关于拟阵
预备知识
向量空间：
定义 \((F, V, +, •)\) 为向量空间（也称线性空间），其中 \(F\) 为域，\(V\) 为集合，\(V\) 中元素称为向量，\(+\) 为向量加法，\(•\) 为数乘运算，且运算满足 \(8\) 条公理。
线性无关：
向量空间中，对于 \(V\) 上一组 \(n\) 个向量 \(x_i\) ，若存在不全为 \(0\) 的数 \(k_i ∈ F\) ，使得 \(\sum^n_{i=1} k_ix_i = 0\)，则称这 \(n\) 个向量线性相关，否则称为线性无关。
线性表出：
向量空间中，对于 \(V\) 上一组 \(n\) 个向量 \(x_i\) 及一个向量 \(y\) ，若存在不全为 \(0\) 的数 \(k_i ∈ F\) ，使得 \(\sum^n_{i=1} k_ix_i = y\)，则称 \(y\) 可被 \(x_i\) 线性表出。
一组向量线性相关 \(⇐⇒\) 存在向量可被其他向量线性表出。
基：
在向量空间中，一个极大线性无关组称为一组基。基的大小就是向量空间的维数。
拟阵定义
独立集：
一个有限拟阵是一个满足下列条件的二元组 \(M = (E, I)\) ，其中 \(E\) 是有限集，称为基础集，\(I\) 是由 \(E\) 的一些子集（称为独立集）组成的有限非空集。
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\(\emptyset \in I\)
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遗传性：\(\forall A^{\prime} \subset A \subset E\)，如果 \(A \in I\) 那么 \(A^{\prime} \in I\)
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增广性或独立集交换性：如果 \(A, B \in I,|A|>|B|\)，那么 \(\exists x \in A \backslash B\)，\(s.t. B \cup\{x\} \in I\)
拟阵举例：
基与回路：
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极大的独立集称为拟阵的基。
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极小的不独立集称为拟阵中的回路。
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用 \(\mathcal{B}\) 表示基的集合, 则 \(\mathcal{B}\) 非空, 且满足基交换性，即如果 \(A, B \in \mathcal{B}, A \neq B, a \in A \backslash B\) ，则 \(\exists b \in B \backslash A\) \(s.t. A \backslash\{a\} \cup\{b\} \in \mathcal{B}\) 。
秩函数：
由交换性可证明所有基的大小相同。
就像矩阵的秩，拟阵的秩就是基的大小。
拟阵类型
组合拟阵：
如上面的例子 \(E = \{1, 2, 3\}, I = \{size ≤ 2 的子集\} = \{∅, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1, 2\}, \{1, 3\}, \{2, 3\}\}\)
像这样集合 \(E\) 中有 \(n\) 个元素，\(I = \{size ≤ r 的子集\}\) 的拟阵，称为组合拟阵，记为 \(U_{r,n}\) 。
上例即是 \(U_{2,3}\)。
分割拟阵：
如果把若干个组合拟阵拼在一起，就得到了分割拟阵。
向量拟阵：
设 \(E\) 为一个向量空间中的有限子集，\(I = \{E\ 中线性无关集\}\)。那么称 \(M = (E, I)\) 为向量拟阵。
\(|A| > |B| ⇒ dim A > dim B\)，则 \(A\) 中必有 \(B\) 中向量组无法线性表出的向量 \(x ∈ A \ B\) ，将其加入 \(B\) 中，\(B ∪ {x}\) 仍线性无关。
如果拟阵可以用这种方式定义，那我们说 \(E\) 代表了拟阵 \(M\) 。
列拟阵：
用矩阵 \(A\) 的列来表示上述向量空间 \(E\) 中的向量，那么 \(A\) 称为列拟阵，我们可以说 \(A\) 代表了拟阵 \(M\) 。
环拟阵：
有限图 \(G(V, E)\) 中，将 \(E\) 边集作为基础集，所有森林为独立集，则 \(M(G)\) 为拟阵，称为环拟阵。
环拟阵的基为树，回路为环，这也是回路的称呼来源。
图拟阵：
像环拟阵那样从图中获得的拟阵称为图拟阵。
将每条边视为一个向量，只有边两端的点对应的值是 \(1\)，其余为 \(0\)（自环均视为 \(0\) 向量）。
则图拟阵可视为一种特殊的向量拟阵。
匹配拟阵：
二分图 \(G = (U, V, E)\) 中，定义 \(U\) 的子集 \(I\) 是独立集当且仅当 \(I\) 能与 \(V\) 完美匹配，则 \(M = (U, I)\) 称为匹配拟阵。
基础操作
对偶：
\(M = (E, I)\)，\(\mathcal{B}\) 为基的集合，定义 \(B^∗ = \{E − B|B ∈ \mathcal{B}\}\) 为 \(M\) 的对偶拟阵 \(M^∗\) 的基的集合。
即 \(M^∗ = (E, I^∗) = \{E − I | r_M(I) = r_M(E)\}\) 秩函数为 \(r^∗(S) = |S| − r(M) + r(E \backslash S)\).
