P10955 正整数拆分（计数，DP 状态设计，完全背包基础）

求组合设升序，于是设 \(f(i,j)\) 表示凑 \(i\) 最小值为 \(j\) 的方案数。
于是（相当于先取一个 \(j\) 锁住）：

\[f(i,j)=\sum_{j'=j}^{i-j} f(i-j,j') \]

这个可以每一轮求完之后从后往前累加实现 \(O(n^2)\)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=4004;
const long long mod=2147483648;
long long n,dp[N][N];
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=0;i<=n;i++)
        dp[0][i]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=i;j++)
            dp[i][j]=dp[i-j][j];
        for(int j=i;j>=1;j--)
            dp[i][j]+=dp[i][j+1],dp[i][j]%=mod;
    }
    cout<<(dp[n][1]-1+mod)%mod;
}

另一条路是转化成完全背包求方案数问题，相对思路简单。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=4004;
const long long mod=2147483648;
long long n,dp[N];
int main(){
    cin>>n,dp[0]=1;
    for(int i=1;i<n;i++) for(int j=i;j<=n;j++) dp[j]=(dp[j]+dp[j-i])%mod;
    cout<<dp[n];
}