数学分析：实数的完备性

闭区间套：

定义：

若：

1. \(\forall\ n\)，\([a_n,b_n]\subseteq[a_{n-1},b_{n-1}]\)

2. \(\lim_{n\to \infty}\limits |a_n-b_n|=0\)

则称 \(\{[a_n,b_n]\}\) 是闭区间套。

定理：

对于 \(\forall\ \{[a_n,b_n]\}\) ，一定存在唯一的 \(\varepsilon\) ，对于 \(\forall \ n\) ，\(\varepsilon\in [a_n,b_n]\) ，且 \(\lim_{n\to \infty}\limits a_n=\lim_{n\to \infty}\limits b_n=\varepsilon\) 。

聚点：

定义：

对于 \(S\subseteq R\)，若 \(\exists\ x_0\in R\) ，\(\forall\ \delta\)，都 \(\exists\ \varepsilon\in U(x_0,\delta)\) 使得 \(\varepsilon\in S\) 且 \(\varepsilon\neq x_0\) ，则称 \(x_0\) 是 \(S\) 的一个聚点。

定理：

对于任意无穷有界集 \(S\)，一定有聚点（可用闭区间套定理证明）。

开覆盖：

定义：

若 \([a,b]\subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty}\limits(a_n,b_n)\) ，则必有有限数列 \(n_1,n_2,...,n_k\) ，使得 \([a,b]\subseteq \bigcup_{i=1}^{k}\limits(a_{n_i},b_{n_i})\) 。

实数完备性：

1. 确界定理

2. 单调有界定理

3. 闭区间套定理

4. 有限覆盖定理

5. 聚点定理

6. 致密性定理

7. 柯西收敛准则

实数完备性的等价性

证明上述定理等价不需要相互推导，只需从第一个证明下一个，遍历所有定理后回到第一个即可。

上极限与下极限：

定义：

上极限就是数列的所有聚点中，最大的那个值。

下极限是最小的那个值。

定理：

集合的聚点的集合的聚点，也是原集合的聚点。

上下极限与一般极限的关系：

若对于数列 \(\{a_n\}\)，若 \(\underline{\lim_{n\to\infty}\limits}a_n=\overline{\lim_{n\to\infty}\limits}a_n\) 。

则 \(\lim_{n\to\infty}\limits a_n\) 存在，且 \(\lim_{n\to\infty}\limits a_n=\underline{\lim_{n\to\infty}\limits}a_n=\overline{\lim_{n\to\infty}\limits}a_n\) 。