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(1)设 $t=\frac x y=\frac 1 3$ 同除 $y^2$ 得 $t^2-2t-3=- \frac{32}9$ > (2)一眼题 $(\frac 1 3+\frac 1 3+9)^2=\frac{841}{9}$ > (3)原式$=\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}$ > 上下同除 $x$ > 得 $\frac{1+3+9}{\sqrt[3]{1*3*9}}=\frac{13}3$ > > 想知道 $k$ 元比例关系 $a_1:a_2:\dots:a_k=\dots$ 只需要 $k-1$ 条比例关系（第三题发现齐次关系亦可） ##### 二、齐次基础题（2）  > 思考硬开前面 > 得到 $c-b=5a,c-a=2b$ > 易得 $b=4a,c=9a$ > 上下同除 $a$ > 得 $\frac {14}{2+6+3}=\frac{14}{11}$ > > 如果你是这样做的 > 那你就祭了 > 由于在 $a<0$ 时 $\sqrt{a^2}\neq a$ > 所以我们需要考虑符号 > 正解应为 $\pm\frac{14}{11}$ > > 从此题会发现齐次条件相当于比例条件 > 它们基本可以通用解题 > 只不过齐次难一些 ##### 三、齐次进阶题（1）  > 我们这题涉及到前面的理解了 > 已经给了一个齐次条件 > 理论上再给一个比例/齐次条件就行了 > 一眼 1234 > 6 存疑 5 白扯 > 但我们还是看一看 > 其实也可理解成消去 $b$ 这一元 > > 1. $a=2b\to \frac 3 4 a^2=c^2\to\frac c a=\frac{\sqrt 3}2$ > 2. $a^2=5c^2\to \frac a c=\frac{\sqrt 5}5$ > 3. 直接代入一手 $a^2=a^2+4ac+4c^2+c^2\to 4a=-5c\to\frac c a=-\frac 4 5$ > 但这太巧合了直接杀掉 $a^2$ > 我们换一个题 $a=2b-c$ 试一下 > 同乘 $4$ 代入得到 $4a^2=a^2+2ac+c^2+4c^2\to -3a^2+2ac+5c^2=0$ > 设答案为 $e$ 同除 $a^2$ 得 $-3+2e+5e^2=0$ 解得 $e(e>0)=\frac{-2\pm\sqrt{64}}{10}=\frac{6}{10}=\frac 3 5$ > 4. $b^2=5c^2-a^2\to 2a^2=6c^2\to \frac{c^2}{a^2}=\frac 1 3\to \frac c a=\frac {\sqrt 3} 3$ > 5. 显然根据 $b^2+c^2=1$ 求 $\frac c a=c=?$ 是做不到的 > 6. 我们先不管 $c=2$，易得 $\frac c a =\frac 2 3\sqrt 2$ > 这一条件代入后可得 $$\begin{cases}a=\frac 32\sqrt2\\b=\frac {\sqrt{2}} 2\\c=2\end{cases}$$ > 由此可以发现确定比例后只要在给一个非齐次条件即可确定所有数的值 > 这样我们可以设 $k$ 求值 > 因为它是非齐次的所以一定消不掉 $k$ ##### 四、共根基础题（1）   > 1. $原式=\frac{(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=\frac 1 2$ > 或者。。。 > 平方一次 $x+1=4+x-4\sqrt x$ > 移项再搞 $9=16x\to x=\frac 9{16}\to\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\frac 5 4-\frac 3 4=\frac 1 2$ > 2. 这题有点难度 > 设原式为 $A$，则 $A=\sqrt{A^2}=\sqrt{43+24\sqrt{3}+43-24\sqrt 3+2\sqrt{(43+24\sqrt{3})(43-24\sqrt{3})}}=\sqrt{86+2\sqrt{1849-1728}}=\sqrt{108}=6\sqrt3$ > 3. (1) > 移项 $x^2-2+\frac 1 {x^2}\ge0$ > 换元 $a>0,a-2+\frac 1 a\ge0$ > 乘 $a$ 得 $a^2-2a+1\ge0$ 完全平方易证 > (2) > 换元 $A\ge2,A=x^2+\frac1{x^2}$ > 得 $原式=\frac1{\sqrt{A+1}+\sqrt A}$ 最大值即为分母取最小值时 $\frac 1{\sqrt3+\sqrt2}=\sqrt3-\sqrt2$ ##### 五、共根基础题（2）  >第一问就是把坐标带进去就不说了 >第二问直接平方 >$$ >\begin{aligned} >\sqrt{(x+1)^2+y^2}&=4-\sqrt{(x-1)^2+y^2}\\ >(x+1)^2+y^2&=16+(x-1)^2+y^2-8\sqrt{(x-1)^2+y^2}\\ >4x-16&=-8\sqrt{(x-1)^2+y^2}\\ >4-x&=2\sqrt{(x-1)^2+y^2}\\ >16-8x+x^2&=4(x-1)^2+4y^2\\ >4x^2-8x+4+4y^2-x^2+8x-16&=0\\ >3x^2+4y^2&=12\\ >\frac{x^2}4+\frac{y^2}3&=1 >\end{aligned} >$$ > >或者。。。 >注意到 >$$ >\begin{cases} >\sqrt{(x+1)^2+y^2}+\sqrt{(x-1)^2+y^2}=4\\ >[\sqrt{(x+1)^2+y^2}+\sqrt{(x-1)^2+y^2}][\sqrt{(x+1)^2+y^2}-\sqrt{(x-1)^2+y^2}]=4x\to\sqrt{(x+1)^2+y^2}-\sqrt{(x-1)^2+y^2}=x >\end{cases} >$$ > >$$ >\begin{aligned} >2\sqrt{(x+1)^2+y^2}&=4+x\\ >4x^2+8x+4+4y^2&=x^2+8x+16\\ >3x^2+4y^2&=12\\ >\frac{x^2}4+\frac{y^2}3&=1 >\end{aligned} >$$ > > #### 0.1.6 自由度&消元&换元 根据经验 $k$ 元一次方程需要 $k$ 条方程才可解 > 首先一元一次方程至少要有一条限制 > 那么每增加一个未知数都可以通过加减消元消去一元从而转换成上一层问题 > 类似于数学归纳法的思想 而齐次有结论想确定其比例关系需要 $k-1$ 个齐次条件 $$ \begin{cases} x+y+z=0\\ x-y+3z=0 \end{cases} $$ 我们解此不定方程可以将一个未知数作为参数进行处理 易得 $$ \begin{cases} x+y=-z\\ x-y=-3z \end{cases} $$ 从而解得 $$ \begin{cases} x=-2z\\ y=z \end{cases} $$ 即 $x:y:z=-2:1:1$ 我们把它与前面的结合起来 显然一个二元方程只接受两个未知数 而他给了三个 那必然有个未知数要当作参数进行处理 这就是自由度的思想 **对于一个 $k$ 元方程组中有 $m$ 个有效方程式（方程有解），那么定义该方程组的自由度为 $k-m$，记作 $f^*$**。 我们在解方程时首先将 $f^*$ 个未知数设为参数 接下来理论上消元即可 消元有两个大类别：加减和代入 他们的优劣我们以后再说 最终我们就可以把爱一个多元的方程转化成一个 $f^*$ 元的问题从而简化计算 具体还是看题 还有一个思路是换元 这个理论上既能降元也能降次 如方程 $(x^2+2x+1)^2+(x^2+2x+1)=300$ 我们显然可通过换元的方法 先算出一部分再代入重复的部分进行简化 #### test ##### 一、解方程基础（1）  > 1. 简单题 $f^*=0$ > 解得 $x=1,y=0.5$ > 2. $f^*=1$ > $x+y=1-z,x-y=-z\to x=0.5-z,y=0.5$ > 3. 有等价方程 $f^*=1\to x=0.5+1.5y$ > 4. $f^*=0$ 可解 $x=y=z=1$ > 5. 第三条限制无效 $f^*=1$ > $x=1.5-0.5z,y=-0.5+1.5z$ ##### 二、解方程基础（2）  > 1. $$ > \begin{aligned} > &x=5-2y\\ > &\to 15-6y-8y=-13\\ > &\to x=1,y=2 > \end{aligned} > $$ > > **系数有一先代入** > > 2. $$ > \begin{aligned} > &30x-42y=-144,30x+40y=430\\ > &\to 82y=574\\ > &\to x=5,y=7 > \end{aligned} > $$ > > **系数较大试加减** > > 3. $$ > \begin{aligned} > &(1)+(3)\to 2x-10z=-28\to x-5z=-14\\ > &(2)+3(3)\to 5x-21z=-58\\ > &\to 5x-25z=-70\\ > &\to z=3,x=1\\ > &\to y=2 > \end{aligned} > $$ > > 4. $$ > \begin{aligned} > &(2)-2(1)\to 3y+z=7\\ > &(3)-3(1)\to y+6z=8\\ > &\to y=2,z=1\\ > &\to x=4 > \end{aligned} > $$ ##### 三、解方程进阶（1）  > 1. 信仰变换 $\frac1{x+2}+\frac1{x+7}=\frac1{x+3}+\frac1{x+6}$ > 再信仰变换 $\frac1{(x+2)(x+7)}=\frac1{(x+3)(x+6)}$ > 再信仰变换 $x^2+9x+14=x^2+9x+18$ > 所以无解？ > 然而并不是 > 我们的信仰变换二是有问题的 > 当 $2x+9=0$ 时原式有解即为 $x=-4.5$ > ~~信仰变换害死人啊~~ > > 2. 这题一眼不是给我做的 > 四次方程。。。因式分解？ > 这个看题解吧 > 我们发现他两侧的系数对称 > 我们暂叫他**反射式** > 那这样咋做呢？ > 如果你有一定的代数直觉显然一眼除 $x^2$ > 设 $t=\frac1x$，可证 $x$ 非零则原式等价于 $2x^2+3x-16+3t+2t^2=0$ > 再来一手对称式，$$\begin{cases}a=x+t\\b=xt=1\end{cases}\to2a^2-4+3a-16=0$$ > 解得 $a=\frac{-3\pm\sqrt{9+160}}{4}=-4\texttt{ or }\frac52$ > 信仰解方程 $x_1=2,x_2=\frac12,x_{3,4}=\frac{-4\pm \sqrt{16-4}}{2}=-2\pm\sqrt{3}$ > > 3. 一道**广义反射式**，系数绝对值满足狭义反射式定义 > 这个不一定能搞，但我们可以按普通方法试一下 > 一眼非零，信仰变换 $x^2+x-4-t+t^2=0$ > 然后类似对称式扩展 > $\begin{cases}xt=1\\x-t=m\end{cases}\to m^2+2+m-4=0\to(m+2)(m-1)=0$ > $$ > m_1=-2,m_2=1\to > x^2+2x-1=0 > \texttt{ or } > x^2-x-1=0 > \to > \begin{cases} > x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{8}}2=-1\pm\sqrt2\\ > x_{3,4}=\frac{1\pm\sqrt{5}}2\\ > \end{cases} > $$ > 我们简单整理一下 > 狭义反射式满足最高次为偶数项，一般共有五项，降幂排列后严格满足反射关系 > 我们对于这种题：消次，对称降一元，解方程出结果 > 广义反射式只是奇次相反数 > 步骤基本相同 > 只不过有一个降元的处理 $(x-\frac 1 x)$ 略有不同 ##### 四、解方程进阶（2）  二元+高次，可能难一些 > 1. $$ > 2(1)\to2x^2+y^2=2\\ > (2)\to y=1-2x\\ > \to2x^2+4x^2-4x-1=0\\ > \to x_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{40}}{12}=\frac13\pm\frac{\sqrt{10}}6\\ > \to y_{1,2}=\frac13\mp\frac{\sqrt{10}}3=\frac{1\mp\sqrt{10}}3 > $$ > > 2. $$ > x=-\frac23+\frac53y\\ > (\frac53y-\frac53)^2+(y-2)^2=1\\ > (5y-5)^2+(3y-6)^2=9\\ > 34y^2-86y+61=9\\ > 17y^2-43y+26=0\\ > (y-1)(17y-26)=0\\ > \begin{cases} > x_1=1\\ > y_1=1 > \end{cases} > \begin{cases} > x_2=\frac{32}{17}\\ > y_2=\frac{26}{17} > \end{cases} > $$ > > 3. 一眼对称式 > $$ > xy=-2,x+y=\pm1\\ > \begin{cases} > x+y=1\\ > xy=-2 > \end{cases} > \to > \begin{cases} > x+y=1\\ > x-y=\pm3 > \end{cases} > > \\ > \begin{cases} > x+y=-1\\ > xy=-2 > \end{cases} > \to > \begin{cases} > x+y=-1\\ > x-y=\pm3 > \end{cases} > \\ > \to > \begin{cases} > x+y=\pm1\\ > x-y=\pm3 > \end{cases} > \to > \begin{cases} > x_1=2\\ > y_1=-1 > \end{cases} > \begin{cases} > x_2=-1\\ > y_2=2 > \end{cases} > \begin{cases} > x_3=1\\ > y_3=-2 > \end{cases} > \begin{cases} > x_4=-2\\ > y_4=1 > \end{cases} > $$ > 用齐次亦可 > $$ > \frac{x^2+xy+y^2}{2x^2+3xy+2y^2}=\frac34,\frac xy=t\\ > \frac{t^2+t+1}{2t^2+3t+2}=\frac34\\ > 6t^2+9t+6-4t^2-4t-4=0\to 2t^2+5t+2=0\to(2t+1)(t+2)=0\to t_1=-\frac12,t_2=-2\\ > \begin{cases} > y=-2x\\ > x^2+xy+y^2=3 > \end{cases} > \to x^2-2x^2+4x^2=3\to > \begin{cases} > x_{1,2}=\pm1\\ > y_{1,2}=\mp2 > \end{cases} > \\ > \begin{cases} > x=-2y\\ > x^2+xy+y^2=3 > \end{cases} > \to x,y 互换即可 > \to > \begin{cases} > x_{3,4}=\pm2\\ > y_{3,4}=\mp1 > \end{cases} > $$ > > > 4. 一眼对称 > $$ > \\\begin{cases} > a=xy\\ > b=x+y > \end{cases} > \to > \begin{cases} > b^2-2a-a^2=3\\ > b-a=4 > \end{cases} > \to > a^2+8a+16-2a-a^2=3 > \to > \begin{cases} > a=-\frac{13}6\\ > b=\frac{11}6 > \end{cases} > \to > \\\begin{cases} > xy=-\frac{13}6\\ > x+y=\frac{11}6 > \end{cases} > \to > y^2-\frac{11}6y=\frac{13}6 > \to > 6y^2-11y-13=0 > \to > y=\frac{11\pm\sqrt{121+312}}{12} > \to > \begin{cases} > x_{1,2}=\frac{11\mp\sqrt{433}}{12}\\ > y_{1,2}=\frac{11\pm\sqrt{433}}{12} > \end{cases} > $$ > 这题不好算数，我们换一个 $$\begin{cases}x^2+y^2-x^2y^2=-23\\x+y-xy=-1\end{cases}$$ > $$ > \\\begin{cases} > a=xy\\ > b=x+y > \end{cases} > \to > \begin{cases} > b^2-2a-a^2=-23\\ > b-a=-1 > \end{cases} > \to > a^2-2a+1 -2a-a^2=-23 > \to > \begin{cases} > a=6\\ > b=5 > \end{cases} > \to > \begin{cases} > x_{1_2}=2.5\pm0.5\\ > y_{1,2}=2.5\mp0.5 > \end{cases} > $$ > > > 5. $$ > \\\begin{cases} > x(x+2y-10)=0\\ > y(y+2x-10)=0 > \end{cases} > \to > \begin{cases} > x=0\\ > y=0 > \end{cases} > \or > \begin{cases} > x=0\\ > (y+2x-10)=0 > \end{cases} > \or > \begin{cases} > (x+2y-10)=0\\ > y=0 > \end{cases} > \or > \begin{cases} > (x+2y-10)=0\\ > (y+2x-10)=0 > \end{cases} > \\ > \to > \begin{cases} > x=0\\ > y=0 > \end{cases} > \or > \begin{cases} > x=0\\ > y=10 > \end{cases} > \or > \begin{cases} > x=10\\ > y=0 > \end{cases} > \or > \begin{cases} > x=\frac{10}3\\ > y=\frac{10}3 > \end{cases} > $$ > > 6. 