(p-3)\cdots 2\cdot 1 \\ =(p-1)! \]

\(\because p\nmid(p-1)!\)

\(\therefore a^{p-1}\equiv 1 (\mod p)\)

得证