P14686 Charity Raffle

前置知识：插板法模板，容斥原理（只看懂 OI-Wiki 第一节水平）。
才不告诉你就是作者的水平啦。

0. 学会读题
   问的是结果的种类！不是奖品券的排列组合！

1. 尝试思考
   这题我会啊！\(k\) 分成 \(n\) 组，插板法唐题啊！

2. 提出问题
   要求每组都不超过 \(m\)，还有一个神奇的使用限制。

3. 分析问题
   假如 2024ing 决定通过写一个简单的 dfs 解决前面两个问题打暴力，
   如何判断一个序列是否合法？

4. 举出例子

   • 考虑：形如 \(\set{0,0,0,0,\cdots,k}(k>0)\) 的序列一定非法。
   • 总结：全零中有一个 \(2\) 以上的数字一定非法。
   • 总结：降序排序后第一项比第二项大二及以上一定非法。
   • 考虑：末项是最大值，且比第二大的数大，一定非法。
   • 总结：最大值只有一个，且第二大的数在他前面，一定非法。

5. 尝试思考
   4 中三五两条限制能否完美刻画限制？
   或者说，满足了限制，能否构造出一种合法方案？
   若非零数仅有一个，则操作 \((i,n)\)，可以满足。
   若非零数只有两个（这里选择前两大的数字），可以通过更替操作满足。
   若还有其他数字，可在完成以上操作后一次次去干。

6. 刻画要求
   要求序列最大值不超过 \(m\)，且最大值恰好比次大值大一，
   同时末项不是唯一最大值的，插板法唐题序列个数。

7. 继续挣扎
   用一个写橙题 dp 的人的眼光，不枚举最大值，这题没法整。
   发现枚举最大值之后，直接消去一个限制，很像正解。
   看一眼时空限制，随便唐式分讨拆分啊。
   下设 \(x\) 分到 \(n\) 个数里面，每个数不超过 \(m\) 方案数为 \(f(x,n,m)\)。
   下设最大值为 \(q\)。
   分成两种情况：

   • 最大值只有一个
     钦定最大值和次大值，剩下的变成插板法唐题，要求每组不超 \(q-1\)。
     这里注意作者开始没想到的一点，最大值要在次大值前面，
     方案数为 \(\frac{(n-1)(n-2)}2\)。
     答案为 \(\sum_{q=1}^m [(n-2)(n-1)/2\cdot f(k-2q+1,n-2,q-1)]\)。
   • 最大值不止一个
     钦定两个最大值，剩下的变成插板法唐题，要求每组不超 \(q\)。
     答案为 \(\sum_{q=1}^m[n(n-1)\cdot f(k-2q,n-2,q)]\)。

8. 略见分晓
   问题转化成快速求 \(f(x,n,m)\)。

9. 思考一下
   不会……

10. 看视频解锁 OI-Wiki
    这里也可以自己去看，或者看下面这个很不严谨的大白话。
    首先复习一下，由插板法，如果没有限制，答案就是 \(C_{x+n-1}^{n-1}\)。
    由容斥，我们知道，
    答案是 无限制-(至少一个不符合条件-至少两个不符合条件+至少三个不符合条件-...)。
    而“至少……个不满足条件（也就是超过 \(k\)）”这个条件，
    本质上分两步，一步是枚举钦定哪几个组非法，然后再对应求方案。
    前面一个就是组合数定义啊！
    后面的可以考虑减去他们的下界，然后就转化成插板法唐题了！
    开心！
    推一下式子：

\[f(x,n,m)=\sum_{i=0}^{\lfloor\frac x {m+1}\rfloor} [(-1)^i\cdot C_n^i\cdot C_{n+x-im-i-1}^{n-1}] \]

11. 一步之遥
    式子就推到这里，展开太恶心了，但能过吗？
    看起来时间复杂度不太乐观，预处理阶乘和逆元不算，
    后面时间复杂度看起来是什么调和级数，据说是 \(O(k\ln k)\) 级别的，
    其他题解（当然思路好像不太一样）说这题应该是线性，总之试一下再说了。