换元是显然的 > $$ > \\\begin{cases} > a=x+y\\ > b=x-y > \end{cases} > \to > \begin{cases} > 10b+3a=-5ab\\ > 15b-2a=-ab > \end{cases} > $$ > 尝试消元 > $$ > a=\frac{15b}{2-b}\to10b+\frac{45b}{2-b}=\frac{-75b^2}{2-b}\to20b-10b^2+45b=-75b^2\to \begin{cases}a=-5\\b=-1\end{cases}\to\begin{cases}x=-3\\y=-2\end{cases} > $$ #### 0.1.7 乘法公式 & 因式分解 > $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \\ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \\ a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ 以上是初中学过的。 接下来考虑对于三次项找同样的公式。 显然有以下公式 > $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\ (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$ > 这是简单的，随便算算就有了。 > 我们把他们变一下形： > $a^3+b^3=(a+b)^3-3a^2b-3b^2a=(a+b)^3-3ab(a+b)=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ > $a^3-b^3=(a-b)^3+3a^2b-3b^2a=(a-b)^3+3ab(a-b)=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ > 以上就是常用的乘法公式。 对于因式分解的话我们就有三种方法： - 公式法：见上。 - 十字相乘：普通的讲过了。 重点来看看带参的。 例如 $x^2+(a-2)x-2a=(x+a)(x-2)$ 这个看着还是很简单。 再来一个二元二次式： $x^2+2xy-3y^2-5x-7y+6$。 ~~如果你刷过小蓝本~~你就会知道他可以十字相乘搞。 我们三项分别代表 $x,y,1$。 然后大概弄一下就有 $(x+3y-2)(x-y-3)$。 ~~然而小蓝本的方法适应性差一些。~~ 其实我们用这个方法也是先处理一对在搞另一对的。 那我们有一个神奇的方法：主元！ 显然我们可以提 $x$ 为主元，得到 $x^2+(2y-5)x+(-3y^2-7y+6)$。 自然想到分解最后一项变成：$x^2+(2y-5)x+(-3y+2)(y+3)$。 改一下形式，$x^2+(2y-5)x+(-y-3)(3y-2)=(x-y-3)(x+3y-2)$。 - 填项（列项）：这个我们一般是在解三次多项式的时候用。 > $x^3+4x^2+5x+2=?$ > ~~随机化大佬表示显然 $x=-1$。~~ > 那怎么办呢？ > ~~此处膜拜随机化大佬。。。~~ > 是的，猜根！ > 我们就是瞪眼法求解。 > 我们除掉一个 $(x+1)$ 得到 $x^2+3x+2$ > 显然原式等于 $(x+1)^2(x+2)$。 是的，~~并不是你以为的小蓝本的增添项。~~ > $3x^3-8x^2+3x+2=?$ > 一眼 $x=1$ > 得到 $(x-1)(3x^2-5x-2)=(x-1)(x-2)(3x+1)$。 #### test ##### 一、基础题目（1）  > 显然原式 $=-a(a^3-3^3)=-a(a-3)(a^2+3a+9)$ > 答案为 B。 ##### 二、基础题目（2）  > 这题要求化简。 > 首先我们发现这个共根是不行的，因为你最终除下去也没法搞。 > 那思考怎么办。 > 一个自然的想法就是把根号内部配成完全平方式。 > 显然 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。 > 然后看出配方后就可做了，别忘了最后一步化简。 > > 第二题同理。 > 简单想想，$\frac{\sqrt{8-2\sqrt{15}}}{\sqrt 2}$ 这一步转化是显然的， > 然后我们上面配方得到 $\frac{\sqrt 5-\sqrt 3}{\sqrt 2}$ > 分母有理化得到 $\frac{\sqrt{10}-\sqrt 6} 2$。 ##### 三、基础题目（3）  > 看到这题，后一项八成是处理不了。 > 发现前面可以因式分解变成 $(x+2y)(x-y)=0$。 > 思考分讨。 > > - $x-y=0$ > 一眼消元，$\frac{5x^2}{2x^2}$。 > 显然此时规定有意义的话结果为 $2.5$。 > - $x+2y=0$ > 同上，得到 $x=-2y$。 > 那我们就得到了 $\frac{-y^2}{5y^2}=-0.2$。 #### 0.1.8 “左加右减”原则 “做” ### 0.2 集合&逻辑 #### 0.2.1 集合 **集合**和我们 STL 里的非常像 其中的每个节点被称为**元素**，一般用小写字母表示 注意：集合可以有无数个元素（如有理数集），也可以元素不是数字（`set`），其一般用大写字母表示。 我们表示元素在集合中叫做**属于**，记作 $\in$，反之叫作不属于，记作 $\not\in$ 如，$a\in A,b\not\in A$ 集合有几个显而易见的性质 1. 确定性：对其的描述需要准确，不可笼统 如"较大的数"这样的表述是不精确的，无法构成集合 ~~其实就是一句废话~~ 2. 互异性：一个集合中的元素互不相同，都只出现一次 3. 无序性：这个就是指集合中元素的顺序不影响集合 例如有 $\{2,4,1,5,3\}=\{1,2,3,4,5\}$ 类似实数，如果两个集合中的元素完全相同，记作 $A=B$，反之 $A\neq B$。 描述一个集合有**列举法**和**描述法**两种方式（除自然语言外） - 列举法 列举法就是把每一个元素都写出来 比如 $A=\{1,2,3,\pi,4,5,7,9.1373,10^{10000000}\}$，用大括号括住所有的元素 例如集合“$x^2=x$ 的实数根”，就可以写作 $A=\{0,1\}$，非常直观 然而对于无限集合这个就不太好用了 - 描述法 我们对于一个数集，分成两部分 如“小于 $100$ 的实数”写作 $\{x\in\mathbb R\mid x<100\}$ 前一部分定范围，后一部分描述性质 这个方法相对更实用 其中的字母 $x$ 可以换 | 数集 | 符号 | 数集 | 符号 | | :--------------------: | :---------: | :------: | :-----------------------------------------------: | | 自然数集 | $\mathbb N$ | 实数集 | $\mathbb R$ | | 整数集 | $\mathbb Z$ | 正整数集 | $\mathbb N^*,\mathbb Z^*,\mathbb N_+,\mathbb Z_+$ | | 有理数集 | $\mathbb Q$ | 复数集 | $\mathbb C$ | | 空集（没有元素的集合） | $\empty$ | | | 比如奇数集 $\{x\in\mathbb Z\mid x=2k+1,k\in\mathbb Z\}$ 如果前面的为 $x\in\mathbb R$ 或根据后面的限制（比如奇数集的例子）能够推导出其范围也可不写其所属的集合（如奇数集可写作 $\{x\mid x=2k+1,k\in\mathbb Z\}$） #### 0.2.2 集合基本关系与运算 1. **子集与真子集** 如果对于集合 $A,B$，且满足 $A$ 中任意一个元素均在 $B$ 中，则称 $A$ 为 $B$ 的**子集**，记作 $A\subseteq B$ 或 $B\supseteq A$，亦称 $B$ **包含** $A$，$A$ **包含于** $B$。 如果满足 $A\subseteq B,A\neq B$，则称 $A$ 是 $B$ 的**真子集**，$B$ **真包含** $A$，$A$ **真包含于** $B$，记作 $A\subsetneqq B$ 或 $B \supsetneqq A$。 显而易见的性质： 1. $A\subseteq B,B\subseteq A\Rightarrow A=B$ 2. $A\subseteq A,\empty\subseteq A$ 3. $A\subseteq B,B\subseteq C\Rightarrow A\subseteq C$ 2. **交集、并集、补集** 两个集合共有的元素组成的集合称为交集，合并去重后组成的集合叫做并集，分别用符号 $\cap$ 和 $\cup$ 表示 例如，$A=\{1,2,3,4\},B=\{x\in\mathbb Z\mid x>1\}$ 则 $A\cup B=\mathbb N^*,A\cap B=\{2,3,4\}$ 补集类似两个集合做差 比如 $\complement_U{A}=\{x\in U\mid x\notin A\}$ 其中这个 $U$ 称为全集，然而并没有啥用 我们一般满足 $A\subseteq U$ 3. **运算律** 显然交并都满足交换结合律 分配律：$(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup(B\cap C)$ 也有人把并集类比为加法，交集类比为乘法 然而你不禁想，$(A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap(B\cup C)$。。。 所以我们还是看题来说吧 4. **容斥原理** 这个怎么说呢。。。 算了还是介绍一下吧。。。  这两个都是显然的不多说了 我们思考一个更复杂的情况 比如说我们有 $S=\{A_1,A_2,\dots,A_n\}$ 其中每一个 $A_i$ 都是一个集合 那么我们显然有 $$ |\bigcup_{i=1}^nA_i|=\sum_{num=1}^{n}(-1)^{num-1}\sum_{|S'|=num}|\bigcap_{A''\in S'}A''| $$ #### test ##### 一、集合基础题（1）  > 1. $A=\{2,4,6,8\}=\{x\mid 0 2. $A=\{\sqrt2,-\sqrt2\}$ > 3. $A=\{x\mid x\ge0.8\}$ > 4. $A=\{x\mid x\ge-4\}$ > 5. $A=\{x\mid x\neq0\}$ > 6. $A=\{x\mid x\ge2\}$ > 7. $A=\{0\}$ > 8. $A=\empty$ > 9. $A=\{x\mid x<1500,x=2k,k\in \N^*\}$ ##### 二、集合基础题（2）  >1. $\notin\ \notin\ \subsetneqq\ \subsetneqq$ >2. $\in$ >3. $\subsetneqq$ >4. $\subsetneqq$ >5. $\supsetneqq\ \subsetneqq\ \supsetneqq\ \supsetneqq$ >6. $\subsetneqq\ \subsetneqq\ \in$ ##### 三、集合基础题（3）  >  >  > 这个画圈的方法正式学名叫 Venn 图，用于表示集合的关系 ##### 四、集合基础题（4）  > 我们这个其实不太好列举 > 因为它们都是无穷集合 > > 1. $A=\{-1,2,5,8,\dots\},B=\{2,5,8,\dots\}\Rightarrow A\supsetneqq B$ > 2. $A=\{0,2,4,6,8,\dots\},B=\{0,4,8,12\dots\}\Rightarrow A\supsetneqq B$ > > 这两个其实直接看也能看出来 > 但如果它的原始式子乱的像翔一样时 > 就可以通过列举法找找规律 > 比如这两个集合（被称为除三余二的剩余系） > $\begin{cases}C=\{x\mid x=3m-1,m\in\Z\}\\D=\{x\mid x=3m+2,m\in\Z\}\end{cases}\Rightarrow C=D$ > > 进一步思考普遍方法 > 比如称 $\{x\mid x=mk+n,m\in \N^*,n\in \N,n 定义 $A+x=\{A_1+x,A_2+x,A_3+x,\dots\}$ > 那不难发现上文中，$C=D=\alpha(3,2)-\infty$ > 第一题 $A=\alpha(3,2)-3,B=\alpha(3,2)$ > 然后不难发现 $k_1\ge k_2\Rightarrow\alpha(m,n)+k_1m\subseteq\alpha(m,n)+k_2m$ ##### 五、集合基础题（5）  > 1. $B=\{x\mid x\ge3\}$ > $A\cup B=\{x\mid x\ge2\},A\cap B=\{x\mid 3\le x\lt4\}$ > 2. 这个列举即可 > $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\to A\cap B=\{1,2,3\},A\cap C=\{3,4,5,6\},A\cap(B\cup C)=\{1,2,3,4,5,6\},A\cup(B\cap C)=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ > 3. (1) $\complement_{\R}(A\cup B)=\{x\mid x\le2\ 或\ x\ge10\}$ > (2) $\complement_{\R}(A\cap B)=\{x\mid x\lt3\ 或\ x\ge7\}$ > (3)$(\complement_{\R}A)\cap B=\{x\mid2\lt x\lt3\ 或\ 7\le x\lt10\}$ > (4)$A\cup(\complement_{\R}B)=\{x\mid x\le2\ 或\ 3\le x\lt7\ 或\ x\ge10\}$ > > 难度不大，主要是边界点需要考虑 > 记住原集有补集无，原集无补集有 ##### 六、集合基础题（6）  这个就很简单啦 >  > 这个就是~~经典常谈~~ > 并补为补交，交补为补并 > 即 $(\complement_UA)\cup(\complement_UB)=\complement_U(A\cap B),(\complement_UA)\cap(\complement_UB)=\complement_U(A\cup B)$ > 或者用人话说就是： > 不在 A 或不在 B，除非有 A 还有 B > 不在 A 且不在 B，凡在 AB 都去掉 ##### 七，集合基础题（7）  > 1. 根据 $P\cup M=P$ 易得 $M\subseteq P$ > 那么 $a+2\in P\to-3\le a\le -1$ > 但是它不允许你用不等式直接搞了 > 所以写作 $\{a\mid -3\le a\le -1\}$ > 现在看着很麻烦，但有了区间就好了 > 2. 首先说明 $1\in U,2\in A$ > 也就是 $a=\pm 1\ 且\ a+3=2\to a=-1\to \{-1\}$ > 取值范围其实就是一个集合 > 它可以是一个数，一堆数甚至没有数 > 3. $B\subseteq A\to a^2=a\lor a^2=3$ > 解得 $a\in\{0,1,\sqrt3,-\sqrt3\}$ > 去掉一个不合法的就剩下 $\{0,-\sqrt3,\sqrt3\}$ ##### 八、容斥基础题（1）  > 这个其实就是小学奥数题 > > 1. $A\cap B\cap C=\emptyset$ > 2. 这个画个图往里带入就可以了 > 只报 100：$20-3=17(人)$ > 只报 200：$18-3-1=14(人)$ > 只报 400：$21-1=20(人)$ > 报了 100 和 200：$3(人)$ > 报了 200 和 400：$1(人)$ > 结果为 $55$ 人 > 或者用公式 $20+18+21-3-1-0+0=55$ ##### 九、集合基础题（8） ###### Subtask 1 $\{a,\frac ba,1\}=\{a^2,a+b,0\},a^{2022}+b^{2023}=?$ 我们发现，首先 $a$ 和 $\frac ba$ 里一定有一个 $0$。 那显然得到 $b=0$。 代入 $\{0,1,a\}=\{0,a,a^2\}$ 那显然，$a^2=1$。 发现只有 $a=-1$ 合法。 答案 $=(-1)^{2022}+0^{2023}=1$ ###### Subtask 2  > 小学计算题。 > $4-1=3,4-2=2,4-3=1$ > $5-1=4,5-2=3,5-3=2$ > $6-1=5,6-2=4,6-3=3$ > $C=\{1,2,3,4,5\},\sum_{x\in C} x=15$ ###### Subtask 3  > 显然等价于 $2m\ge m+1$，一眼 $m\ge 1$。 > 答案： $\{m|m\ge1\}$ ###### Subtask 4.1  > 显然一手 $m+1>-2,2m-1\le 5$。 > 空集让他自然炸掉就好。 > 得到 $\{m|-3 然而不对。 > 显然，我们如果满足为空集的话就都不需要考虑了。 > 而我们却给加了一个限制。 > > 怎么办？ > 分讨把空集抽出来。 > $B=\O\to m+1>2m-1\to m<2$ > $B\neq \O\to m+1>-2,2m-1\le 5,m\ge 2\to 2\le m<3$ > 答案即为 $\{m|m<3\}$。 ###### Subtask 4.2  > 先考虑空集，$a=0$，排除 D。 > 然后发现这题得分讨。 > $$ > \begin{cases} > x\le -\frac 1a\to -\frac 1a<-1\to 00)\\ > x\ge -\frac 1a\to -\frac 1a\ge 3\to -\frac 13\le a<0\qquad(a<0)\\ > a=0 > \end{cases} > \to > -\frac 13\le a\lt1 > $$ > 选择 A。 ###### Subtask 4.3  > $A=\{0,1,2\}\to 2^3=8$ > > 类似的，由于每个元素都有选和不选两种选择，子集个数 $x$ 和集合大小 $n$ 满足： > > - 子集 $x=2^n$ > - 真子集 $x=2^n-1$ > - 非空子集 $x=2^n-1$ > - 非空真子集 $x=2^n-2$ ###### Subtask 4.4  > 我们大概想一下，$A$ 和 $B$ 的补集不交，应当是说明不在 $B$ 里面一定不在 $A$ 里面。 > 即 $A\subseteq B$。 > A. 显然正确。 > B. 显然为 $A\cup B=B$。 > C. 只当 $A=B$ 时才成立。 > D. 显然正确。 > > 这样直接搞可能略显抽象。 >  ##### 十、集合基础题（9） ###### Subtask 1  > 我们发现 $A=\{x|-3\le x\le 1\}$。 > 则条件一等价于 $B\subseteq A$。 > 依旧分讨。 > 空集：$a-1>2a+1\to a<-2$。 > 其余：$-3\le a-1\le 2a+1\le 1\to-2\le a\le 0$ > 即 $\{a|a\le 0\}$。 > > 第二问显然 $C\subseteq A$。 > 我们不严谨的写显然有 $-\abs{m+1}\le x\le \abs{m+1}$。 > 转化一步 $\abs{m+1}\le1$ 得到 $-2\le m\le 0$。 > > 对于第二问， > 正解可以选择严格的分讨或列两个双边不等式。 > 显然是一定有解非空的。 ###### Subtask 2  > 只有 $4$ 正确。 > 这里解释一下最后一条。 > 显然这个方程有唯一解，不会在解集中有两个元素。 > 正确写法：$\set{(1,2)}$。 ###### Subtask 3  > 显然，原问题等价于： > 当函数 $y=ax+1$ 和 $y=\abs{x}$ 只有一个交点时，求 $x$ 取值范围。 > > 显然 $\set{x\mid x>1\ 或\ x<-1}$。 ###### Subtask 4  > 显然 $A=\set{m,-1,2},B=\set{m^3,-1,8}$。 > 显然只要 $m\neq -1$ 且 $m\neq 2$ 即可。 > 现在给出 $C=A\cup B$，分讨即可。 > 一定有的是 $\set{-1,2,8}$。 > > - $m=8$ > 笔者也没有考虑到这种情况。 > 显然不满足元素和的条件，舍去。 > - $m^3=m$ > - $m=0$ > 合法，$C=\set{0,-1,2,8}$，积为 $0$。 > - $m=-1$ > 非法。 > - $m=1$ > 不满足元素和的条件。 > - $m^3=-1$ > 非法。 > - $m^3=2$ > 不满足元素和的条件。 > - $m^3=8$ > 非法。 > - 其余情况 > 考虑 $m(m^2+1)=0$，方程有唯一解 $m=0$。 > > 综上，$m=0$，选择 A。 ###### Subtask 5  > 二次方程问题一定要考虑退化问题。 > > - $k=0$ > 显然可行，$M=\set 1$。 > - $k\neq 0$ > 直接套解析式，$\Delta=1+4k(k+1)=4k^2+4k+1=(2k+1)^2=0\to k=-0.5$。 > > 综上，$k=1\ 或\ -0.5$。 > 应当写作集合形式，$\set{1,-0.5}$ ###### Subtask 6  > (1) > 显然 $A=\set{1,2}$。 > 只需满足： > > 1. $2\in B$，得 $4+4(a+1)+(a^2-5)=0$，即 $a^2+4a+3=0$，得 $a=-1\ 或\ -3$。 > 2. $1\not\in B$，得 $1+2a+2+a^2-5\neq0$，即 $a\neq \frac{-2\pm\sqrt{4+4\times 2}}2=-2\pm\sqrt 3$。 > > 综上 $a\in\set{-1,-3}$。 > > (2) > 显然 $B\subseteq A$。 > > - $B=\empty$ > $\Delta=4(a^2+2a+1)-4(a^2-5)=8a+24<0\to a<3$。 > > - $B\neq \empty$ > 然后枚举一下： > > - $B=\set {1,2}$ > 显然无解。 > 可以看上面或者而用韦达定理： > $$ > \begin{cases} > -2a-2=1+2\\ > a^2-5=2 > \end{cases} > \to > \begin{cases} > a=2.5\\ > a=\pm\sqrt 7 > \end{cases} > \to \empty > $$ > > - $B=\set 1$ > 首先，注意到 $\Delta=0$ 时 $a$ 有唯一解 $3$ 对应着 $B=\set 2$。 > 于是此条件无解。 > > - $B=\set 2$ > $a=3$。 > > 综上 $a=\set{x\mid x\le 3}$。 ###### Subtask 7.1  > 显然，答案为 $\set{1,2,3}$。 ###### Subtask 7.2  > 显然，$A-B=\set{2,4},B-A=\set 6\to A*B=\set{2,4,6}\to C$。 ###### Subtask 7.3  > A 错误，$4\notin \set{0,1,2,3}$。 > B 错误，$-3=-4+1\to -3\in [1]$。 > C 正确。 > D 正确。 ###### Subtask 7.4  > 题很玄学，瞪眼法 $\set{x\mid \frac 1{20}\le x\le \frac14}$。 #### 0.2.3 命题和逻辑 这个就挺水的 我们想一下初中学过的命题 一个合格的命题类似语文判断句：若 $p$，则 $q$。（其中 $p,q$ 称为**条件**，是一个只有真假两个值的语句） ~~我们根据懒的思想~~ 简记作 $p\Rightarrow q$ 我们称 $p$ 是 $q$ 的**充分条件**，$q$ 是 $p$ 的**必要条件** 啥意思呢？ 充分，相当于条件充分，类似“只要…就…” 就相当于“只要 $p$ 成立，那么 $q$ 就一定成立” 同理，必要，相当于必要约束，类似"只有…才…" 但这一切都建立在这个命题是真命题的前提下 如果他本身是假命题。就写作 $p\not\Rightarrow q$ 当然那些就都不成立啦 然而它为什么要和集合放在一章里呢 只是因为他们都很水吗（ 显然不是 我们可以把 $p$ 和 $q$ 都表示成一个集合 而对于任何一个情况都将其视作元素 那么 $p\Rightarrow q$ 就相当于 $P\subseteq Q$ 任何一个元素但凡在 $P$ 中就一定在 $Q$ 中 这样说可能有点抽象 比如 $p:x=1,q:x^2=1$ 显然我们相当于 $p:x\in\{1\},q:x\in\{-1,1\}$ 而由于 $\{1\}\subseteq\{-1,1\}$ 则自然 $p\Rightarrow q$ 我们再从集合角度理解一下必要条件 显然集合 $Q$ 要更大 那么如果条件元素 $x$ 不在该集合里 他就不可能在集合 $P$ 中 而对于一种特殊情况 $p\Rightarrow q,q\Rightarrow p$ 显然此时 $p$ 既是 $q$ 的充分条件，又是 $q$ 的必要条件，则称 $p,q$ 互为充分必要条件，简称**充要条件**，记作 $p\Leftrightarrow q$ 我们从集合来理解就相当于 $P\subseteq Q,Q\subseteq P\Rightarrow P=Q$ 所以又称条件 $p,q$ 等价 根据集合的定义不难看出，充分条件和充要条件均具有传递性 即 $(a\Rightarrow b,b\Rightarrow c)\Rightarrow a\Rightarrow c,(a\Leftrightarrow b,b\Leftrightarrow c)\Rightarrow a\Leftrightarrow c$ #### 0.2.4 全称量词和存在量词 一个命题中可能出现“所有”或是“存在”这样的描述 我们自然定义，前者为**全称量词命题**，后者为**存在量词命题** 分别记作 $\forall$ 和 $\exists$ 看一下我们在 0.2.3 中的那些命题其实都是全称量词命题（经典的“若 $p$ 则 $q$”） 由于我们大部分条件都针对变量来讲 所以我们可以在后面用括号表示它所表示的变量 比如 $p(x)$ 就表示一个和变量 $x$ 有关的**条件**（就是一个一般疑问句，只有真假两个值） 那么可能这样的命题就可简作：$\forall x\in A,p(x)$ 或是 $\exists x\in B,q(x)$ 举个例子：所有的偶数都是实数 就可以记作 $\forall x\in\{x\mid x=2k,k\in \mathbb{Z}\}, x\in\mathbb{R}$ 接下来探讨如何写一个命题的否定 这个简单来说就是抬杠方法论 比如"所有的星星都绕太阳转" 如果你要否定它显然是找一个不绕太阳的星星而非证明所有星星都不绕太阳转 又比如“世界上存在好人” 我们这个时候发现这个条件就是存在量词命题 它的否定显然只找招一个坏人是不够的 要否定这个命题必须证明所有人都是坏人 上面都是比较显然的 我们至少能发现一个基本性质：一个命题和他的否定是量词上相反的 我们有一个符号 $\neg$ 表示对于一个条件进行取反 那么有普遍性质： 一个全称量词 $\forall x\in A,p(x)$ 的否定即为 $\exists x\in A,\neg p(x)$ 一个存在量词 $\exists x\in A,p(x)$ 的否定即为 $\forall x\in A,\neg p(x)$ 这看起来很合理 但是最棒的其实是我们可以从集合的角度去思考这个问题 比如一个全称量词命题 我们还像原来一样将那个 $p(x)$ 写作集合 $P$ 那么全称量词 $\forall x\in A,p(x)$ 就相当于 $A\subseteq P$ 存在量词 $\exist x\in A,p(x)$ 就相当于 $A\cap P\neq \emptyset$ 那么对于一个全称量词的否定 $\exists x\in A,\neg p(x)$ 就相当于 $A\cap(\complement_AP)=\complement_AP\neq\emptyset$ 这就是说，存在一个元素 $x$，使得 $x\in A$ 且 $x\not\in P$ 那这就显然不满足 $A\subseteq P$ 了 对于另一种否定若 $A\in\complement_AP$ 就显然有 $A\cap P=\emptyset$ 我们再一次证明了命题和集合间的紧密关系 #### 0.2.5 逆命题，否命题，逆否命题 首先说明，这些都是对于全称命题来讲的 我们还是用一开始的表示方法 $p\Rightarrow q$ 进行说明 逆命题：$q\Rightarrow p$ 否命题（**与命题的否定完全不同！！！**）：$\neg p\Rightarrow\neg q$ 逆否命题：$\neg q\Rightarrow \neg p$ 我们根据初中知识已经知道逆命题和原命题之间不存在直接的推证关系 举个例子：所有的人都是动物，然而不是所有的动物都是人 通过举例也容易发现否命题同样没有直接推证关系 还是那个例子：所有的人都是动物，然而不是人的未必不是动物 根据 0.2.3 我们对命题集合意义的讨论已经说明 若一个命题和其逆命题均成立，则说明这两个条件等价 类似的，否命题也有相同的性质 $P\subseteq Q,\complement_UP\subseteq\complement_UQ\Rightarrow P=Q$ 这个可以反证，如果她不成立就一定有 $x$ 且满足 $x\not\in P,x\in Q$ 而前半段就相当于 $x\in\complement_UP,x\not\in\complement_UQ$ 由此得证 最后是逆否命题 先放结论：逆否命题正确性和原命题正确性相同 还是集合形式推理： 原命题相当于不存在 $x$ 使得 $x\in P$ 且 $x\not\in Q$ 那么不在 $Q$ 中的一定不在 $P$ 中 也就是 $\complement_UQ\subseteq\complement_UP$ 逆否命题也就从而得证了 这个还是以定义和推理为主 不考什么题，主要是体会集合推理的思想 #### test ##### 一、命题基础题（1）  >1. 真 > 任意奇数都满足 $x=2k+1,k\in\Z$ > 那么其平方是 $4k^2+4k+1$ 显然也是奇数 >2. 假，例如 $2$ >3. 假，例如 $9$ >4. 真 > 这里的“互质”指两个数的最大公约数（$\gcd$）为 $1$ > 我们在这里给他加一个限定，就是不考虑零的情况，负数也不管最大公约数的符号 > 经典证明，设他们的 $\gcd$ 为 $d$，而这两个数分别是 $x$ 和 $x+1$ > 那么 $x$ 必然可以写作 $kd$，则 $x+1$ 写作 $kd+1$ > 由于 $d$ 是 $kd+1$ 的约数，可得 $d=1$ >5. 真 > 类似的设两个数为 $2k+1$ 和 $2k+3$，$k\in\Z$ > 设前面的是 $xd$ 则后面的即是 $xd+2$ > $d$ 无非就 $1,2$ 两种可能 > 简单一想就是 $1$ >6. 真，不考虑零显然有一个 $2$ 作为 $\gcd$ >7. 真，如共轭根式 >8. 假，如两个 $\pi$ >9. 真，无理数一定是实数 >10. 假，必须规定是平四 > >这些题都不难，我们学习一下证明命题的方法 >对于存在量词命题，只需要举例即可；而对于全程量词命题，则需要进行严谨的逻辑证明 >容易思考证伪亦同，仅需进行命题否定即可 ##### 二、命题基础题（2） > 注：由于作者~~太懒太菜不愿意写证明~~ > 所以后面涉及到证明的比较简单的例题就不细写了  > 1. 必要不充分 > 2. 充分不必要（别忘了 $0$） > 3. 既不充分也不必要 > 4. 必要不充分 > 5. 充分不必要 > 6. 充分必要？ > 对吗？ > 不一定。 > 作者就是直接敲上就去看答案了 > 但你会发现他不一定对 > 因为他没有规定是几次方程！ > 显然二次方程是充分必要的我们不去管他 > 一次方程发现由于 $a=0$ 所以充分性依然成立 > 必要性呢？ > $-1=0$ 随手一个反例（暂且认为他是关于 $x$ 的方程） > 那答案应为**充分不必要** ##### 三、命题基础题（3）  > 1. $\forall x\in\Z,x-1\le0$ > 2. $\exists x\in\Q,x-2<0$ > 3. 存在被五整除的末位非零的数 > 4. 所有四边形对角线都不互相垂直 > 5. 存在对角线不互相平分的平四 > 6. 存在三个连续整数且他们的积不是六的倍数 > 7. 所有的一元二次方程都有实根 > > 注意由于否定的本质是补集，所以注意 $a>b$ 要变成 $a\le b$ 而非 $a\lt b$ > 对于最后一个，“不总有” 的含义是一个存在量词命题 ##### 四、命题基础题（4） ###### Subtask 1.1  > 1. 充分不必要。 > 2. $\set{x|0\lt x\lt 5}\supseteq \set{x|0\lt x\lt 2}\to B$。 > 3. 必要性显然，排除 AD。 > 这个也是一个经典 trick 了。 > $\Delta=\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2}{2}=0\to a=b=c$。 > 故选 C。 ###### Subtask 1.2  > 看不懂，但应该是 B。 ###### Subtask 1.3  > 套路求判别式 $\Delta=4a^2+8a+4-4a^2-8a=4>0$。 > 收获不大，考虑从异号入手。 > $\begin{cases}a+1+1>0\\ a+1-1<0\end{cases}\to -2 充分不必要，找一个真子集就可以，故选 C。 ###### Subtask 1.4  > 简单转化，后式即为 $\set{x|x>a+1\ 或\ x 充分不必要，显然 $1>a+1\to a\in\set{x|x<0}$。 > > 错。 > 可以挂等，不破坏“不必要性”。 > 综上 $\set{x|x\le 0}$。 ###### Subtask 2.1  > A 选项 $\Delta<0$，错误。 > B 选项，显然正确。 > C 选项，$x=4$ 且 $y=1$ 符合条件，正确。 > D 选项，显然错误，如 $x=-1000$。 ###### Subtask 2.2  > 1. D。 > > 2. 这个复杂一些，可能用自然语言更好理解。 > 原命题：对于所有实数都存在小于等于这个实数的自然数。 > A：对于所有实数都存在大于这个实数的自然数。 > B：对于所有实数都满足所有自然数都大于这个实数。 > C：存在一个实数使得有一个自然数比这个实数大。 > D：存在一个实数使得任意自然数都大于这个实数。 > > 显然 A 错误，存在大于这个实数的自然数无法否定原命题。 > C 同理，这并不影响存在不比这个实数大的自然数。 > 显然，D 正确，B 过于强了， > 只要能证明存在一个实数，使得任意自然数都大于这个实数， > 那么“对于所有实数都存在小于等于这个实数的自然数”即为假命题。 > > 3. 这个简单一些，选 D。 > > 更普适的，对于条件只改量词不动内容，对于结论应当取反。 ###### Subtask 3  > 等价于命题否定为真， > 即 $\forall x_0\in R,mx_0^2+2mx_0-2\lt 0$。 > 显然，$m<0,\Delta=4m^2+8m=4m(m+2)\lt0\to -2 > 错。 > 考虑退化。 > 综上 $-2b$ 能够推导出 $$ a+c>b+c\\ ac>bc(c>0)\\ ac0$ 来推导 $a>b$ ~~然而这个的正确性。。。好像就没有证明的必要了~~ 那我们第一条 $a+c-(b-c)=a-b>0$ 第二条也可以用相同的方式： $ac-bc=c(a-b)$ 显然 $a-b>0$，而原式的符号就与 $c$ 的符号一致 或者我们可以用几何方法感性理解一下： 比如两个点同加同减，就相当于平移这两个点所在的线段，位置关系显然不变 而乘法就相当于拉伸，如果因子是正数就满足相对位置不变，否则就会把原来的位置关系调转 基础性质还有一个传递性和反身性 即 $a>b,b>c\Rightarrow a>c$ 和 $a>b\Rightarrow bb,c>d\Rightarrow a+c>b+d$ 都是对上述基础性质的扩展 ##### 简单扩展 比如一个简单的例子：$a>b>0,c>d>0\Rightarrow ac>bd>0$ 这个我们发现他很显然，但又不太好直接做差 这个时候就要祭出我们的**做商法**：对于两个正实数 $a,b$ 有 $a>b\Leftrightarrow \frac ab>1$ 那这个就可以这么搞 比如说，$\frac{ac}{bd}=\frac ac*\frac bd>1$ 这个看着并没有问题 然而你会发现，我们通过两个大于一的数字相乘大于一 然而却没有证明原定理成立 这显然是不行的。。。 那我们回归本质做差吧 $ac-bd=ac-bc+bc-bd=c(a-b)+b(c-d)>0$ 我们可以把他优化一下变成 $ac>bc>bd$ 这个就是通过**比较中间值**来证明的 上面都是显然结论，我们这几个方法通过下面的例题来学习一下 有两个比较常用的性质： 1. 不等式加法 $a>b,c>d\Rightarrow a+c>b+d$ 2. 不等式乘法 $a>b>0,c>d>0\Rightarrow ac>bd$ ##### 性质整理 看着还是有点乱，我们整理一下： - 显然的性质：反身性，传递性。 - 初中学过的：同加减，同乘除（含变号）。 - 简单扩展的：同号相加，同正同号相乘。 - 进一步扩展： - $a>b>0\to a^n>b^n>0(n>0)$。 $n\in N_+$ 时用同号相乘显然。 分数可能难搞一些，可以考虑先推导根号的正整数性质，然后再进行拆分去做。 无理数就近似为分数。 - $a>b>0\to \sqrt[n]{a}>\sqrt[n]b>0(n>0)$。 整数情况见例一第六小问的逆否推导，可以扩展。 分数情况和无理数情况就划归到上一条。 #### 1.1.2 不等式技巧 ##### 1.1.2.1 二次不等式 > 例题：解不等式。 > > 1. $x^2-5x-6<0$ > 2. $2x^2+x-6\ge0$ 对于二次不等式，一般考虑图象法。 按照二函套路，显然能算出来 $-6 例题： > > 1. $\frac{x-2}{x+1}>0$ > 2. $\frac{4x+3}{1-x}\ge0$ > 3. $\frac{2x+5}{x+1}\le 1$ 仔细想想直接分讨能过。 1. $\texttt{case 1: }x-2>0,x+1>0\to x>2\\ \texttt{case 2: }x-2<0,x+1<0\to x<-1$ 2. 同理 $\frac 34\le x<1$。 3. 把 $1$ 减过去得到 $-4\le x\lt-1$。 我们有一个很神奇的方法：$\frac ab>0\iff ab>0$。 如果对于挂等的时候注意分母不可取等。 ##### 1.1.2.3 杂题 > 例题： > > 1. $(x-1)(x+2)(3x-1)>0$ > 2. $|x+3|>1-2x$ > 3. $\sqrt{3-x} 关于穿针引线： > > 1. 