\((M^∗)^∗ = M，(U_{r,n})^∗\) 同构于 \(U_{n−r,n}\) 。
其他操作：
除了对偶之外，还有两个拟阵操作，\(\text{deletion}\) 和 \(\text{contraction}\)，反映在图拟阵上，\(\text{deletion}\) 是删边，而 \(\text{contraction}\) 是缩边。
并：
求若干个拟阵的并可以得到更大的拟阵。
\(M_{i}=\left(S_{i}, \mathcal{I}_{i}\right)\) 为拟阵, 拟阵并为：
\(M\) 仍为拟阵, 且 \(M\) 的秩函数为：
贪心算法
带权拟阵：
带权拟阵是给拟阵中的元素赋予一个非负实数作为权值。子集的权值定义为集合内元素权值之和。
贪心算法：
运用贪心算法，可以在带权拟阵中找出权值最大的基。
贪心算法就是先对元素按权值从大到小排序然后依次考虑每个元素，若加入当前集合后仍线性无关，则加入，否则不加入。最后得到的就是权值最大的基。
贪心算法证明：
证明每一步得到的都是某个最优解的子集。初始为空集，满足条件。
设 \(A\) 为当前得到的最优解的子集，若 \(A\) 无法扩展，则 \(A\) 为最优解。
否则由贪心算法，\(x\) 为能使 \(A\) 扩展权值最大的元素，则 \(A ∪ \{x\}\) 仍为最优解的子集。
反证，设 \(T\) 为包含 \(A\) 的最优解，构造 \(T′ = A′\) ，不断利用交换性以及 \(|T| > |T′|\) 增广 \(T′\) ，直到 \(|T| = |T′|\)。
此时 \(T′ = T − {y} + {x}\) ，\(y\) 在 \(T\) 时并没有被加入 \(T′\) 中，故 \(w(y) ≤ w(x)\) ，从而 \(w(T′) = w(T) − w(y) + w(x) ≥ w(T)\) 。
【例 1】最小生成树
最小生成树就是在带权的环拟阵上找权值最小的基。
取负, 加常数!
如何判断仍为独立集? 是否成环, 并查集维护。
这就是著名的 \(\text{Kruskal}\) 算法。
【例 2】任务调度问题
那些 \(\text{miss deadline}\) 的任务最后做也无所谓, 关键是其他的能否都在 \(\text{deadline}\) 前完成。
可以发现拟阵结构 \(M=(E, \mathcal{I})\) ，其中 \(I\) 是独立集当且仅当存在一种时间分配使 \(I\) 中任务都能在 \(\text{deadline}\) 前完成。
【例 3】Nikifor (ural 1041)
- 求带权向量拟阵中的权值最小的基。
如何判断向量组线性无关?
列线性方程组, 高斯消元求矩阵的秩。
【例 4】新 Nim 游戏 (cqoi2013)
首先利用 \(\text{Nim}\) 游戏结论, 不能留下异或和为 \(0\) 的组合。
一位的异或操作可以看作是 \(GF(2)\) 下的加法操作，般异或可以看作在 \(GF\left(2^{k}\right)\) 下的加法, 其中 \(k\) 为位数。
异或的线性无关就等同于在那个有限域中加法的线性无关。
因此就是在带权向量拟阵中求一组权值最大的基。
拟阵交
\(M_{1}=\left(S, \mathcal{I}_{1}\right), M_{2}=\left(S, \mathcal{I}_{2}\right)\) 是两个在基础集 \(S\) 上的拟阵。
那么 \(\mathcal{I}_{1} \cap \mathcal{I}_{2}\) 中的元素在两个拟阵内均为独立集。如何在 \(\mathcal{I}_{1} \cap \mathcal{I}_{2}\) 内找出最大的独立集？如何找出权值最大的独立集?
【例 5】二分图匹配
其中 \(\delta(v)\) 表示一端为 \(v\) 的边的集合，这两个拟阵都是分割拟阵。
这两个拟阵条件分别保证了二分图两侧每个点都最多只在一条边上, 其交集保证了选出的是匹配。
拟阵交算法描述
二分图匹配? 匈牙利算法，增广路。
就像匈牙利算法，我们需要一个过程，输入 \(I \in \mathcal{I}_{1} \cap \mathcal{I}_{2}\) ，输出 \(J \in \mathcal{I}_{1} \cap \mathcal{I}_{2}\) 使得 \(|J|=|I|+1\) 。
或找到一个 \(U\) 说明 \(|I|=r_{1}(U)+r_{2}(S \backslash U)\)，\(I\) 已经是最大的了。
