四边形不等式优化

四边形不等式优化

应用于类似以下dp转移方程。

\[f_{i}=\min_{1\le j\le i}(w_{i,j},f_{i}) \]

假设 \(w_{i,j}\) 可以在 \(O(1)\) 的时间内进行计算。

在正常情况下，此状态转移方程的时间复杂度是 \(O(n^2)\)。

对于问题 \(i\)，我们需要考虑所有的有关决策 \(j\)，但是当其满足决策单调性时，就可以缩小决策空间，减少时间复杂度。

四边形不等式：

约定：

对于类似 \(a\le b\le c\le d\) 都成立，若二元函数 \(w_{i,j}\) 满足以下条件

\[w_{a,c}+w_{b,d}\le w_{a,d}+w_{b,c} \]

则称 \(w_{i,j}\) 满足四边形不等式。

特别的，若等号永远成立，则称 \(w_{i,j}\) 为四边形恒等式。

重点：因为四边形不等式是用来优化时间复杂度的，所以四边形不等式给出了一个决策单调性的充分不必要条件。

利用决策单调性，可以使用二分查找，使其查询时间复杂度降低为 \(O(N \log N)\)。

区间包含单调性

若 \(w_{b,c}\le w_{a,d}\)，则称 \(w\)​ 满足区间包含单调性。

• 既包含，又满足决策单调性。

• 满足四边形不等式的形象化图片。