Hall 定理

理论部分

原定理

对于一个二分图，两个条件等价：

1. 存在一种方案，使得所有左部点都能顺着边匹配到一个右部点，且每个右部点只匹配一次。
2. 左边任意取 \(k\) 个点，这些点能到达的右部点一定大于等于 \(k\) 个。

充分性：已经有 \(k\) 个右部点匹配了，只会多不会少。
必要性：如果只有一个左部点一定成立，否则删去一对匹配点，仍然满足条件。

扩展 1

对于一个二分图，两个条件等价：

1. 存在一种方案，使得第 \(i\) 个左部点都能顺着边匹配到 \(h_i\) 个右部点，且每个右部点只匹配一次。
2. 左边任意取 \(k\) 个点 \(\set{p_1,p_2,\cdots,p_k}\)，这些点能到达的右部点一定大于等于 \(\sum_{i=1}^k h_{p_i}\) 个。

证明：将第 \(i\) 个左部点点拆分成 \(h_i\) 个单点，下同原定理。

扩展 2

对于一个二分图，两个条件等价：

1. 存在一种方案，使得不超过 \(a\) 个左部点不能顺着边匹配到一个右部点，且每个右部点只匹配一次。
2. 左边任意取 \(k\) 个点，这些点能到达的右部点一定大于等于 \(k-a\) 个。

证明：开 \(a\) 个虚右部点，和左边所有点连边，
则新图中原定理条件 1 等价于条件 1，则新图中原定理条件 2 等价于条件 2。

题目

P3488

由于对应鞋码不相交的两端区间可以合并，没有附加条件，所以我们只考虑相交情况。
直接对着 Hall 定理抄答案，设 \(i\) 号脚有 \(p_i\) 个人，
需要判断每一个子段 \(\sum_{i=l}^r p_i\le (\min\set{n,r+d}-l+1)\)。
等价于 \(\sum_{i=l}^r p_i-(\min\set{n-d,r}-l+1)=\sum_{i=l}^r ({p_i-[i\le n-d]})\le d\)。
等价于对于初始 \(p_i=-[i\le n-d]\) 的数组直接去修改，求最大子段和小于等于 \(d\)。
一次修改操作，左面的不会有影响，右面的需要分讨。
我们需要找到右面第一个前缀和比当前这个地方小的，再往右都不会受影响。
于是我们可以开两个线段树，
一个记录前缀和，负责每次修改和线段树二分；
一个记录最大子段和，根据指令进行区间加和，全局求 \(\max\)。

线段树二分是什么？
就是先用线段树性质去分区间，如果左边有就返回左边，否则右边有就返回右边，否则返回没有。

//线段树二分示例代码
//这里是查找区间第一个小于 base 的元素，k 数组存储的是区间 min。
int query(int i,int l,int r,int L,int R,int base){
    if(k[i]>base) return -1;
    if(l!=r) pushdown(i,l,r);
    if(l==L&&r==R){
        if(l==r) return l;
        int mid=(l+r)>>1;
        if(k[ls]<base) return query(i<<1,l,mid,l,mid,base);
        if(k[rs]<base) return query(i<<1|1,mid+1,r,mid+1,r,base);
    }
    if(R<=mid) return query(i<<1,l,mid,L,R,base);
    if(L>mid) return query(i<<1|1,mid+1,r,L,R,base);
    int tmp=query(i<<1,l,mid,L,mid,base);
    return (tmp==-1)?query(i<<1|1,mid+1,r,mid+1,R,base):tmp;
}