线性筛积性函数

积性函数

若定义域为全体正整数的函数\(f(x)\)满足\(\forall gcd(n,m)=1,f(nm)=f(n)f(m)\)，则称函数\(f(x)\)为积性函数。

常见的积性函数有\(\epsilon(n),\ \varphi(n),\ \mu(n),\ \sigma_{k}(n),\ id_k(n)\)等。

若\(f(n),\ g(n)\)都是积性函数，则\(f(x^p),\ f^p(x),\ f(x)g(x),\ (f*g)(n)\)也是积性函数。

线性筛积性函数

线性筛可以在\(O(n)\)的时间复杂度筛出\(f(x)\)，当且仅当\(f(x)\)满足：可以\(O(1)\)求出\(f(1),f(p),f(p^k)\)的函数值。

首先复习一下线性筛素数的代码：

int pri[N], tot, vis[N];

void sieve(int n)
{
    for (int i = 2; i <= n; ++i)
    {
        if (!vis[i]) 
        {
            pri[++tot] = i;
            //1
        }
	for (int j = 1; j <= tot && pri[j] * i <= n; ++j)
	{
	    vis[pri[j] * i] = 1;
            //2
	    if (i % pri[j] == 0) break;
	}
    }
}

显然我们需要在代码中的\(1、2\)处求\(f(x)\)的值。

\(1\)处\(i\)为素数，\(f(x)\)可以\(O(1)\)求出。

\(2\)处复杂一点，其实是要求出\(f(pri_j*i)\)的值。

注意到：设\(i=\prod_{i=1}^{k}p_i^{\alpha_i}\)，则\(pri_j\leq p_1\)。因为\(pri_j=p_1\)后就会\(break\)。

若\(pri_j<p_1\)，则\(f(pri_j*i)=f(pri_j)f(i)\)。

若\(pri_j=p_1\)，设\(low_i=p_1^{\alpha_1}\)（就是上面唯一分解\(i\)中的第一项），\(f(pri_j*i)=f(\frac{i}{low_i})f(low_i*pri_j)\)

有一个例外，当\(low_i=i\)时，\(f(pri_j*i)=f(p_k)\)，可以\(O(1)\)求出。

细节见代码

void Sieve(int N)
{
    f[1] = ...;//求f(1)
    low[1] = 1;
    
    for (int i = 2; i <= N; ++i)
    {
	if (!vis[i]) 
	{
	    low[i] = pri[++tot] = i;
	    f[i] = ...;//求f(p)
	}
	for (int j = 1; j <= tot && pri[j] * i <= N; ++j)
	{
	    vis[pri[j] * i] = 1;
	    if (i % pri[j] == 0)
	    {
		low[pri[j] * i] = low[i] * pri[j];
		
		if (low[i] == i)
		    f[pri[j] * i] = ...;//求f(p^k)(一般由f(p^(k-1))推出)
		else
		    f[pri[j] * i] = f[i / low[i]] * f[low[i] * pri[j]];
		break; 
	    }
			
            low[pri[j] * i] = pri[j];
	    f[pri[j] * i] = f[i] * f[pri[j]];
        }
    }
}

例题

\(\rm{SPOJ}\ 5971\ \rm{LCMSUM}\)

这是一道推柿子题，不过推柿子的过程不是本文重点，仅讨论最后得到结果的求法。

结论是：

\[\sum_{i=1}^{n}lcm(i,n)=\frac{1}{2}n(\sum_{d|n}d\cdot\varphi(d) + 1) \]

设\(f(n)=\sum_{d|n}d\cdot\varphi(d)\)，不难证\(f(n)\)为积性函数。

\[\begin{align} f(n)f(m) & = \sum_{d|n}d\cdot\varphi(d)\sum_{d'|m}d'\cdot\varphi(d') \\ & = \sum_{dd'|nm}dd'\cdot\varphi(d)\varphi(d')\\ & = \sum_{dd'|nm}dd'\cdot\varphi(dd') \\ & = f(nm) \end{align} \]

线性筛预处理\(f(n)\)即可，时间复杂度\(O(n+T)\)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long

inline int read()
{
	int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) if (ch == '-') f = -1;
	for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) + ch - '0';
	return x * f;
}

const int N = 1e6 + 5;
int p[N], tot, f[N], low[N]; //f_n = \sum_{d | n} phi_d * d;
bool vis[N];

void Sieve()
{
	f[1] = 1;
	low[1] = 1;
	
	for (int i = 2; i < N; ++i)
	{
		if (!vis[i]) 
		{
			low[i] = p[++tot] = i;
			f[i] = i * (i - 1) + 1;
		}
		for (int j = 1; j <= tot && p[j] * i < N; ++j)
		{
			vis[p[j] * i] = 1;
			if (i % p[j] == 0)
			{
				low[p[j] * i] = low[i] * p[j];
				
				if (low[i] == i)
					f[p[j] * i] = f[i] + p[j] * i * i * (p[j] - 1);
				else
					f[p[j] * i] = f[i / low[i]] * f[low[i] * p[j]];
				break; 
			}
			
			low[p[j] * i] = p[j];
			f[p[j] * i] = f[i] * f[p[j]];
		}
	}
}

signed main()
{
	Sieve();
	
	int T = read();
	while (T--)
	{
		int n = read();
		printf("%lld\n", (f[n] + 1) * n / 2);
	}
	return 0;
}