P2851 The Fewest Coins G（混合背包基础，鸽巢原理）

• 我会暴力！
  农夫最多有 \(T=70500000\) 元钱。
  使用单调队列优化多重背包，时间复杂度是 \(O(nT)\) 级别的。
  简而言之，先暴力去做最小硬币数，再将负值硬币看作一个物体跑完全背包刷表法。

• 正解
  思路来源于 Link。
  卡上界。
  什么叫上界？就是说，只要某指标超过这个数，那一定可以调整该方案，使得方案更优。
  注意到，若干个 \(V_{\max}\) 的决策是局部最优解。
  首先，由鸽巢原理，商家使用非 \(V_{\max}\) 个数上界为 \(V_{\max}-1\)，
  否则做前缀和，从 \(S[0\to V_{\max}]\)，一定存在一个连续段可以用更少的 \(V_{\max}\) 替代。

  • 商家没用过 \(V_{\max}\)
    商家找的钱少于 \(V_{\max}^2\)，于是 John 付的钱少于 \((T+V_{\max}^2)\)。
  • 商家用过 \(V_{\max}\)
    于是 John 没用过这种硬币。
    • John 用过的小面额硬币小于 \(V_{\max}\) 张
      于是 John 付的钱少于 \((V_{\max}^2)\)。
    • John 用过的小面额硬币大于等于 \(V_{\max}\) 张
      在其中拿出 \(V_{\max}\) 张，必然能找到一些硬币，使得和为 \(V_{\max}\) 倍数。
      不难证明，这个值严格小于 \(V_{\max}^2\)。
      所以，商家找的 \(V_{\max}\) 硬币上界个数为 \(V_{\max}-2\)，否则双方都可以舍弃这一部分硬币。
      上界往松了计算，就得到 \(2V_{\max}^2+T\) 了。