阵列信号处理中的自适应波束形成技术

自适应波束形成技术：线性最小方差准则与切比雪夫窗处理

基本原理

自适应波束形成技术通过调整阵列天线的加权系数，使主瓣指向期望信号方向，同时在干扰方向形成零陷。线性最小方差准则（LMS或LCMV）通过最小化输出功率（方差）来实现这一目标，同时保证期望信号方向的无失真响应。

数学模型

阵列输出：\(y(t) = \mathbf{w}^H \mathbf{x}(t)\)

优化问题：

\[\begin{aligned} \min_{\mathbf{w}} & \quad \mathbf{w}^H \mathbf{R}_{xx} \mathbf{w} \\ \text{s.t.} & \quad \mathbf{w}^H \mathbf{a}(\theta_0) = 1 \end{aligned} \]

其中：

• \(\mathbf{w}\) 是权向量
• \(\mathbf{R}_{xx}\) 是输入信号协方差矩阵
• \(\mathbf{a}(\theta_0)\) 是期望信号方向的导向矢量

加入切比雪夫窗约束后，优化问题变为：

\[\begin{aligned} \min_{\mathbf{w}} & \quad \mathbf{w}^H \mathbf{R}_{xx} \mathbf{w} \\ \text{s.t.} & \quad \mathbf{w}^H \mathbf{a}(\theta_0) = 1 \\ & \quad |\mathbf{w}^H \mathbf{a}(\theta_k)| \leq \delta, \quad k=1,2,\dots,K \end{aligned} \]

MATLAB实现

function adaptiveBeamformingWithChebyshev()
    % 参数设置
    c = 3e8;                % 光速 (m/s)
    fc = 2.4e9;             % 载波频率 (Hz)
    lambda = c/fc;          % 波长 (m)
    d = lambda/2;           % 阵元间距 (m)
    N = 16;                 % 阵元数量
    theta_desired = 30;     % 期望信号方向 (度)
    theta_interf = [-45, 60]; % 干扰方向 (度)
    SNR_desired = 20;       % 期望信号信噪比 (dB)
    INR_interf = [40, 35];  % 干扰噪声比 (dB)
    num_samples = 1000;      % 采样点数
    sidelobe_level = -35;   % 旁瓣约束电平 (dB)
    
    % 生成阵列流形
    array_pos = (0:N-1)*d;  % 阵列位置
    
    % 生成导向矢量
    a_desired = exp(1j*2*pi*array_pos*sin(theta_desired*pi/180)/lambda).';
    a_interf = zeros(N, length(theta_interf));
    for i = 1:length(theta_interf)
        a_interf(:,i) = exp(1j*2*pi*array_pos*sin(theta_interf(i)*pi/180)/lambda).';
    end
    
    % 生成信号
    s_desired = sqrt(10^(SNR_desired/10)) * (randn(1, num_samples) + 1j*randn(1, num_samples));
    s_interf = zeros(length(theta_interf), num_samples);
    for i = 1:length(theta_interf)
        s_interf(i,:) = sqrt(10^(INR_interf(i)/10)) * (randn(1, num_samples) + 1j*randn(1, num_samples));
    end
    noise = (randn(N, num_samples) + 1j*randn(N, num_samples))/sqrt(2);
    
    % 阵列接收信号
    X = a_desired * s_desired + a_interf * s_interf + noise;
    
    % 计算协方差矩阵
    Rxx = (X * X') / num_samples;
    
    % 切比雪夫窗约束设计
    theta_grid = -90:0.5:90;  % 角度网格
    A_grid = zeros(N, length(theta_grid));
    for i = 1:length(theta_grid)
        A_grid(:,i) = exp(1j*2*pi*array_pos*sin(theta_grid(i)*pi/180)/lambda).';
    end
    
    % 主瓣区域定义 (±10度)
    mainlobe_region = [theta_desired-10, theta_desired+10];
    mainlobe_idx = (theta_grid >= mainlobe_region(1)) & (theta_grid <= mainlobe_region(2));
    
    % 旁瓣区域
    sidelobe_idx = ~mainlobe_idx;
    
    % 构建约束矩阵
    C = [a_desired, A_grid(:, sidelobe_idx)];  % 期望信号约束 + 旁瓣约束
    
    % 约束值
    f = [1; 10^(sidelobe_level/20)*ones(sum(sidelobe_idx), 1)];
    
    % 使用quadprog求解约束最小方差问题
    H = Rxx;
    f_quad = zeros(N, 1);
    A = -C(:,2:end)';  % 旁瓣约束
    b = -10^(sidelobe_level/20)*ones(sum(sidelobe_idx), 1);  % 旁瓣上限
    
    % 等式约束 (期望方向增益=1)
    Aeq = a_desired';
    beq = 1;
    
    % 求解二次规划问题
    options = optimoptions('quadprog', 'Display', 'off');
    w_cheb = quadprog(H, f_quad, A, b, Aeq, beq, [], [], [], options);
    
    % 计算标准LCMV波束形成器 (无旁瓣约束)
    w_lcmv = inv(Rxx) * a_desired / (a_desired' * inv(Rxx) * a_desired);
    
    % 计算方向图
    pattern_cheb = 20*log10(abs(w_cheb' * A_grid));
    pattern_lcmv = 20*log10(abs(w_lcmv' * A_grid));
    
    % 绘制结果
    figure('Position', [100, 100, 1200, 500], 'Color', 'white');
    
