Note 02 树形背包

在树上每一个节点，以每一个子树为一组物品，做一次分组背包，
通过 dfs 不断合并进行转移，动态记录上下界优化时间复杂度。

常见形式一：没有容量限制，容量即为子树节点数。
时间复杂度 \(O(n^2)\)，理解成选点对，只会在其 LCA 处被计算一次。

void dfs(int u){
    sz[u]=1;
    for(auto v:G[u]){
        dfs(v);
        for(int i=0;i<=sz[u];i++)
            for(int j=0;j<=sz[v];j++)
                //do something
        sz[u]+=sz[v];
    }
}

常见形式二：有容量限制，容量即为子树节点数。
时间复杂度 \(O(nm)\)。

定义：

• 当一颗树大小 \(\ge m\)，且其自身所有儿子树大小 \(<m\)，称其为耗子树。
  容易发现，耗子树之间没有交集，且至多有 \(\frac nm\) 棵。
• 当一颗树删去一个子树后缀后满足“耗子树”定义，称其为半吊子耗子树。
  容易发现，半吊子耗子树满足上述性质。
• 下设 \(v\) 为 \(u\) 儿子，当前已合并子树为 \(sz_u\)。

证明：对于执行了 \(n\) 次的这些双重循环进行分类。

• \(sz_u,sz_v\ge m\)
  发现 \(u,v\) 之中都至少包含一棵耗子树。
  合并之后其中至少一棵耗子树不能再用。
  单次不超过 \(O(m^2)\) ，次数不超过 \(O(\frac nm)\)，总时间复杂度 \(O(nm)\)。
• \(sz_u+sz_v\ge m,sz_u<m,sz_v<m\)
  当且仅当当前树是一颗耗子树或半吊子耗子树。
  单次不超过 \(O(m^2)\) ，次数不超过 \(O(\frac nm)\)，总时间复杂度 \(O(nm)\)。
• \(sz_u+sz_v<m\)
  应该没事吧……
• \(sz_u\ge m,sz_v<m\)
  忽然想到这样的 \(sz_v\) 两两不交，
  时间复杂度 \(O(m\sum sz_v)<O(nm)\)。
• \(sz_u<m,sz_v\ge m\)
  同理。

void dfs(int u){
    sz[u]=1;
    for(auto v:G[u]){
        dfs(v);
        for(int i=0;i<=min(sz[u],m);i++)
            for(int j=0;j<=min(sz[v],m-i);j++)
                do something;
        sz[u]+=sz[v];
    }
}