二分图

二分图

定义：

二分图是一种特殊的图，顶点被分为左右两部分，且两部分内没有连边。

• 来源于oiwiki

因为此图可以被分为两个集合，所以每条边链接的两个顶点都可以看作一个黑色，一个白色（如上图）。

判定是否为二分图

• 需要判断是否能分为两个集合

可以用染色法。

用深搜去遍历图，给每个顶点赋上颜色（黑白），若出现自相矛盾的情况（一条边俩顶点颜色一致），则不是。

二分图最大匹配

给定一个二分图 \(G\)，分左右两部分，各部分之间的点没有边连接，要求选出一些边，使得这些边没有公共顶点，且边的数量最大。

• 匈牙利算法（增广路算法）

利用贪心的思想，枚举左边的每个点，看看能否匹配到右边的点。

1、设 \(s\in \emptyset\)，即所有边都为未匹配边。

2、寻找增广路，把路径上的所有边匹配状态取反，取到一个更大的匹配 \(S'\)。

3、重复第 \(2\) 步，直到图中不存在增广路。

寻找增广路

匈牙利算法依次尝试给每一个左边节点 \(x\) 匹配一个右边节点 \(y\)，若匹配成功，则需要满足以下条件之一：

1、\(y\) 本来就是未匹配点。此时 \((x,y)\) 本身就是非匹配边，自己构成一条长度为 \(1\) 的增广路。

2、\(y\) 已与左部节点 \(x'\) 配对，但从 \(x'\) 可以再次找到一个右边节点 \(y'\) 配对，则 \((x,y,x',y')\) 构成一条增广路。

P3386 【模板】二分图最大匹配

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,e;
int u,v;
const int MAXN=1005,MAXE=1e4+5;
int head[MAXN],cnt_edge;
bool g[MAXN][MAXN];
int ans;
bool vis[MAXN];
int match[MAXN];
bool dfs(int now)
{
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		if(!vis[i]&&g[now][i])
		{
			vis[i]=true;
			if(!match[i]||dfs(match[i]))
			{
				match[i]=now;
				return true;
			}
		}
	}
	return false;
}
int main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&e);
	for(int i=1;i<=e;i++)
	{
		scanf("%d%d",&u,&v);
		g[u][v]=true;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		memset(vis,false,sizeof(vis));
		if(dfs(i)) ans++;
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}