    % 方向图比较
    subplot(1, 2, 1);
    plot(theta_grid, pattern_cheb, 'b', 'LineWidth', 1.5);
    hold on;
    plot(theta_grid, pattern_lcmv, 'r--', 'LineWidth', 1.5);
    hold off;
    grid on;
    xlim([-90, 90]);
    ylim([-80, 5]);
    xlabel('角度 (度)');
    ylabel('增益 (dB)');
    title('波束方向图比较');
    legend('切比雪夫约束', '标准LCMV');
    line([theta_desired, theta_desired], ylim, 'Color', 'k', 'LineStyle', '--');
    for i = 1:length(theta_interf)
        line([theta_interf(i), theta_interf(i)], ylim, 'Color', 'r', 'LineStyle', ':');
    end
    
    % 阵列输出信号分析
    y_cheb = w_cheb' * X;
    y_lcmv = w_lcmv' * X;
    
    % 计算输出功率谱
    [P_cheb, f_axis] = pwelch(y_cheb, 256, 128, 256, 1, 'centered');
    [P_lcmv, ~] = pwelch(y_lcmv, 256, 128, 256, 1, 'centered');
    
    subplot(1, 2, 2);
    plot(f_axis, 10*log10(P_cheb), 'b', 'LineWidth', 1.5);
    hold on;
    plot(f_axis, 10*log10(P_lcmv), 'r--', 'LineWidth', 1.5);
    hold off;
    grid on;
    xlim([-0.5, 0.5]);
    xlabel('归一化频率');
    ylabel('功率谱密度 (dB)');
    title('输出信号功率谱');
    legend('切比雪夫约束', '标准LCMV');
    
    % 计算性能指标
    output_SNR_cheb = 10*log10(var(w_cheb'*(a_desired*s_desired))/var(w_cheb'*noise));
    output_SNR_lcmv = 10*log10(var(w_lcmv'*(a_desired*s_desired))/var(w_lcmv'*noise));
    
    fprintf('性能指标对比:\n');
    fprintf('切比雪夫约束波束形成器 - 输出SNR: %.2f dB\n', output_SNR_cheb);
    fprintf('标准LCMV波束形成器 - 输出SNR: %.2f dB\n', output_SNR_lcmv);
    
    % 计算旁瓣抑制
    sidelobe_cheb = max(pattern_cheb(sidelobe_idx));
    sidelobe_lcmv = max(pattern_lcmv(sidelobe_idx));
    fprintf('最大旁瓣电平:\n');
    fprintf('切比雪夫约束: %.2f dB\n', sidelobe_cheb);
    fprintf('标准LCMV: %.2f dB\n', sidelobe_lcmv);
end

参考代码 阵列信号处理中的自适应波束形成技术 youwenfan.com/contentcnm/98582.html，采用线性最小方差准则，加切比雪夫窗处理。

算法说明

1. 信号模型

• 生成期望信号和干扰信号
• 添加高斯白噪声
• 计算阵列接收信号

2. 协方差矩阵估计

• 使用接收信号估计协方差矩阵 \(\mathbf{R}_{xx}\)

3. 切比雪夫窗约束设计

• 定义角度网格（-90°到90°）
• 划分主瓣区域（期望方向±10°）和旁瓣区域
• 构建约束矩阵：
  • 等式约束：期望方向增益=1
  • 不等式约束：旁瓣区域增益≤δ（切比雪夫窗约束电平）

4. 二次规划求解

• 使用MATLAB的quadprog函数求解带约束的最小方差优化问题
• 目标函数：\(\min_{\mathbf{w}} \mathbf{w}^H \mathbf{R}_{xx} \mathbf{w}\)
• 约束条件：\(\mathbf{w}^H \mathbf{a}(\theta_0) = 1\) 和 \(|\mathbf{w}^H \mathbf{a}(\theta_k)| \leq \delta\)

5. 标准LCMV波束形成器

• 作为对比：\(\mathbf{w} = \mathbf{R}_{xx}^{-1} \mathbf{a}(\theta_0) / (\mathbf{a}(\theta_0)^H \mathbf{R}_{xx}^{-1} \mathbf{a}(\theta_0))\)

6. 性能分析

• 绘制波束方向图
• 计算输出信号功率谱
• 比较输出SNR和旁瓣抑制性能

应用领域

1. 无线通信系统

   • 5G/6G大规模MIMO系统
   • 抑制同信道干扰
   • 提高频谱利用率

2. 雷达系统

   • 自适应干扰抑制
   • 目标检测与跟踪
   • 低旁瓣设计减少杂波影响

3. 声纳与水下通信

   • 海洋环境噪声抑制
   • 多径干扰消除
   • 目标方位估计

4. 医学成像

   • 超声成像系统
   • 提高图像分辨率和对比度
   • 减少伪影

5. 射电天文

   • 空间干扰抑制
   • 微弱信号检测
   • 多目标跟踪

性能优势

1. 旁瓣抑制：切比雪夫窗约束可有效降低旁瓣电平（通常可达-35dB以下）
2. 干扰抑制：在干扰方向形成深度零陷
3. 稳健性：对阵列误差和信号失配有较好容错能力
4. 灵活性：可通过调整约束条件适应不同应用场景

该实现展示了如何将切比雪夫窗约束与线性最小方差准则相结合，在保持期望信号方向增益的同时，有效抑制干扰并降低旁瓣电平。