求根。 > 2. 从小到大在数轴上排序。 > 3. 判断初始是正还是负，（对于每一个根对应的次数）奇穿偶不穿。 > > 为什么他是对的？ > 首先求根得到了零点信息，然后每过一个点就会一项反号。 > 如果此时对应一个偶项的话，符号会被正负相消，不会造成任何影响。 > > 额外提示： > 一般在使用穿针引线时直接将最高次项系数作为初始标准， > 因为其对自变量趋于无穷时的函数值影响最大。 $x>1\ 或\ -2 附加题： > > 1. $(x-1)^2(x+2)(3x-1)>0$ > 显然一个偶次项代表其不会对答案造成任何影响，就是穿针引线的定义。 > $x<-2\ 或\ \frac 131$。 > 2. $(x-1)^2(x+2)^3(3x-1)^6>0$ > 同理可得 $\frac 131$。 > 3. $x^3-2x^2-x+2<0$ > 猜根因式分解得到 $x=1$。 > 原式即为 $(x+1)(x-1)(x-2)<0$。 > 得到 $x<-1\ 或\ 1 第二题是绝对值方程。 简单分讨即可。 $$ \begin{cases} x+3>0\to x+3>1-2x\to 3x>-2\to x>-\frac 23\\ x+3\le 0\to-x-3>1-2x\to x>4\to \O \end{cases} \to x>-\frac 23 $$ > 附加题： > 显然这种题都是可以分讨的，但我们只介绍奇技淫巧。 > 因为有些题目只能分讨（见上题）。 > > 1. $|x-1|>2$ > 显然这个直接几何意义即可。 > 大概看一眼就是 $x<-1\ 或\ x>3$ > 2. $|x-1|>|2x-3|$ > 有性质 $|a|>|b|\iff a^2>b^2$。 > 平方得 $x^2-2x+1>4x^2-12x+9$。 > 化简得 $(3x-4)(x-2)<0$ 解得 $\frac 34 3. $|x-1|>|2z+3|$ > 同上，我们因式分解用平方差优化。 > $(x-1-2x-3)(x-1+2x+3)>0\to (x+4)(3x+2)<0 \to -40\\ (x-2)(x+1)>0\\ \to x<-1\ 或\ x>2\\ \to x>2 $$ 然而是错的。 Why？ rt，$\sqrt {-2x}0\to \dots$ 然而这方程一眼无解。 问题在哪？ ~~平方根双重非负性就判一半对才有鬼。~~ 显然根号下也要判一手非负。 我们对原式加一个 $3-x\ge0$。 正确答案即为 $20\\ \frac {m+\sqrt \Delta}2>0\\ \frac {m-\sqrt \Delta}2<0\\ \end{cases} \to \begin{cases} m^2+4m-12>0\\ m+\sqrt \Delta>0\\ m-\sqrt \Delta<0\\ \end{cases} \to \begin{cases} m\in(2,+\infty)\cup(-\infty,-6)\\ m>-\sqrt \Delta\\ m<\sqrt \Delta\\ \end{cases} \to \begin{cases} m>2\qquad m^23\\ m<-6\qquad m^23\\ \end{cases} \to (3,+\infty) $$ 然而不用这么麻烦。 我们考虑验证一下判别式，然后注意到仅需两根之积为负。 考虑直接跑根系关系即可。 $-m+3<0\to m>3$。 为了我们以下叙述方便来补一些二函基础知识。 > 根系关系： > 考虑对于二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 来说，两根根据公式有 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。 > 易知，$x_1+x_2=-\frac ba,x_1x_2=\frac ca$。 > 或者从另一个角度考虑。 > 方程可以写成 $a(x-x_1)(x-x_2)$ 的形式（即二函两根式），这个构造是显然的。 > > 对于二函来说有三种常用形式。 > 一般式：$f(x)-ax^2+bx+c$。 > 顶点式：$f(x)=a(x+\frac b{2a})^2+c-\frac{b^2}{4a}$。 > 两根式：见上。 > > 我们有一个常用结论：二函对称轴为 $x=-\frac b{2a}$。  考虑函数开口向上，显然对称轴在此区间内，$\Delta>0,f(-1)>0,f(2)>0$。 $$ \begin{cases} -1<\frac m2<2\\ m^2+4m-12<0\\ 4>0\\ 7-3m>0\\ \end{cases} \to \begin{cases} -22\\ m<\frac 73 \end{cases} \to 20\\ \frac {m+\sqrt \Delta}2<2\\ \frac {m-\sqrt \Delta}2>-1\\ \end{cases} \to \begin{cases} m\in(2,+\infty)\cup(-\infty,-6)\\ m-4<-\sqrt \Delta\\ m+2>\sqrt \Delta\\ \end{cases} \to \begin{cases} 2m^2+4m-12\\ m^2+4m+4>m^2+4m-12 \end{cases} \to \begin{cases} 22\\m^2-4m+4+4m-20>0\\f(2)=m+5>0\end{cases}\to\begin{cases}-516\end{cases}\to(-5,-4)$。 解析式直代法显然，不多赘述。  退化不用管，说了有双解。 - $m>0$ 简单粗暴 $f(4)=16m+8m+24+2m+14=26m+38<0$，无解。 - $m<0$ 同理，$f(4)=26m+38>0\to -\frac {19}{13}0\\f(1)=4m+5<0\\f(4)=10m+14>0\end{cases}\to -1.4 我们先介绍一下证明题基本思路 > 从条件推结论叫做**综合法** > 从结论逆向搞条件叫**分析法** > 这两种我们用题来看吧。。。 > > 1. 综合： > $$ > \begin{aligned} > &a>b>0\\ > &\texttt{divide a*b}\to \frac 1b>\frac 1a\\ > &\texttt{mul c}\to \frac ca>\frac cb > \end{aligned} > $$ > 分析： > $$ > \begin{aligned} > \frac ca>\frac cb& \iff \frac 1a<\frac 1b\\ > &\iff b>a > \end{aligned} > $$ > > > 我们把分析法的步骤倒着写就是答案了 > 但是他还是比较玄学 > 所以我们还是直接用综合搞了 > > 2. $a=1,b=0,c=10000,d=0\Rightarrow a-b > 3. $a=-1,b=-1000,c=-1,d=-1000\Rightarrow ac > 4. 还是用和以前类似的间隔法 > > $\begin{aligned} > &\because a>b,c<0\\ > &\therefore ac &\because c0\\ > &\therefore bc &\therefore ac \end{aligned} > $ > > 5. 这个用到了以前说过的不等式乘法 > > $$ > \begin{aligned} > \\ > &\because a &\therefore -a>-b>0 \\ > &\therefore a^2>b^2>0 \\ > &\therefore \frac 1{a^2}<\frac 1{b^2}\\ > &\text{or choose this.}\\ > &\because\frac 1{a^2}-\frac 1{b^2}=\frac{(b+a)(b-a)}{a^2b^2},b+a<0,b-a>0,a^2b^2>0\\ > &\therefore \frac 1{a^2}-\frac 1{b^2}<0\\ > &\therefore \frac 1{a^2}<\frac 1{b^2}\\ > \end{aligned} > $$ > > 6. 这个直接想很难受 > 我们倒着从结论推条件的抽象方法由于不能证明可以逆推 > 所以不攻自破不能用 > 咋办？ > 无脑做差+共轭根式！ > $\sqrt a-\sqrt b=\frac{(\sqrt a+\sqrt b)(\sqrt a-\sqrt b)}{(\sqrt a+\sqrt b)}=\frac{a-b}{(\sqrt a+\sqrt b)}$ > 上下显然均为正数，显然这个就能搞了 > 还有另一种抽象方法：反证法（逆否等价推理法） > 比如说我们假设结论不成立去推理条件矛盾 > 我们发现这正是逆否的推理逻辑 > $$ > a>b\to\sqrt a>\sqrt b\\ > \iff \sqrt a\le\sqrt b\to a\le b > $$ > 我们证明下面的就可以了 > 由于我们有的时候搞否定不如推矛盾 > 所以我们还是喜欢用反证法 ##### 二、不等式基础（2）  >1. 我们发现这个应该使用不等式加法 > 比如说 $2 其实这题要是填空非常简单 > 我们瞪眼也能看出来最大最小应该是他 > 因为 $x$ 比二大比三小，$y$ 比三大比四小，那“交叉相减”应当也是显然的 > 但是~~你肯定不能写“瞪眼可得”~~，所以一个正确的方法还是必要的 > >2. 思路基本相同 >$$ >\begin{aligned} >&\because 2&\therefore 4<2x<6\\ >&\because 3&\therefore -4<-y<-3\\ >&\therefore 0<2x-y<3\\ >\end{aligned} >$$ > >3. 这个应给是用 $x$ 乘上 $\frac 1y$ > $$ > \begin{aligned} > &\because y>3,y<4\\ > &\therefore 1>\frac 3y,1<\frac 4y\\ > &\therefore \frac14<\frac1y<\frac 13\\ > &\because 2 &\therefore \frac12<\frac xy<1 > \end{aligned} > $$ > >4. 补一个题：已知 $a,b,m>0$，$a 我们做差通分 $\frac{a(b+m)-b(a+m)}{b(b+m)}=\frac{m(a-b)}{b(b+m)}$ > $$ > \begin{aligned} > &\because a &\therefore a-b<0\\ > &\because b,m>0\\ > &\therefore m(a-b)<0,b+m>0\\ > &\therefore b(b+m)>0\\ > &\therefore \frac{m(a-b)}{b(b+m)}<0\\ > &\therefore \frac{am+ab-bm-ab}{b(b+m)}<0\\ > &\therefore \frac{a(m+b)-b(a+m)}{b(b+m)}<0\\ > &\therefore \frac ab-\frac{a+m}{b+m}<0\\ > &\therefore \frac ab<\frac{a+m}{b+m} > \end{aligned} > $$ > > > ##### 三、不等式基础（3）  > 遇事不决就做差！ > $$ > \begin{aligned} > \frac 1{\sqrt 2-1}-(2\sqrt 3-1)&=\sqrt 2+1-2\sqrt 3+1\\ > &=2+\sqrt2-2\sqrt3\\ > &=\frac{(2+\sqrt2-2\sqrt3)(2+\sqrt2+2\sqrt3)}{2+\sqrt2+2\sqrt3}\\ > &=\frac{6+4\sqrt2-12}{2+\sqrt2+2\sqrt3}\\ > &=\frac{(-6+4\sqrt2)(-6-4\sqrt2)}{(2+\sqrt2+2\sqrt3)(-6-4\sqrt2)}\\ > &=\frac{36-32}{(2+\sqrt2+2\sqrt3)(-6-4\sqrt2)}\\ > &=\frac 4{(2+\sqrt2+2\sqrt3)(-6-4\sqrt2)}<0\\ > \therefore \frac 1{\sqrt 2-1}<2\sqrt 3-1 > \end{aligned} > $$ > 这个方法写证明好一些 > 填空就麻烦了 > 一个神奇的“待定符号法”（下用符号 $\oplus$ 表示未知的符号） > $$ > \begin{aligned} > \frac 1{\sqrt 2-1} &\oplus 2\sqrt 3-1\\ > \sqrt 2+1 &\oplus 2\sqrt 3-1\\ > \sqrt 2 &\oplus 2\sqrt3-2\\ > 2 &\oplus 12+4-8\sqrt3\\ > 8\sqrt3 &\oplus 14\\ > 192 &\oplus 196 \Rightarrow \frac 1{\sqrt 2-1} < 2\sqrt 3-1 > \end{aligned} > $$ > 注意他要求我们干的都是充要转化 > 所以注意平方的时候两边需要验一下均为正 ##### 四、不等式基础（4）  > 这里我们来研究一下，做差法和做商法适用于什么条件之下 > > 1. 这个适合做差 > $\because\Delta=(x^2-6x+9)-(x^2-6x+8)=1>0\\\therefore(x-3)^2>(x-2)(x-4)$ > > 2. 同上 > $\because \Delta=x-1>0\\\therefore x^2>x^2-x+1$ > > 3. 这个题好像都不容易 > 做商一般都是确定两个正负关系才能搞 > 做差试试 > $\Delta=x^2+y^2+1-2(x+y-1)$ > 这个有点像完全平方 > 我们导一下式子 > $$ > \begin{aligned} > \Delta&=(x+y-1)^2-2(x+y-1)+1-1-2xy+2x+2y\\ > &=(x+y-2)^2-1-2xy+2x+2y > \end{aligned} > $$ > 我们发现这么导是没有出路的 > 我们不如直接拆括号试一下 > 发现 $x,y$ 之间无交叉的项 > 考虑分别处理 > $$ > \begin{aligned} > \Delta&=x^2-2x+y^2-2y+3\\ > &=(x-1)^2+(y-1)^2+1>0 > \end{aligned} > $$ > 这个对称式行不行呢？ > 令 $a=x+y,b=xy$ 则 $\Delta=a^2-2b-2a+2$ > 貌似也不行 > 可能不等式中对称式用的少 > > 4. 这个我们貌似还得做差 > $\Delta=-x^2+2x-1=-(x^2-2x+1)=-(x-1)^2\le0$ > 或者我们分类 > $$ > \begin{cases} > A A=B\qquad (x=1) > \end{cases} > $$ > > > 5. 这题两种都行，因为两数均为正数 > $$ > \begin{aligned} > \text{minus method.}&\\ > \Delta&=\frac{(x+2)^2}{x^2+1}-\frac{(x+2)^2}{x^2+2}\\ > &=\frac{(x+2)^2}{(x^2+1)(x^2+2)}\ge0\\ > \therefore A\ge B\\ > \text{fraction method.}&\\ > \Delta&=\frac{x^2+2}{x^2+1}=1+\frac{1}{x^2+1}>1\\ > \therefore A\gt B > \end{aligned} > $$ > 为啥两种方法算出来的会不一样呢？ > 发现做商的时候过于草率 > 原数有可能为零！ > $$ > \begin{cases} > A>B\qquad (x\neq -2)\\ > A=B=0\qquad (x= -2) > \end{cases} > $$ > > 6. 这题很简单，做差随便搞就出来了 > $$ > \begin{cases} > A>B\qquad (b>0)\\ > A \end{cases} > $$ > ##### 五、不等式基础（5）  >1. 第一题考虑消元 > 易得 $c=-a-b$ 将其代入，做差得 $\frac{-a-b}{a+a+b}-\frac{-a-b}{b+a+b}=\frac{a+b}{a+2b}-\frac{a+b}{2a+b}=\frac{(a+b)(a-b)}{(a+2b)(2a+b)}$ > 接下来用反证法 > > + 引理： > 假设 $c\ge 0$，则 $a>b>0$ > 所以 $a+b+c>0$ > 与 $a+b+c=0$ 相矛盾 > 得到 $c<0$，同理可得 $a>0$ > + 证明 $a+b>0,2a+b>0$： > 由于 $c<0,a+b+c=0$ > 所以 $a+b>0$ > 所以 $2a+b>0$ > + 证明 $a-b>0$： > 由 $a>0$ 可得 > + 证明 $a+2b>0$： > $a+2b=a+b+c+b-c=b-c>0$ > > 综上原式为正 > > 其实这题不用消元可以直接倒推 > 同上，$c<0$ > 原式等价于 $\frac 1{a-c}<\frac 1{b-c}$ > 显然，$a-c>0,b-c>0$ > 原式等价于 $a-c>b-c$ > 同加得 $a>b$，显然成立，故得证 > >2. 容易想做差因式分解 > 先整充分 > $\Delta=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ > 前项显然为正，只需证明 $a^2+ab+b^2>0$ > > 这个我们直接完全平方不好过 > 我们可以考虑原式是二次式 > 选 $a$ 为主元则只需证判别式 $\Delta=b^2-4b^2=-3b^2<0$ 成立即可 > 这个已经显然了 > > 有了这个必要就简单了 > 因式分解后后项为正可以直接除掉 > 得前项为正，一移项就有了 > >3. 做个差试试。 > $$ > \begin{aligned} > \Delta > &=\sqrt a-\sqrt b-\sqrt{a-b}\\ > &=\frac{(\sqrt a-\sqrt b+\sqrt{a-b})(\sqrt a-\sqrt b-\sqrt{a-b})}{(\sqrt a-\sqrt b+\sqrt{a-b})}\\ > &=\frac{(\sqrt a-\sqrt b)^2-(a-b)}{(\sqrt a-\sqrt b+\sqrt{a-b})}\\ > &=\frac{a+b-2\sqrt{ab}-a+b}{(\sqrt a-\sqrt b+\sqrt{a-b})}\\ > &=\frac{2(b-\sqrt{ab})}{(\sqrt a-\sqrt b+\sqrt{a-b})}\\ > &=\frac{2\sqrt b(\sqrt b-\sqrt a)}{(\sqrt a-\sqrt b+\sqrt{a-b})}<0\\ > &\therefore A \end{aligned} > $$ ##### 六、不等式基础（6） ###### Subtask 1  >1. A 选项考虑 $a=1,b=-1$。 > B 选项考虑 $a=2,b=1$。 > C 选项考虑 $c=0$。 > D 选项正确，同乘除非负不变号。 >2. A 选项错误。 > B 选项考虑 $m=-1,a=10001,b=1,\frac m {b-a}=\frac 1{10000}<1$。 > C 选项考虑 $\Delta=\frac{a-m}{b-m}-\frac ab=\frac{ab-bm-ab+am}{b(b-m)}=\frac{m(a-b)}{b(b-m)}<0$。 > 故原式成立。 > D 选项考虑 > $\begin{aligned} \Delta&=\frac{ab^2-b^2m-a^2b+a^2m}{a^2b^2}\\&=\frac{ab(b-a)+(a+b)(a-b)m}{a^2b^2}\\&=\frac{a-b}{a^2b^2}(am+bm-ab)<0\end{aligned}$ > 故原式不成立，符号取反。 > >综上，答案为 DC。 >对于选择题： > >- 特殊值判断（比较复杂的式子）。 >- 不等式性质（非常简单的式子）。 >- 直接做差/化简。 ###### Subtask 2  > > $$ > \begin{aligned} > (1)\quad\Delta &= a^2-4a+b^2+2b+5\\ > &=(a-2)^2+(b+1)^2 \ge 0\\ > \therefore& \begin{cases}a^2+b^2=4a-2b-5\qquad (a=2,b=-1)\\a^2+b^2>4a-2b-5\qquad\text{otherwise}\end{cases}\\ > (2)\quad\Delta &=\frac{a\sqrt b}{b}+\frac{b\sqrt a}{a}-\sqrt a-\sqrt b\\ > &= \frac{a^2\sqrt b+b^2\sqrt a-ab\sqrt a-ab\sqrt b}{ab}\\ > &= \frac{(a-b)a\sqrt b-(a-b)b\sqrt a}{ab}\\ > &= \frac{(a-b)(a\sqrt b-b\sqrt a)}{ab}\\ > &= \frac{(a-b)\sqrt a\sqrt b(\sqrt a-\sqrt b)}{ab}\\ > \because &(a-b)(\sqrt a-\sqrt b)\ge 0\\ > \therefore &\Delta\ge 0\\ > \therefore &\frac{a}{\sqrt b}+\frac{b}{\sqrt a}\ge\sqrt a+\sqrt b\\ > &\text{Or use method 2.}\\ > \Delta &=\frac{(\sqrt a)^3+(\sqrt b)^3}{\sqrt{ab}}-(\sqrt a+\sqrt b)\\ > &=\frac{(\sqrt a+\sqrt b)(a+b-\sqrt{ab})}{\sqrt{ab}}-(\sqrt a+\sqrt b)\\ > &=\frac{(\sqrt a+\sqrt b)(a+b-2\sqrt{ab})}{\sqrt{ab}}\\ > &=\frac{(\sqrt a+\sqrt b)(\sqrt a-\sqrt b)^2}{\sqrt{ab}}\ge0\\ > &\text{In fact,looking at the last few steps of method 1.}\\ > \Delta&=\frac{(\sqrt a+\sqrt b)(\sqrt a-\sqrt b)\sqrt a\sqrt b(\sqrt a-\sqrt b)}{ab}\\ > &=\frac{\sqrt{ab}(\sqrt a+\sqrt b)(\sqrt a-\sqrt b)^2}{ab}\ge 0\\ > (3)\quad\Delta&=\sqrt 6+\sqrt 7-(\sqrt 5+\sqrt 8)\\ > &=\sqrt{13+2\sqrt{42}}-\sqrt{13+2\sqrt 40}\\ > \because & \sqrt {42}>\sqrt {40}\\ > \therefore & 13+2\sqrt{42}>13+2\sqrt 40\\ > \therefore & \sqrt{13+2\sqrt{42}}>\sqrt{13+2\sqrt 40}\\ > \therefore &\Delta >0\\ > \therefore &\sqrt 6+\sqrt 7>\sqrt 5+2\sqrt 2\\ > \end{aligned} > $$ > ###### Subtask 3  > 对于第一题考虑直接同向累加。 > $1 对于第二题考虑解出 $x,y$ 再做。 > 然而发现解这个是复杂的，因为不等式让我们很难受。 > 考虑换元。 > $\begin{cases}m=4x-y\\ n=2x+y\end{cases}\to\begin{cases}x=\frac 16m+\frac 16 n\\y=-\frac 13 m+\frac 23 n\end{cases}\to 1.5\le5x+y=\frac 12 m+\frac 32 n\le15$。 ###### Subtask 4.1  考虑就是裸题。 解得 $M=\set{x\mid -1.55}$。 显然 $M\cap N=\set{x\mid -1.55}$。 第二题，考虑两根为 $x_1=1,x_2=4$，韦达定理易得 $a=5$。 ###### Subtask 4.2  第一题，显然 $x>3\ 或\ -13$。 第六题，$-22$。 第八题，等价于求二次方程，可得 $x>1\ 或\ x<-1$。 第九题，挂等即可。。。吗？ 并非，首先要保证分母非零。 即为 $x\ge 1\ 或\ x<-1$。 第十题，分离一个常数，变成 $\frac{x+2}{x-1}>0$，可得 $x>1\ 或\ x<-2$。 ###### Subtask 4.3  第一题，裸题，$\Delta<0\to x\in R$。 第二题，也是裸题，$2x^2-12x+18\le 0\to x=3$。 第三题，依旧裸题，$(x+2)(x-4)\ge0\to x\ge4\ 或\ x\le -2$。 考虑当原式等于 $16$ 时 $x=6\ 或\ -4$。 那最终。。。$\set{x\mid x<-4\ 或\ -46}$。 ###### Subtask 4.4  考虑直接去做。 第一题先求根。 $\Delta=4a^2+8a+4=4(a+1)^2$ $x_{1,2}=\frac{2a\pm(2a+2)}2=a\pm(a+1)\to x_1=2a+1,x_2=-1$。 直接分讨求解即可。 第二题，考虑对一切很神奇，我们先解根。 看到二函想退化。 - $k=0$ 可以。 - $k>0$ 开口向上一定不对。 - $k<0$ 考虑开口向下，可以保留。 只需 $\Delta=k^2+3k<0$。 综上，$-32 $$ ###### Subtask 4.5  1. $S=(x+3)(x-2)\to(-3,2)$。 2. $S=(-2x+3)(x+2)\to (-\infty,-2]\cup[1.5,+\infty)$。 3. $2\sqrt x>x-3$。 - $0\le x\lt 3$ 保留。 - $x=3$ 保留。 - $x>3$ 平方得 $4x>x^2-6x+9\to x^2-10x+9<0\to (x-1)(x-9)<0\to 30.5$。 第二题貌似诈骗题，但其实并不是。 （中间是加号） 首先考虑 $a\ge 0$ 显然可以。 然后考虑对于原函数来说，$f(x)=f(-x)$，函数是偶函数。 考虑只需验证 $0\le x\le \sqrt 2$。 发现四次很不好做自然考虑换元，设 $t=x^2\to f(t)=at^2+t+1\gt 0(0\le t\le 2)$。 考虑当 $a<0$ 时函数上凸，只需验端点即可。 $f(0)=1>0,f(2)=4a+3>0\to a>-0.75$。 我们很轻松的就做出了此题，但这里介绍一种更有启发性和普适性的做法：参变分离。 > 一个简单而自然的想法： > 我们解带参不等式是复杂的，直接解不等式最值是简单的。 > 那我们考虑参变分离（尽量保证参数侧足够简单）。 > 变化成 $k\le\dots$ 的形式。 我们从 $a<0,f(t)=at^2+t+1>0$ 的情况。 首先 $t=0$ 无需考虑特判即可。 考虑 $at^2>-t-1\to a\gt -\frac{t+1}{t^2}$。 那我们实际上要求的就是对于 $f(t)=-\frac{t+1}{t^2}$ 在 $t\in(0,2]$ 区间内求最大值。 然后就是一手逆天换元，$l=\frac 1t\to f(l)=-l^2-l(l\ge \frac 12)$。 二次函数对于我们处理是容易的，考虑进行配方求顶点，$f(l)-(l^2+l+\frac 14)+\frac 14=-(l+\frac 12)^2+\frac 14$。 开口向下，顶点在左，不难想到直接代入 $f(0.5)=-0.75\to a>-0.75$。 第三题，题面给的很抽象，然而和第一题是一样的。 下凸函数，$f(1)=3-a\le0,f(4)=18-7a\le 0\to a\ge 3$。 总结一下，恒成立问题比较简单，用简单的参变分离或者直接验端点找函数性质就可以解决。 ###### Subtask 5.2  考虑等价于 $\min\set{ax^2-2x+3a}(a\in(0,2))<0$。 看到没什么好思路，直接分讨。 - $a=0$ 予以保留。 - $a>0$ 考虑 $f(0)=3a>0$， 同时对称轴配方得到 $f(x)=a(x^2-\frac 2ax+\frac 1{a^2})-\frac 1a+3a=a(x-\frac 1a)^2-\frac 1a+3a$。 对称轴在 $y$ 轴右侧。 有两个要求： - $\Delta>0$ $4-12a^2>0\to a\lt \frac {\sqrt 3}3$。 - $x_1<2$ $\frac {2-\sqrt{4-12a^2}}{2a}<2$。 化简一下，$2-2\sqrt{1-3a^2}\le 4a$。 移项，$1-2a\le\sqrt{1-3a^2}$。 - $a\ge 0.5$ 直接保留。 - $a<0.5$ 两边非负直接平方即可。 $1-4a+4a^2\le 1-3a^2$。 解不等式 $7a^2-4a\le 0$。 考虑分解 $a(7a-4)\le 0$，最终得到 $a\le \frac 47$。 在大限制下保留 $0 二函角度： > 取 $x$ 为主元，$\Delta=4y^2-4y^2=0$。 > > 几何角度： >  > > ~~哲学角度：~~ > 两侧总系数相同，系数集中说明更大，因为其会导致较大的数展现更多。（正负不论） 这部分怎么考呢？ 直接应用？  显然 $x+y\ge 2\sqrt{xy}=2$。 太简单啦~ 那看看下面这个水题， 比如说：  。。。 要不我们还是先来几个简单的模型吧。 ##### 1.1.3.1 对勾函数 一般称形如 $f(x)=ax+\frac bx(ab>0)$ 的函数为对勾函数。 比如说：      这些函数长得不太一样。 但我们大概可以分成两类： - $ab>0$ - $a>0,b>0$ 发现对于函数右半支有最小值 $ax+\frac bx\ge2\sqrt {ab}$ 当 $ax=\frac bx\to x=\pm\frac{\sqrt{ab}} a$ 舍去负解时取等。 对于左半支则可以进行换元处理。 比如 $(-ax)+(-\frac bx)\ge 2\sqrt {ab}$，两边都取反得到函数最大值 $-2\sqrt{ab}$，当取等时即上述取等值舍去正解取等。 - $a<0,b<0$ 使用换元方法，类似。 - $ab<0$ ~~所以如果你仔细看定义了他并非对勾函数。~~ 这个函数有什么好的性质值得研究吗？ 比如说对于 $ax+\frac bx$ 这个东西，先假定 $a>0,b<0,x>0$。 我们发现你可以对于 $ax+(-\frac bx)$ 处理。 显然其 $\ge \sqrt{-ab}$。 这个并非函数最小值。 如果你一定要知道的话他其实是：  这条线段长度的最小值，对于这个 $a=1,b=-1$ 的图象，最小值就是二。 并且根据研究这个东西会在 $x=\pm\frac {\sqrt{-ab}}a$ 处取到。 根据图象一般其被称作飘带函数。 对勾函数是一类比较基础的模型，是对基本不等式很直接的应用。 但你以为就这？ ##### Sample  考虑性质。 初看并没有什么。 然而发现除下来就是裸对勾。 第一题，$y=m+\frac 1m\ge 2$。 第二题，考虑处理这个东西。 我们理想的结果是 $k(2m+1)+\frac b{2m+1}$。 于是得到了经典的换元法。 设 $2m+1=k$， 得 $m=\frac{k-1}2$，代入得 $y=\frac{\frac 14k^2-\frac 12 k+\frac 54}k=\frac 14 k+\frac 5{4k}-\frac 12\ge\frac {\sqrt 5-1}2$。 第三题，取倒数即可，$y=\frac 1{m+3+\frac 4m}\le \frac 17$。 第四题，取倒数再消元。 $$ 2m+1\to n,m=\frac {n-1}2\\ y=\frac 1{\frac{n^2-2n+1+4n-4+7}{n}}=\frac1{n+2+\frac 4n }\\ \begin{cases} n>0\qquad n+2+\frac 4n\ge 6\to 0\le y\le \frac 16\\ n<0\qquad (-n)+(-\frac 4n)\ge 4\to n+2+\frac 4n\le -2\to \frac 1y\le-2\to1\ge -2y\to -0.5\le y\lt 0\\ n=0\qquad y=0 \end{cases}\\ \to \text{answer}=\frac 16 $$ 第五六题就是多一步分离常数。 $$ \begin{aligned} (5)\quad y&=1+\frac m{m^2+1}\\ &=1+\frac 1{m+\frac 1m}\\ &\because m+\frac 1m\ge2\\ &\therefore 0<\frac 1{m+\frac 1m}\le \frac 12\\ &\therefore 1 1. 直接使用基本不等式（显然两项均非负） > $2x^2+3y^2\ge2\sqrt{6x^2y^2}=2\sqrt 6$。 > 2. 注意到 $a,b$ 给了为正的条件， > 考虑两项乘积可做。 > $1=\frac 1a+\frac 2b\ge 2\sqrt {\frac 2{ab}}\to\sqrt{\frac 2{ab}}\le \frac 12\to ab\ge 8$。 > 3. 考虑乘积非负，这是一个很恶心但能做的条件。 > 然后发现两项均正。 > 考虑导进去 $\sqrt{ab}\ge 2\sqrt {\frac 2{ab}}\to ab\ge 2\sqrt 2$。 ###### Subtask 1.2  > 只需搞中间项即可。 > $\Delta_1=\frac{(a-b)^2}2\ge 0$。 > $\Delta_2=\Delta_1\ge 0$。 > ~~貌似并不需要基本不等式。~~ > > 如果你把它展开： > $2a^2+2b^2\ge a^2+b^2+2ab\ge 4ab$。 > 这个就变成了均为四项齐次。 > 根据哲学理解系数集中或者加减之后基本不等式可做。 > > 对于指数集中来说要求项数相同。 > 于是我们可以数项数再进行考虑。 ###### Subtask 1.3  > 有问题是一定有问题的。 > 显然最小值得是 $1$。 > 考虑“均值不等式取等”不等同于“函数取最小值”。 > 因为现在搞出来的东西是个变量。 > 这只能说明他在这个点和原函数重合（可以看看飘带函数）。 > > 『$2x$ 在不取等的时候和 $2$ 没有任何关系。』 > > ~~阿布忘了的口诀：~~一正二定三相等。 > 这个就是三个注意事项。 > 首先得是正的（起码非负）。 > 然后求出来得是定值（要不不能用）。 > 接着记得判取等条件。 > > 注意每一步操作要保证正确。 > 显然不满足 $\forall x\in R,2x=2$。 > 所以这步放缩就不成立。 ###### Subtask 1.4  > 1. 裸对勾，显然 $x=2$，不在赘述。 > 2. 忽略常数还是裸对勾。 > $-3x-\frac 4x$ 这部分发现只能先符号取反处理。 > $3x+\frac 4x\ge4\sqrt 3$，则答案为 $2-3x-\frac 4x\le 2-4\sqrt3$。 > 3. $x>1$ 实际上保证了两项非负。 > 但我们发现这个 $x-1$ 乘不下去。 > 考虑补一个常量还是简单的。 > $x+\frac 1{x-1}=1+(x-1+\frac 1{x-1})\ge 3$。 ###### Subtask 1.5  > 这两个其实是小奥问题。 > 我们来从不等式的角度抽象一下。 > > 1. $ab=100\to2a+2b=2(a+b)\ge 4\sqrt {ab}=40$，取等条件 $a=b=10$。g > 2. $a+b=18\ge 2\sqrt {ab}\to ab\le 81$，取等 $a=b=9$。 ###### Subtask 1.6  > 考虑发现不行还是做差。 > $\Delta_1=\frac {2ab-a\sqrt {ab}-b\sqrt {ab}}{a+b}=\frac{-\sqrt{ab}(a+b-2\sqrt{ab})}{a+b}\le 0$。 > $\Delta_2=1+1+\frac ab+\frac ba-4=\frac{(a-b)^2}{ab}\ge0$。 > $\Delta_3=\frac{1-\sqrt{8ab}+a\sqrt{ab}+b\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}$…… > > 如果你的因式分解功力逆天的话，你可以选择： > $$ > \begin{aligned} > \Delta_3 > &=\frac{1-\sqrt{8ab}+a\sqrt{ab}+b\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}\\ > &=\frac{(a^{\frac 34}b^{\frac 14}-a^{\frac 14}b^{\frac 34})^2+2ab-\sqrt{8ab}+1}{\sqrt{ab}}\\ > &=\frac{(a^{\frac 34}b^{\frac 14}-a^{\frac 14}b^{\frac 34})^2+(\sqrt{2ab}-1)^2}{\sqrt{ab}}\ge 0\\ > \end{aligned} > $$ > 然而这有点过于逆天了。 > 考虑直接做。 > $a+b+\frac 1{\sqrt{ab}}\ge2\sqrt{ab}+\frac1{\sqrt{ab}}\ge2\sqrt 2$。 > 如果你仔细观察一下，他们其实本质相同。 > 不过是用不等式还是用完全平方罢了。 > > 我们看一下取等条件， > 一二都显然我们不论。 > 对于三我们有 $a=b=\frac{\sqrt 2}2$。 ###### Subtask 1.7  第一题常见非正解： 考虑 $\sqrt{xy}\le \frac 12,\frac 1x+\frac 1y\ge 2\sqrt{\frac 1{xy}}=\frac{2}{\sqrt{xy}}\ge 4$。 显然当 $x=y=\frac 14$ 时取等。 然而注意到这个东西用了两次均值。 如果你还记得自由度的定义加上题目条件理论自由度 $f^*=-1$ 原方程很可能无解。 只不过他有等价的假条件才把自由度升了上去。 负自由度必须判取等条件，否则容易放缩过度，变成类似 [Subtask 1.3](#Subtask-1.3) 中的情况。 其实对于第一题我们有几个很显然的思路。 - 消元 - 对称/齐次/…… 我们都试一试。 - 直接消元法 $\frac 1x+\frac 1{1-x}=\frac{1-x+x}{x(1-x)}=\frac 1{x(1-x)}=\frac1{-(x^2-x+\frac 14-\frac 14)}=\frac1{\frac 14-(x-\frac 12)^2}$…… 首先分母肯定非负，最小值就是让分母最大。 不难想到 $x=\frac 12\to ans=4$。 - 这个东西是一个齐 $-1$ 次式，想把它变成齐零次自然想到乘数。 $\frac 1x+\frac 1y=2+\frac xy+\frac yx\ge4$。 第二题，考虑同样的方法。 - 直接消元法 $x+2y=xy\to x=\frac{2y}{y-1}\to x+2y=\frac{2y^2}{y-1}$。 显然有 $y-1>0$。 然而这并不好做。 - 齐次相乘法 考虑相乘化零次。 $x+2y=2+2+\frac{4y}x+\frac xy\ge 8$。 第三题，发现他中间并非齐次。 考虑直接展开。 $S=\frac{2xy+x+2y+1}{\sqrt{xy}}=2\sqrt{xy}+\frac{6}{\sqrt{xy}}\ge2\sqrt{12}=4\sqrt 3$。 取等要求：$\begin{cases}x+2y=5\\xy=3\end{cases}$ 取等。 $x=5-2y\to -2y^2+5y-3=0\to(2y-3)(-y+1)=0\to y=1.5/1\to \begin{cases}x_1=2\\y_1=1.5\end{cases} \begin{cases}x_2=3\\y_1=1\end{cases}$。 然而这题有一个玄妙的错解： 直接均值得到 $S\ge 4\sqrt 2$。 然而你发现并没有用到题目条件就得到了答案， 考虑取等条件 $x=1,y=0.5$ 并不满足题目条件。 这就是一个负自由度导致过度放缩的例子。 第四题依旧齐次。 然而发现他次数不太对。 考虑乘 $\sqrt{xy}$，$S=\frac {\sqrt y}{2\sqrt x}+\frac {\sqrt x}{2\sqrt y}+\frac{8\sqrt{xy}}{x+y}$。 这个可能没什么好想法。 一次均值好像不太行。 那只能暴力的想，$\frac {\sqrt y}{2\sqrt x}+\frac {\sqrt x}{2\sqrt y}\ge 1,x+y\ge 2\sqrt{xy}$。 可直接代入符号就错了。 那就回归基本：通分。 $S=\frac{y(x+y)+x(x+y)+16xy}{2xy(x+y)}=\frac{x^2+18xy+y^2}{2xy(x+y)}$ 我们将下面的 $xy$ 替换。 $S=\frac{x^2+18xy+y^2}{2(x+y)}$ 然后考虑这个东西可以拆项跑基本不等式。 $S=\frac{16+(x+y)^2}{2(x+y)}=\frac 8{x+y}+\frac{x+y}2\ge4$。 取等条件 $x+y=4,xy=1\to y^2-4y+1=0\to y_{1,2}=2\pm\sqrt 3$。 总之是对的。 ###### Subtask 1.8  第一题其实很简单。 $a/2+b/2\ge \sqrt {ab},a/2+c/2\ge \sqrt{ac},b/2+c/2\ge \sqrt{bc}$，累加即可，取等显然。 第二题同理，三个均值一乘就行。 ###### Subtask 1.9  这题看着相当难。 然而简单转化一下，$S=3^{2x}+3^y\ge 2\sqrt 9=6$。  这个就很简单了，直接降次，基础题。 $S=1+4+2\frac ba+2\frac ab\ge 9$。  这个初看没有性质。 我们唯一有的就是一个齐一次的结果。 考虑构造已知的齐负一次。 显然得到 $\frac 1a+\frac 2b=1$。 这个也是经典 trick 了，在 1.1.3.2 第四题也会用到。 直接相乘，$S=1+4+2\frac ab+2\frac ba\ge 9$。 ###### Subtask 1.10 是时候拿头图开刀了。 搬一下图。  第一题已经在 [Subtask 1.7](#Subtask-1.7) 解决了。 考虑第二题，直接通分得到 $\frac{a^2+2ab+2b^2}{a^2+3ab+2b^2}=1-\frac{ab}{a^2+3ab+2b^2}=1-\frac 1{\frac ab+3+2\frac ba}$。 分母最小 $3+2\sqrt 2$，得到最小值即为 $1-\frac 1{3+2\sqrt 2}=1-(3-2\sqrt 2)=2\sqrt 2-2$。 第三题考虑直接消元，$\frac 1{2x}+\frac x{2-x}\ge \frac {2x^2-x+2}{4x-2x^2}$。 又是经典的有理函数。 世上无难事，只怕有肝人。 $$ \begin{aligned} S&=\frac {2x^2-x+2}{4x-2x^2}\\ &=-1+\frac {3x+2}{4x-2x^2}\\ &=-1+\frac 1{\frac {4x-2x^2}{3x+2}}\\ y&=3x+2\to x=\frac{y-2}3\\ S&=-1+\frac 1{\frac 43-\frac8{3y}-\frac 29(y-4+\frac 4y)}\\ &=-1+\frac 1{\frac {20}9-\frac 29 y-\frac {32}{9y}}\\ &\ge-1+\frac 1{\frac {20}9-\frac{16}9}\\ &=1.25 \end{aligned} $$ 当然，如果你一步一步这样做下来了， 那兄弟你真不是一般人。 考虑我们第二题是齐次式。 不用奇技淫巧随便通分就是下面的 [Link](#1.1.3.3-齐次式解题)。 但如果你扫一眼也能发现，那个甚至在没有好性质的时候更慢。 有一种技巧性更强的方法：分母换元。 注意到目前分母都是一次式，自然可以进行换元（这个通分之后貌似就不能用了）。 两个唐氏一次式，换完元暴力相除就可以直接对勾。 这个适应性汗颜，但不得不说是真的快。 $\begin{cases}m=a+2b\\ n=a+b\end{cases}\to\begin{cases}a=2n-m\\b=m-n\end{cases}\to2\frac nm-1+\frac mn-1\ge 2\sqrt 2-2$。 第三题，依旧奇技淫巧。 不齐次？消元？ 显然，发现可以将一代入强转齐次。 $S=\frac{x+y}{2x}+\frac{x}{x+2y}$。 还是汗颜的换元， $\begin{cases}A=2x\\ B=x+2y\end{cases}\to\begin{cases}x=\frac A2\\y=\frac B2-\frac A4\end{cases}\to S=\frac 14+\frac B{2A}+\frac A{2B}\ge 1.25$。 ##### 1.1.3.2 对称式解题  对称没有别的，就是换元。 第一题，考虑利用基本不等式。 $a+b=ab-3\ge 2\sqrt{ab}$。 两侧非负直接平方，令 $x=ab$。 $x^2-6x+9\ge 4x\to x^2-10x+9\ge 0\to (x-1)(x-9)\ge 0$。 首先要求一手 $x\gt 3$。 可得 $ab\in\set{x\mid x\ge 9}$，当 $a=b=3$ 时取等。 > 基本思路：换元建立联系，用基本不等式列式求解。 > 本质上由于基本不等式是对称的。 第二题，考虑用换元 $\begin{cases} a+b=x\\ ab=y \end{cases}$（以后默认）。 $x^2-y=3\to y=x^2-3\to x\ge 2\sqrt{x^2-3}$。 要求 $x>\sqrt 3$。 于是平方，求解，$x^2\ge 4x^2-12\to x\le 2$。 综上，取值范围 $(\sqrt 3,2]$。（这个表达在函数部分会讲到） 前面肯定不能取等， 后面考虑 $a=b=1$。 第三题，$x+\frac 1y=3\to x=3-\frac 1y(y>\frac 13)\ge 2\sqrt y$。 去分母，平方，$9y^2-6y+1\ge 4y^3\to 4y^3-9y^2+6y-1\le0$。 猜根 $y=1$，分解得到 $(y-1)(4y^2-5y+1)=(y-1)(y-1)(4y-1)\le 0$。 单解 $y=1$？ 考虑 $a=b=1$，确实是对的。 第四题并非对称。 考虑第一小问直接用下面 [Subtask 1.7](#Subtask-1.7) 的齐次思路。 我们需要一个齐 $-1$ 次式。 考虑前面这个有一个经典 trick $\frac 1a+\frac 1b=1$，直接相乘降次。 $S=1+2+\frac ab+\frac{2b}a\ge 3+2\sqrt 2$。 或者实在不行直接消元试试。 考虑，$a=\frac b{b-1}\to a+2b=\frac{2b^2-b}{b-1}$。 用对勾函数一般处理方法换元 $b=c+1$。 $y=\frac{2c^2+4c+2-c-1}c=2c+3+\frac 1c\ge3+2\sqrt 2$。 第二小问，考虑直接代入得到 $c=\frac{ab}{ab-1}$。 容易得到，$ab\ge 2\sqrt{ab}$，换元平方 $x^2\ge 4x$，易得 $x\ge 4$。 因为上下均有未知数不好处理考虑分离常数 $c=1+\frac 1{ab-1}$。 $ab-1\ge 3\to 0\lt\frac 1{ab-1}\le \frac 13\to 1\lt c\le \frac 43$。 ##### 1.1.3.3 齐次式解题  观察这几道题： 第一题显然可以对称直接做。 一手换元 $x^2-3y=1,S=x^2-2y=1+y$。 显然有 $y=\frac{x^2-1}3$，用基本不等式一带，$x\ge 2\sqrt{y}\to x^2\ge \frac 43x^2-\frac 43\to x\le 2\to y\le 1\to S\le 2$。 或者回顾经典的 [Subtask 1.7](#Subtask-1.7)，再看到 $1$ 不难得到直接除的想法。 然后，二次除二次，但由于这是一个二元问题，所以和上面的 [Sample 对勾函数](#Sample) 并不相同。 第一题直接除，$\frac{a^2+b^2}{a^2-ab+b^2}$。 不难想到分离常数，$1+\frac{ab}{a^2-ab+b^2}$。 这个容易想到取倒数相除，$1+\frac 1{\frac ab+\frac ba-1}$。 考虑 $\frac ab+\frac ba\ge 2$，所以 $0<\frac 1{\frac ab+\frac ba-1}\le 1$。 故最大值为 $2$。 ~~貌似就是对勾函数的方法。~~ 或者更一般地，我们可以进行转化。 比如通过上下同除 $b^2$ 进行“抹平”，然后用一个比值换元转化成为有理函数的纯对勾形式即可。 第二题，同理，这个我们单纯分离常数已经达不到有一个很好的单项化目的。 我们采取刚才所说的方法，以下统一设 $\alpha=\frac ab,\beta=\frac 1\alpha=\frac ba$ 。 $$ \begin{aligned} S&=\frac{a^2+2b^2}{a^2-ab+b^2}\\ \text{Try to divide } a^2.&\\ S&=\frac{2\beta^2+1}{\beta^2-\beta+1}\\ &=2+\frac{2\beta-1}{\beta^2-\beta+1}\\ \theta&=2\beta-1\to\beta=\frac{\theta+1}2\\ &\text{If theta=0,then S=2.}\\ S&=2+\frac 1{\frac{\frac 14\theta^2+\frac 12\theta+\frac 14-\frac 12\theta-\frac 12+1}{\theta}}\\ &=2+\frac 1{\frac 14\theta+\frac 3{4\theta}}\\ &\text{Obviously,the function will get maximum when }\theta>0.\\ &\because \frac 14\theta+\frac 3{4\theta}\ge\frac {\sqrt 3}2\\ &\therefore S\le\frac{6+2 \sqrt 3}{3}\\ \text{Try to divide } b^2.&\\ S&=\frac{\alpha^2+2}{\alpha^2-\alpha+1}\\ &=1+\frac{\alpha+1}{\alpha^2-\alpha+1}\\ \theta&=\alpha+1\\ S&=1+\frac 1{\theta-2+\frac 1\theta-1+\frac 1\theta+\frac 1\theta}\\ &=1+\frac1{\theta+\frac 3\theta-3}\\ &\because \theta+\frac 3\theta\ge 2\sqrt 3\\ &\therefore 0<\frac1{\theta+\frac 3\theta-3}\le\frac 1{2\sqrt 3-3}=\frac {2\sqrt 3+3}3\\ &\therefore S\le\frac{6+2 \sqrt 3}{3}\\ \end{aligned} $$ 可以发现，两种都能算出来，但显然第二种较简单。 原因在于第二种的 $\theta$ 我们知道正负。 题解中给了一种更快的方法。 $$ \begin{aligned} \frac 1S &=\frac{a^2-ab+b^2}{a^2+2b^2}\\ &=\frac{\alpha^2-\alpha+1}{\alpha^2+2}\\ &=1-\frac{\alpha+1}{\alpha^2+2}\\ &=1-\frac 1{\theta-2+\frac 1\theta+\frac 2\theta}\\ &=1-\frac 1{\theta+\frac 3\theta-2}\\ &\because \theta+\frac 3\theta-2\ge 2\sqrt 3-2\\ &\therefore -\frac 1{2\sqrt 3-2}\le-\frac 1{\theta+\frac 3\theta-2}\lt0\\ &\therefore \frac{2\sqrt 3-3}{2\sqrt 3-2}\le\frac 1S<1\\ &\therefore 1 注意到有一个性质特殊的 $-10ac+25c^2$ 且有负项，同时独立性非常强。 > 如果你试着对于上式进行进一步处理也会发现负项确实不可做。 > 综上不难想到对此项进行配方。 > > $S=a^2+\frac 1{ab}+\frac1{a(a-b)}+(a-5c)^2$。 > 参见 [Subtask 1.5](#Subtask-1.5) 配凑法。 > 考虑 $S\ge4+(a-5c)^2\ge 4$。 > > 考虑取等。 > $\begin{cases}a=5c\\(ab)^2=1\\(a^2-ab)^2=1\end{cases}\to a=2b=5c=\sqrt 2$ ### 1.2 函数 #### 1.2.1 概念 ##### 1.2.1.1 函数 对于实变量之间的对应关系，或者在实数集上定义的映射。 类似哈希映射的特点，有： - 同一个数对应的数一定唯一。 - 不同的数可以映射到相同的数。 一些名词解释： 自变量：传入参数，变量 $x$。 因变量：函数返回值。 对应关系：就是这个映射的“方法”。 定义域：自变量的取值范围。 值域：因变量的取值范围。 > 显然给定了定义域和对应关系就能求得值域。 > 有些函数不特殊标出定义域。 > 默认取自然定义域。 > > 比如 $f(x)=-x^2+2x-18\to \R$。 > $g(x)=\sqrt x\to [0,+\infty)$ > $h(x)=x^2+3x+\frac 3 x\to (-\infty,0)\cup(0,+\infty)$ 或者，想象一个二分图，从左部点向右部点连单向边。 满足每一个左部点出度恰为一，右部点入度至少为一。 左部点代表自变量，右部点代表因变量，边集 $E$ 即为对应关系。 那定义域就为 $V_l$，值域即为 $V_r$。 ##### 1.2.1.2 区间 对于区间 $\set{x\mid a\le x\le b}$ 记作 $[a,b]$。 取等用中括号，不取等用小括号。 例如： $[1,2]=\set{x|1\le x\le 2}$。 $(3,4]=\set{x|3 自变量：传入参数，变量 $x$。 > 因变量：函数返回值。 > 对应关系：就是这个映射的“方法”。 > 定义域：自变量的取值范围。 > 值域：因变量的取值范围。 好像没有什么变化。 然而，注意，定义域是自变量的取值，即 $x$ 的范围。 满足在此范围内的 $x$ 传入函数合法。 容易发现，对于 $f(x)$ 的定义域，其等价于函数接受的数的集合。 我们常见的表述有三种。 - 函数 $f$ 的定义域 等同于 $f(x)$ 的定义域。 - $f(x)$ 的定义域 $x$ 的合法取值，等于原函数 $f$ 所接受的数的范围。 - $f(x+2)/f(5x-3)/f(\dots)$ 的定义域 再看一眼自变量的定义，不难发现问题：传入参数好像并非变量 $x$。 **注意！$f(x+2)$ 已经与 $f(x)$ 完全不同！** 我们能赋值的永远只有一个 $x$，也就是自变量。 这个东西其实属于我们说的复合函数 $f(g(x)),g(x)=x+2$。 对于复合函数同样可以定义定义域。 > 复合函数定义域： > 对于一个复合函数 $a(b(c(\dots f(x)\dots)))$ 来说，首先，由外到内按层拆分，要求内部值域满足最外层定义域。 > 然后在对给定的值域求出对应的定义域。 至此题目已经显然。 函数 $f(x)$ 的定义域是 $[-3,2]$，考虑对于 $g(x)=2x-1$ 值域是 $[-3,2]$ 时定义域是多少。 显然 $-3\le2x-1\le2\to -2\le2x\le3\to -1\le x\le1.5\to [-1,1.5]$。 对于第二题，$g(x)=x+2$ 对应定义域是 $[-3,2]$ 则其值域为 $[-1,4]$， 换言之，$f$ 的定义域是 $[-1,4]$。 进一步，$h(x)=2x-1$ 的值域是 $[-1,4]$。 解一下，$-1\le2x-1\le4\to[0,2.5]$。  考虑对于两个函数 $g(x)=x+a,h(x)=x-a$，要求满足 $g(x)$ 在值域为 $[0,1]$ 时的定义域和 $h(x)$ 在值域为 $[0,1]$ 时的定义域有交。 我们把这两个集合算出来，分别是 $[-a,-a+1]$ 和 $[a,a+1]$。 两端区间，长度为一，有交可以直接用两个左端点差值绝对值小于等于一来算。 即 $-1\le 2a\le 1$，答案选 B。 ###### 判断是否函数  这个主要看有无一个 $x$ 映射到多个 $y$（上文限制第一点）。 显然 ACD。 ###### 判断函数是否相同  当且仅当定义域相同且对应关系相同。 简单扫一眼 ABC。 D 选项定义域少了 $-1$。  (1) 完全就不对，$y=\abs{x}$。 (2) 正确。 (3) 收紧了定义域，错误。 (4) 同上。 ###### 函数比较和最值的关系 - $\forall x\in D,f(x)a\iff f_\min>a$ - $\exists x\in D,f(x)a\iff f_\max >a$  扩展的，对于第一个等价于 $f_\max\le g_\min$，第二个等价于 $f_\min\ge g_\min$。  前一个即 $[f(x)-g(x)]_\max\le 0$，后一个即 $f$ 的值域是 $g$ 的值域的子集。 ##### test ###### Subtask 1.1  如图。 ###### Subtask 1.2  1. 考虑 $0\le x+1\le 1\to [-1,0]$。 2. 考虑 $0\le x\le 1\to [1,2]$。 3. 考虑 $-1\le x\le 3\to[-3,5]$。 4. 考虑 $x+1\in \R\iff x\in \R$，值域显然不变。 5. 同理，$\R,[0,1]$。 6. $0\le x-1\le 1\to [1,2]$。 值域显然 $[2,3]$。 ###### Subtask 1.3  第一个反例很好找，$f(x)=x,g(x)=x-1$。 第二个显然不可能，定义域和对应关系必然决定值域。 ###### Subtask 1.4  一个简单的画图题。 第一题，$(0,\frac 13)$。 第二题，$[-\frac12,0)\cup(\frac 13,+\infty)$。 ###### Subtask 1.5  求值域，同上。 考虑进行分离常数操作，$f(x)=2-\frac 5{x+1}$。 大概想一下，它应该是一个两半枝单增，对称中心 $(2,-1)$ 的反比例。 那显然了，$[-0.5,2)$。  同理。 $g(x)=\frac 12-\frac 3{2x-1}$，考虑中心 $(0.5,0.5)$ 的负值反比例，直接 $(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。 $h(x)=-1.5-\frac {2.5}{2x-3}$，中心 $(1.5,-1.5)$，$(-\frac 73,-1.5)$。 ###### Subtask 2.1  套壳基本不等式水题，$f(x)=x+\frac 3x+2$，最低点在 $\sqrt 3$ 取到，易得 $[5.5,+\infty)$。 ###### Subtask 2.2  依旧水题。 简单换元，$f(x)=(t^2-2t+1+4t-4+6)/t=t+3/t+2,t\in[1,2]$。 考虑能取到最小值 $2+2\sqrt 3$。 最大值考虑左 $6$ 右 $5.5$，最终得到 $[2+2\sqrt 3,6]$。 第二题，同理。 $f(x)=\frac 1{t+3/t+2},t\in[1,2]$。 考虑最大值在 $\sqrt 3$ 取到，得到最大 $\frac{\sqrt 3-1}4$。 最小值即为 $\frac 16$，综上 $[\frac 16,\frac{\sqrt 3-1}4]$  同上进行换元。 考虑 $y=x-1\to x=y+1\to S=\frac y{y^2+y+4}=\frac 1{1+y+\frac 4y},y\in(-1,0)$。 注意到只考虑下部的话，就是一个左半支的对勾。 然而取不到最高点 $y=-2$，那显然最低点趋于 $-\infty$，最高点就是 $f(-1)=1+-1-4=-4$。 取了倒数变成 $(-\frac 14,0)$。  这个相信已经不难了。 分离常数 $S=2+\frac{x+1}{x^2+4x+6}\to [\frac{13}6,\frac {\sqrt 3+3}4]$。 ###### Subtask 2.3  第一题，考虑直接换元，$f(x)=2-\frac 5y,y\in(2,4)$。 原函数是具有单调性的。 直接代数，$f(2)=-0.5,f(4)=0.75$。 答案即为 $(-0.5,0.75)$。 第二题，二次比一次板子。 换元，$G(y)=y-\frac2y,y\in(1,2]$。 由于飘带函数单调性直接代数即可，$(-1,1]$ 第三题，分离常数得到 $h(x)=1+\frac 1{x+\frac 2x-1}$。 考虑分母的取值是 $[2\sqrt2-1,2)$。 取完倒数变成 $(\frac 12,\frac{2\sqrt 2+1}7]$。 最终结果即为 $(\frac 32,\frac{2\sqrt 2+8}7]$。 第四题，一手换元，$y=x^2\to P(y)=\frac {y+3}{y-1}=1+\frac4{y-1},y\in(0,1)\to(-\infty,-3)$。 ##### 1.2.1.4 函数性质 ###### 单调性 初中我们已经对此有所了解。  明确几点： - 注意其给出的定义，“函数在区间上单调递增”，限定了仅接受连续区间。 - 不含等。 - $D\subseteq I$，注意看定义域。 一些补充概念： 单增（单减）区间：上文中的 $D$。 区间 $D$ 内的最大值点：如果对于 $x_0\in D$，满足 $\forall x\in D,f(x)\le f(x_0)$，则称 $x_0$ 为函数 $f(x)$ 在区间 $D$ 内的最大值点。 最大值点可以有多个，最小值点同理。 比如说：  本身其实很简单。 $f(x)=\frac 1x$ 在 $(-\infty,0),(0,+\infty)$ 上单调递增。 $g(x)=x+\frac 1x$ 在 $(-\infty,-1),(1,+\infty)$ 上单调递增，在 $(-1,0),(0,1)$ 上单调递减。 然而我们不免有几个疑问。 - Q1：第一问能写成 $\R$ 吗？ 违背上述性质 3 和定义。 - Q2：那改成 $(-\infty,0)\cup (0,+\infty)$ 呢？ 违背定义和性质 1。 - Q3：第二问单增为什么不能用并集符号？ 违背性质 1。 - Q4：区间能取等吗？ 首先要满足端点 $x\in I$， 其余的单点一般不影响，故可以取等。（也存在特殊情况） 一般建议不要取等。  基本不等式符号算的多的第一题应该不难。 第一题，单增，$(-0.5,+\infty)$。 第二题，两根 $x_1=-3,x_2=5$，对称轴 $x=1$，不难得到在 $(-3,1)$ 单增，在 $(1,5)$ 单减。  考虑最简单的还是图像。 A 选项，对称轴 $x=2$ 开口向上符合条件。 B 选项，符合条件。 C 选项，单调递增，不符合条件。 D 选项，分离常数，$y=2-\frac 1{x-1}$。 考虑就是一个对称中心 $(1,2)$ 的反比例，两段单增直接排除。  考虑开口向上，等价于 $-\frac a2\le 3\to a\ge -6\to [-6,+\infty)$。  简单想一下不难想到限制：$2a-1<0,a>0,2a-1+a\ge-a\to[0.25,0.5)$。  显然，要求 $a-1>0,3-a\ge a,\frac a2\le 1\to (1,\frac 32]$。  第一小问，设 $0f(x_2)$，由此得证。  同理，直接用 $x_10$ 即 $f(x_1)>f(x_2)$，减函数。 第二小问类似，只不过此时 $x_1x_2-1>0$，得到 $f(x_1)0,a-1\ge 0,1-\frac a2\ge 0\to[1,2]$。 ###### 奇偶性 > 从图像来说，关于 $y$ 轴对称的函数为偶函数，关于原点对称的函数为奇函数。 > > 形式化的说，如果一个函数 $f(x)$ 满足 $\forall x\in D,-x\in D$，同时， > > - 有 $f(x)=f(-x)$，称此函数为偶函数。 > - 有 $f(x)+f(-x)=0$，称此函数为奇函数。 > > 显然也存在非奇非偶函数和即奇又偶函数。  第一题，非奇非偶，已经从大前提被排除掉了。 第二题，显然定义域 ${-1,1}$，符合大前提。 考虑 $f(1)=f(-1)=0$，即奇又偶函数。 第三题，要求定义域为 $(1+x)(x-1)\le 0,x\neq 1\to[-1,1)$ 非奇非偶函数。 第四题，考虑 $x^2-1>0\to (-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$。 考虑对于 $f(-x)(x>1)=f(x)$ 从而为偶函数。 这里给出一些常见的积函数和偶函数。 - 奇函数：$f(x)=x^{2k+1},k\in Z,g(x)=ax+\frac bx$。 - 偶函数：$f(x)=\abs{x},f(x)=x^{2k},k\in Z$。 运算法则： | | 奇函数 | 偶函数 | | :------: | :------: | :------: | | 加奇函数 | 奇函数 | 非奇非偶 | | 乘奇函数 | 偶函数 | 奇函数 | | 加偶函数 | 非奇非偶 | 偶函数 | | 乘偶函数 | 奇函数 | 偶函数 | 特殊性质：对于一个对于 $x=0$ 有定义的奇函数 $f(x)$，一定有 $f(0)=0$。 > 考虑 $f(0)+f(-0)=2f(0)=0$。  朴素做法： 直接展开得到 $9x^3+-9ax^2-x+a=0\to a=0$。 优化做法： 直接 $f(0)=a=0$。 其实是只考虑常数项的非严谨做法。 发现朴素做法还是有一定实用性的。 然而：  发现朴素做法实在过于朴素，无法通过。 考虑直接从本身入手。 第一题，考虑 $(3ax^2-\frac 2x-x^2)^5=-(3ax^2+\frac 2x-x^2)^5\to6ax^2-2x^2=0\to a=\frac 13$。 第二题，考虑 $b=0,a-6+2a=0\to a+b=2$。 第三题，$-f(-x)=\frac x{(-x-1)(-3x+a)}=f(x)\to (x-1)(3x+a)=(x+1)(3x-a)\to 3-a=a-3\to a=3$。 或者，根据定义域卡，$a+(-3)=0\to a=3$。  这题看着很抽象。。。 第一问显然直接 $f(-1)=-f(1)=-4$。 第二问也不难。 $f(-x)=-f(x)=-x^2-\frac 1x-2$。 简单换个元 $f(x)(x<0)=-x^2+\frac 1x-2$。 直接分段，$f(x)=\begin{cases}x^2+\frac 1x+2\qquad (x>0)\\0\qquad (x=0)\\-x^2+\frac 1x-2\qquad (x<0)\end{cases}$。 还可以更简单，直接设 $x<0$，$f(x)=-f(-x)$，带就完了。  这题不会建议回看 [这一章最后一题](#给定关系求函数)。 直接列式：$f(x)+g(x)=\frac 1{x-1},f(-x)+g(-x)=f(x)-g(x)=-\frac1{x+1}$。 不难得到： $$ \begin{cases} f(x)=(\frac 1{x-1}-\frac 1{x+1})/2=\frac 1{x^2-1}\\ g(x)=(\frac 1{x-1}+\frac 1{x+1})/2=\frac x{x^2-1}\\ \end{cases} $$  第一题，这个难以直接看出来，验了定义域对称。 考虑 $f(-x)=-f(x)$ 为奇函数。 第二题，$1-x\ge 0,x-1\ge 0\to x=1$ 直接非奇非偶。 第三题比较抽象，还是从定义入手。 $h(-x)=-xf(x^2)+x^2g(-x)=-(xf(x^2)+x^2g(x))=-h(x)$，奇函数。  考虑这个直接做。 $-f(-x)=(x-a-1)(x^2+a-1)=f(x)\to x+a+1=x-a-1\to a=-1$。 然而这个第一个箭头还是有点没底，貌似也行。 我们可以用一手 $f(0)=0\to (a+1)(a-1)=0$。 这里注意：$f(0)=0$ 只是必要条件，并不充分！ 验得 $a=1\to f(x)=x^3+2x^2\to \times\\a=-1\to f(x)=x^3-2x\to \checkmark$。 综上选 D。 ###### 对称性 考虑对于朴素的奇偶性进行扩展。 - 关于 $x=k$ 对称，满足定义域对称+$\begin{cases}f(k+a)=f(k-a)\\f(x)=f(2k-x)\end{cases}$（两种常用形式）。 - 关于 $(a,b)$ 对称，满足定义域对称+$\begin{cases}f(k+a)+f(k-a)=2b\\f(x)+f(2k-x)=2b\end{cases}$。 然而事实上更常用的形式是： - $\forall x_1+x_2=2a,f(x_1)=f(x_2)\to$ 对称轴 $x=a$。 - $\forall x_1+x_2=2a,f(x_1)+f(x_2)=2b\to$ 对称中心 $(a,b)$。 口诀：定中时，等高轴，和定心。（横坐标中点确定时，函数值相等是轴对称，否则如果和为定值就是中心对称）  定中时，等高轴，选 B。  和定心，选 C。  考虑直接想，$\forall x\in D, f(x+2)=-f(-x+2)$，和定心，对称中心 $(2,0)$。  等高轴，$x=1$。 显然 $f(-2)=f(4)$。 故有 $f(-2)=f(4)=0$。 根据增减性可得他是一个类似二函的图像，两个零点是 $-2$ 和 $4$，如图所示。  那就很显然了，$(-1,0)\cup (5,+\infty)$。  一眼分离常数法，$f(x)=2+\frac{2022x^2+3x}{x^2+3}$，奇乘除偶均为奇函数。 我们设这个奇函数为 $g(x)$。 显然 $f(x)=2+g(x),f(-x)=2-g(x)$，和定心，对称中心 $(0,2)$。 那显然就有了 $f(-a)=4-14=-10$。  第一题，增函数，等价于 $3x-1>x+5$，定义域 $\R$ 没有顾虑了，直接 $(3,+\infty)$。 第二题，$2m^2+m+2m-2=(2m-1)(m+2)\le 0\to [-2,0.5]$。 或者更形式化的，用 $f(2m^2+m)\ge f(2-2m)\to 2m^2+m\le 2-2m$。 第三题，等价于 $4x^2-4x+1>x^2-4x+4\to (-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$。 ##### test ###### Subtask 1.1  考虑第一问，$f(1)=f(0)+f(1)\to f(0)=0$。 考虑第二问，$f(x)+f(-x)=f(0)=0$。 考虑第三问，在 $x_10\to f(x_2)>f(x_1)$ 进而得证。 在上述限制下，求解 $m$ 的取值范围：  第一题，$m^2-2m-3>0\to (m-3)(m+1)>0\to (-\infty,-1)\cup(3,+\infty)$。 第二题，$m^2-2m-3>0$，同上。 第三题，显然 $4m-2m^2\le 2\iff m^2-2m+1\ge 0$。  考虑左侧即为 $f((m-1)x^2+2x-3)>0$，只需证 $(m-1)x^2+2x-3>0$。 - $m-1\le 0$ 无解。 - $m-1=0\to 2x-3\ge 1>0$ 保留。 - $m-1>0\to m>1$ 显然有 $\Delta>0$。 考虑两个根都小于 $2$，只需使得 $-\frac b{2a}<2$ 即 $-\frac1 {m-1}<2$，这一点显然恒成立。 同时要求 $f(2)=4m-3>0\to m>0.75$。 综上，$[1,+\infty)$。 或者我们可以直接参变分离。 考虑 $m>\frac 3{x^2}-\frac 2x+1$。 分式不好做直接令 $t=\frac 1x\to 3t^2-2t+1,t\in(0,\frac 12]$。 考虑最低点在对称轴 $x=\frac13$ 取到，最大值则是在 $0$。 代入得到 $1$，由于 $0$ 不取等所以我们最终得到的同上。  考虑函数没任何用，原式等价于 $(3x_1+\frac 4{x_1})_\min>(x_2^2-mx_2+1)_\min$。 等价于 $(x_2^2-mx_2+1)_\min<4\sqrt 3$。 考虑最小值在 $x=\frac m2$ 取到。 分类讨论。 - $m<0$ 最小值 $f(0)=1$ 保留。 然后发现这个东西直接代入 $x=0$ 那么 $m$ 就可以取全体实数。 直接 $\R$ 就做完了。 我们把题目改成 $[1,2]$。 - $m<0$ 考虑 $f(1)=2-m<4\sqrt 3\to 2-4\sqrt 34$ 最小值 $17-4m<4\sqrt 3\to m>4.25-\sqrt 3$，直接保留。 综上，$[2-4\sqrt 3,+\infty)$。 考虑参变分离，不难得出 $\exists x_2,mx_2>x_2^2+1-4\sqrt 3\to m>(x_2+\frac{1-4\sqrt 3}{x_2})_\min$。 后者是单增的飘带函数，直接代入 $x_2=1$ 得到 $[2-4\sqrt 3,+\infty)$。 ###### Subtask 1.2  考虑到 $x_1>x_2\to x_2^2f(x_1)-x_1^2f(x_2)<0\to g(x)=\frac {f(x)}{x^2}$，即 $g$ 函数单调递减。 注意到，$a=g(1),b=g(2),c=g(-3)\to b0$，也就是说 $g$ 函数定义域为 $(0,+\infty)$，而 $f(x)$ 为偶函数，说明 $c=g(3)\to c1$ 时函数增长越来越快，反之在 $0 关于指数有， > 性质一：$x^{-k}=\frac 1{x^k}$。 > 性质二：$x^{\frac ab}=\sqrt[a]{x^b}(x>0)$。 对于一个函数首先考虑确定定义域。 第一个没有限制，$D=\set{x\mid x\neq 0}$。 第二个，有根号非负限制，定义域 $[0,+\infty)$。 第三个，同理，定义域 $[0,+\infty)$。 第四个，$D=\R$。 首先对于二三图我们已经结束了。 其余的只需考虑奇偶性。 首先由于奇次根号不影响符号不用考虑，只需考虑内部奇偶。 显然一偶四奇，画图显然。  考虑 $m^2-m-1=1\to(m-2)(m+1)=0\to m=2\ 或\ -1$。 考虑到这两个都是轴对称图形所以本题双解。 ##### 1.2.2.2 指数函数 先从一个常见错误计算开始。 $$ \sqrt[6]{(-2)^2}=(-2)^{\frac 26}=(-2)^{\frac 13}=\sqrt[3]{-2}=-\sqrt[3]2 $$ 显然我们如果直接算发现这个符号错了。 或者一个更明确的例子：$\sqrt{x^2}=x^{\frac 22}=x$。 回看分数指数幂的部分，注意到我们的定义仅支持 $x>0$。 所以在实际使用时，最好先提前判断符号进行处理。  第一题，$S=(0.4)^{3\times(-\frac 13)}-1+8+\frac 12=10$。 对于第三项的处理建议先处理成分数指数幂在使用运算律。 第二题，$S=\sqrt[3]{xy^2\cdot x^{\frac 12}y^{-\frac 12}}\cdot\sqrt{xy}=x^{\frac 23\times\frac 13}y^{\frac 23\times\frac 13}\cdot x^{\frac 12}y^{\frac 12}=xy$。 错。 考虑 $x=y=-1$。 问题本质上在于，尽管我们的运算律可以满足： > $(a^b)^c=a^{bc}$ > $(ab)^c=a^cb^c$ > $a^b\cdot a^c=a^{b+c}$ > > 1. 底数为正时对于实数指数幂成立。 > 2. 底数为实数时对于正整数指数幂成立。 > 3. 底数非零时对于整数指数幂成立。 然而，对于负整数的分数指数幂，至少在教材上并没有一个明确的解释或是定义。 因此，我们尽量通过分讨或者转化的方式进行考虑。 比如本题，我们考虑直接分讨换元，如果 $x>0$ 且 $y>0$ 就直接做，否则如果 $x=0$ 直接为零，否则如果双负就直接提符号，可以得出正解。 第三题， $$ \begin{aligned} S&=\sqrt 2+1-1+\frac 23+\sqrt[4]{(\sqrt 3-\sqrt 2)^4}\\ &=\sqrt 2+\frac 23+\sqrt 3-\sqrt 2\\ &=\sqrt 3+\frac 23 \end{aligned} $$ 接下来进入正题。 > 形如 $f(x)=a^x(a>0\ 且\ a\neq 1)$ 的函数为指数函数。 > 负底数的分数指数幂实在过于抽象了我们不去研究。 > 在 $a=1$ 的时候原函数等价于常数函数 $f(x)=1$ 我们也不去考虑。 几个显然的性质： - 定义域 $\R$，值域 $(0,+\infty)$，过定点 $(0,1)$。 - $01$ 时单调递增。 - $a^x$ 与 $(\frac 1a)^x$ 关于 $y$ 轴对称，换言之 $a^x=(\frac 1a)^{-x}$，这个显然。  显然 $(1,4)$。 > 令 $2x-2=0\to x=1\to y=4$。  只需 $a>1,a>0,3a-8\le 1\to (1,3]$。  A 正确，仅需 $g(x)=x^2+4x+3\in \R\to x\in \R$。 接下来考虑值域，$g(x)$ 值域为 $[-1,+\infty)$，同时指数函数是减函数，值域显然正确，B 正确。 $g(x)$ 对称轴为 $x=-2$，右侧 $g$ 单增对应 $f$ 单减，D 正确。 综上，ABD 正确。   如图所示，选 B。 ##### 1.2.2.3 对数函数 如图所示：  定义对于 $a^x=b$ 方程的解 $x=\log_ab$。 显然，当 $a>0\ 且\ a\neq 1,b>0$ 时，由于指数函数的单调性和值域 $(0,+\infty)$，可知其有且只有一个解。 >附注：$e$ 是什么？ >形式化的讲，$e=\lim\limits_{x\to \infty} (1+\frac 1x)^x\approx 2.71828$。 > >也许一本书上的例子很有帮助。 > >> “考虑你有 $10000$ 英镑，存入一家年利率 $5\%$ 的银行，一年之后你能拿到多少钱呢？$10500$ 英镑吗？” >> >> “然而这 $5\%$ 的利率并不是十二个月的最后一天最后一秒产生的，他应该是每一天 $5\%/365$ 的利率产生的，换言之，你应当得到利息的利息。“ >> >> ”那么，如果更经常的更新账户意味着更多的钱，也许你应该每分钟……甚至每秒更新一次你的账户？“ >> >> ”事实上，我们有一个公式 $xe^t$（$x$ 代表本金，$t$ 代表利率）来计算最多能得到的钱。“ > >我们想求的实际上是 $x\lim\limits_{q\to \infty} (1+\frac tq)^q$。 >一个简单的换元得到 $S=x\lim\limits_{n\to \infty} (1+\frac 1n)^{nt}=xe^t$。 >当然这并不严谨，只是一个感性理解。  考虑第一题，$x^2+2x+1=16\to x=3$。 第二题，$4^a=2^{2a}=3\to 2^a=\sqrt 3\to S=\sqrt 3+\frac {\sqrt 3}3=\frac 43 \sqrt 3$。 第三题，等价于 $\log_{\frac12}(\log _2x)=1\to \log _2x=\frac 12\to x=\sqrt 2$。 > 常用公式： > > 1. $\log_a1=0,\log_aa=1$。 > 2. $\log_aa^x=x,a^{\log_ax}=x$。 > 3. $\log_{x^m}y^n=\frac 1m\log_xy^n=\frac nm\log _xy$。 > - 特例一：$m=n\to \log_xy=\log_{x^m}y^m$。 > - 特例二：$x=y\to \log_ab=\large\log_{x^{\log_xa}}x^{\log_xb}=\frac{\log_xb}{\log_xa}$。 > - 特例：$x=b\to \log_ab=\frac1{\log_ba}$。 > 4. $\log_ax+\log_ay=\log _axy,\log_ax-\log_ay=\log_a\frac xy$。 > > 解释一下： > 公式一，任何正数的一次方都等于它本身，任何正数的零次方都为一。 > > 公式二， > 左式：$a$ 的 $x$ 次幂才等于 $a^x$（废话文学 1）。 > 右式：假设 $a$ 的这么多次幂是 $x$，那么 $a$ 的这么多次幂就是 $x$（废话文学 2）。 > > 公式三，考虑将底数开 $k$ 次根号，那么原来 $x$ 次能解决的就得变成 $xk$ 次，所以要把他除下去，真数情况同理。 > 或者 $\Large x^{\log_xy}=y\to x^{n\log_xy}=y^n\to (x^m)^{\frac nm\log _xy}=y^n$ 从而得证。 > 附注：特例二就是所谓的对数换底公式。 > > 公式四，感性理解就是普通意义下的乘法运算就是对数意义下的加法运算。 > 证明考虑 $xy=a^{\log_ax}a^{\log_ay}=a_{\log_ax+\log_ay}$，右式同理。 > > > 我们补充一下”感性理解“： > > 普通意义下的乘法运算就是对数意义下的加法运算（$x^a\cdot x^b=x^{a+b}$）。 > > 普通意义下的除法运算就是对数意义下的减法运算。 > > 普通意义下的乘方运算就是对数意义下的数乘运算（$(x^a)^b=x^{ab}$）。 > > 普通意义下的取对运算就是对数意义下的除法运算（对数换底公式）。 > > > > “感性理解”对数换底公式特例：对数意义下 $a/b$ 等于 对数意义下 $b/a$ 的倒数。  第一题，$S=\log_29+\log_2\frac 89=3$。 第二题，$\log_23=\log_26-1=a-1$。  第一题，$S=\frac{\lg 9\times\lg 4}{\lg 2\times\lg 3}=\log_39\times\log_24=4$。 第二题，$S=(\frac{\lg 9}{\lg 4}+\frac{\lg 3}{\lg 8})(\frac{\lg 2}{\lg 3}+\frac{\lg 2}{\lg 9})=(\frac22+\frac13)(1+\frac12)=2$。  考虑 $S=\lg 2+\lg 5=1$。  $$ \begin{aligned} S&=2+\ln 2-\ln 2-\frac 12-\frac 32+\log_37\cdot \log_781\\ &=\frac{\lg 7\cdot\lg 81}{\lg3\cdot\lg7}\\ &=4 \end{aligned} $$ 接下来给出对数函数的定义：形如 $f(x)=\log_ax(x>0,a>0\ 且\ a\neq 1)$ 的函数是对数函数，图象如图所示：  感性理解，定义域和值域显然。 单调性的话由于当 $0x-1\to x>-2$。 错。 要求 $2x+1>x-1>0\to x>1$。  同理，减函数变形，$0<2x+1x^2>0\to (1-\sqrt 2,0)\cup(0,1+\sqrt2)$。  考虑第一题，$3x-2>0,2x-1>0\to(\frac 23,+\infty)$。 第二题，只需 $\log_{0.5}(1-x)\ge 0\to 0<1-x\le 1\to[0,1)$。 或者把右侧看作 $\log_{0.5}1\to 0<1-x\le 1\to[0,1)$。  简单题，$x=2\to f(x)=-4\to(2，-4)$。  等价于求函数 $f(x)=x^2+2x-3=(x+1)^2-4>0$ 的单增区间。 显然 $(1,+\infty)$。  首先观察，函数左侧一定单调递减，说明 $f$ 是单增函数，所以 $a>1$。 考虑等价于 $a>1,\frac a2\ge 1,-a+3>0\to[2,3)$。 ##### test ###### Subtask 1.1  题目要求比较大小。 我们先考虑化简一下。 $a=\log_2\frac 15,b=\sqrt[5]2,c=\sqrt[10]{\frac 1{125}}$。 注意到 $a<0c\to a 题解： > 考虑图象法，$a<0  ###### Subtask 1.2  注意到 $b,c<1\log_3\frac 23\to cc$。 或者我们用统一底数的思想，$b=\frac 1{\frac 12\log_26}=\frac 1{\log_2\sqrt 6},c=\frac1{\log_23}\to b>c$。 根本思路在于：先估算大概区间，在统一式子一部分，最后用公式推导比较大小。 ###### Subtask 1.3  简而言之，$a=\sqrt[3]{\frac 1{32}}=\frac{\sqrt[3]2}4,c=\log_{\frac 12}\frac 13=\log_23$。 对于 $c$ 的第二步简化是同时变成 $-1$ 次方的操作。 注意到 $a,b<10.5$。 于是选择 A。 > 更简单的，由于 $b=(\frac 12)^{\frac 1e}>a=(\frac 12)^{\frac 53}$。 ###### Subtask 1.4  不难想到同时对三个数做 $56$ 次方。 $\large a\to \frac{e^8}{8^{56}},b\to \frac{e^7}{7^{56}},c\to\frac{e^{56}}{56^{56}}$。 到这一步想到同乘 $56^{56}$。 $\large a\to e^87^{56},b\to e^78^{56},c\to e^{56}$。 这个还是比较显然的，$(\frac 87)^{56}$ 肯定大于 $e$。 然后得到 $cb>a$，选 A。 但毕竟这个过于玄学了，实际上我们的画图精度也很难看出来。 一个更优的解法： 考虑构造函数为 $a+\frac 1a=2^a-2$，依此类推。 好处在于我们只需要画四个函数，且其余的幂函数现在均过点 $(1,0)$，如图所示：  综上选择 A。 第二题，$b$ 的三角函数我们先放放，注意到 $a=\frac\pi{\ln\pi},c=\frac 2{\ln 2}$。 注意到 $f(x)=\frac x{\ln x}=\frac 1{\frac 1x\ln x}=\frac 1{\ln \sqrt[x]x}$。 我们只需要研究 $h(x)=\sqrt[x]x$ 的增减性（未必有）。 更简单的，我们只需要知道 $\sqrt 2$ 和 $\sqrt[\pi]\pi$ 的大小关系。 考虑同时乘方。 $2^\pi\quad\circ\quad\pi^2$ 简单考虑一下，$9.6<\pi^2,2^\pi<2^{3.25}<8\times\sqrt{1.44}<8\times 1.2<9.6\to2^\pi<\pi^2$。 进而，$\sqrt 2<\sqrt[\pi]\pi$。 进而，$\ln\sqrt 2<\ln\sqrt[\pi]\pi$。 进而，$f(2)>f(\pi)$，即 $a0$ 时 $f(x)=-f(-x)=e^{-ax}\to e^{-a\ln 2}=e^{\ln 8}=8\to-a=\frac{\ln 8}{\ln 2}=3\to a=-3$。 ###### Subtask 2.2  我们从选项倒推，我们看三件事情就能选出答案。 1. $f(1)$ 的符号。 2. $f(6)$ 的值。 3. 奇偶性。 考虑 $f(1)=0.8,f(6)=\frac {432}{64+\frac 1{64}}>6,f(-x)=-f(x)$。 考虑选 B。 ###### Subtask 3 在此开一个 Subtask 研究一下如何画函数图象。 基础的我们显然都会。  我们从一个最简单的函数开始：$f(x)=e^x$，图象应当如中图红线所示。 ###### Subtask 3.1 $f(x)=-e^x$，只需要直接将原图像上下翻转即可。  ###### Subtask 3.2 $f(x)=e^{-x}$，将原图像左右翻转。  ###### Subtask 3.3 $f(x)=\abs{e^x-1}$，考虑先将原图像下移一个单位再将第三象限的图像反转到第二象限（绝对值定义）。  ###### Subtask 3.4 $f(x)=e^\abs{x+1}$，考虑 $x+1$ 应当遵循左加右减原则，先将图象左移一个单位。 然后考虑函数应当在 $x_1+x_2=-2$ 时满足 $f(x_1)=f(x_2)$，等高轴，左右翻转，顶点在 $(-1,1)$。 或者用分段函数去做，左部相当于 $(\frac 1e)^{x+1}$。这个显然是容易的。  ###### Subtask 3.5 $f(x)=\frac{e^x+e^-x}{e^x-e^{-x}}$，考虑先按复合函数处理。 $g(x)=e^x,h(x)=\frac{x+\frac 1x}{x-\frac 1x}=\frac{x^2+x}{x^2-x}=1+\frac{2x}{x^2-x}=1+\frac 2{x-1},f(x)=h(g(x))$。 如果单纯画 $h(x)$ 的图象应当是容易的。 首先考虑是一个正的反比例，对称中心 $(1,1)$。 现在考虑套上 $g(x)$。 首先考虑 $g(0)=1$，处在对称中心的位置。 那这一部分显然应该直接画一个类似反比例最终渐近线给到 $y=1$ 即可。 考虑当 $x<0$ 时会给一个 $(0,1)$ 中的值，对应左半支的一部分。 考虑 $h(0)=-1$，左部会从 $-\infty$ 跑到一个 $y=-1$ 的渐近线。 至于奇偶性，函数确实是奇函数，差不多是这样的。  实际图象如下：  可见还是相当准确的。 ###### Subtask 3.6  考虑 $01$ 于是两部分单增得到函数整体单增（$x>0$）。 考虑函数是偶函数，最终等价于 $\abs{x}>\abs{2x-1}$。 两边平方 $x^2>4x^2-4x+1\to(3x-1)(x-1)<0\to (\frac 13,1)$。 ###### Subtask 3.8  考虑 $3m-7<0\to m=0/1/2$。又由于是偶函数故只有 $1$ 符合条件。 ###### Subtask 4 复合函数三连问： 1. 求 $f(x)=\frac 1{x+1}$，$f(f(x))$ 的定义域。 2. $f(x)$ 定义域 $(0,1)$，求 $f(\ln x)$ 定义域。 3. 证明：$\log_a(a^2+1)$ 是增函数。 4. 证明：$f(x)=\lg(\frac 2{1-x}-1)$ 是奇函数。 第一题，考虑 $f(x)\neq -1$ 且 $x\neq -1$，得到 $\set{x\mid x\neq -2\ 且 x\neq -1}$。 第二题，显然 $(1,e)$。 第三题，分讨即可。当 $a>1$ 时内外均单增，当 $00$ 时增函数减减函数为增函数，反之则为减函数。 这两个东西也称类二次函数和类三次函数。  这个奇比偶一眼奇函数。 考虑当 $x\to \infty$ 时 $f(x)>0$。 选 B。 > 常用奇函数总结： > > - $f(x)=\frac{a^x-a^{-x}}{a^x+a^{-x}}$，上奇下偶为奇函数。 > - $f(x)=\frac{a^x-1}{a^x+1}$，考虑 $f(-x)=\frac{a^{-x}-1}{a^{-x}+1}=\frac{1-a^x}{a^x+1}=-f(x)$，为奇函数。 > - $f(x)=\log_k\frac{x+a}{x-a}$，考虑 $f(-x)=\log_k\frac{x-a}{x+a}$。 > 然后呢？ > 考虑 $f(x)+f(-x)$。 > 对数意义下的加法为普通意义下的乘法，互为倒数乘积为一，$f(x)+f(-x)=\log_k1=0$。 > 同时要求 $(x+a)(x-a)>0$，显然定义域对称。 > 由此其为奇函数。 > - $f(x)=\ln(\sqrt{x^2+1}\pm x)$，考虑 $f(-x)=\ln(\sqrt{x^2+1}\mp x)$。 > 用共轭根式容易得出两数乘积为一，进而得到互为相反数。 > 而定义域 $\R$ 自然对称。 我们有了以上几个作为基础来分析一下下列函数的奇偶性。  第一个，一眼奇加奇等于奇。 第二个，一眼 $g(x)=1+\ln (\frac {1+x}{1-x})$，显然 $g(x)+g(-x)=2+\ln(\frac{1+x}{1-x})+\ln(\frac{1+x}{1-x})=2$，和定心，定义域 $(-1,1)$，对称中心 $(0,1)$。 第三个，考虑 $h(x)=2a+\dots$，后项奇比偶为奇函数，整体定义域 $\R$，考虑对称中心 $(0,2a)$。  第一题，一眼对称中心 $(0,3)$。 信仰变换答案为 $6$。 第二题，中间的东西像是类三次。 一手换元 $y=x-2\to f(y)=(y^2-4)(e^y-e^{-y})+y+3$。 发现除了三都是奇函数，对称中心 $(0,3)$，定义域 $[-3,3]$，信仰变换答案还是 $6$。 第三题，除了 $1$ 都是奇函数，对称中心 $(0,1)$，定义域为 $\R$。 考虑直接答案 $4049$。  第一题有点像 [Subtask 3.7](#Subtask-3.7)。 偶函数，正值递增，显然 $x^2+2x+1<4x^2\to 3x^2-2x-1>0\to(3x+1)(x-1)>0\to (-\infty,-\frac 13)\cup(1,+\infty)$。 第二题，前面是一个奇函数，后面这个东西不好弄，考虑一下学过的注意到 $f(x)=\dots-1+\frac{e^x+1}{e^x-1}$，对称中心一眼 $(0,-1)$。 考虑函数是奇函数且单调递增，显然 $3x-1>0\to (\frac 13,+\infty)$。  考虑直接算，参变分离。 信仰变换 $a\le\frac{2^{2x}+2^{-2x}+3}{2^x+2^{-x}}=2^x+2^{-x}+\frac 1{2^x+2^{-x}}$。 我们只需要 $a\le \min(\dots)=2\sqrt 1=2$。 错。 验证取等条件 $(2^x+2^{-x})^2=1$ 不存在，说明我们放缩过度了。 考虑直接换元 $t=2^x+2^{-x}\ge 2$ 跑对勾 $a\le t+\frac 1t$。 最终得到 $a\le 2.5$。 ###### 初等函数解题强化  翻译一下题目，$f(x)=f(4-x)$。 没有好性质考虑暴力展开。 $f(4-x)=(x^2-8x+16+x-4)(x^2-8x+16+4a-ax+b)=(x^2-7x+12)[x^2+(-8-a)x+(16+4a+b)]$。 好像还是看不出来什么，无奈暴力展开求解。 $f(x)=x^4+(a-1)x^3+(b-a)x^2-bx$。 一个显然的发现：$16+4a+b=0$，代入简化得到 $f(4-x)=(x^2-7x+12)[x^2+(-8-a)x]$。 考虑直接展开得到 $f(4-x)=x^4+(-a-15)x^3+(7a+68)x^2+(-12a-96)x$。（《你真的会快速多项式乘法吗？》） 解得 $a=-7,b=12$，答案为 $5$。 然而这个做法过于逆天，还是适合放在实在求不出来的时候用。 考虑后一项这个 $a,b$ 的位置特殊，思考韦达定理。 韦达定理需要知道两根。 前面显然有 $x_1=0,x_2=1$，由对称得两根 $x_3=3,x_4=4\to a=-7,b=12$。  这个可以直接画图。   这个图象应当是一个类似对勾的东西。 我们不管那些，显然区间内对勾函数值域 $[4,5]$。 显然 $a=0$ 合法，负值无需考虑。 简单想一下，向下平移，至少可以达到 $4$。 但显然我们可以把最低点翻上来，最终答案 $4.5$。  注意到 $f(1)=1\to \log_2x<2$，选择 A。 错。正解为 $0<\log_2x-1<1\to(2,4)$，选择 D。  发现形式类似思考构造函数法。 不妨设 $\abs{x_1}>\abs{x_2}\to f(x_1)-x_1^2>f(x_2)-x_2^2$。 如果设一个新函数 $g(x)=f(x)-x^2$，那么他就是一个以 $x=0$ 为顶点的两侧单增的类似二函的图像，但未必是偶函数（如果不连续的话）。 > 伪证 $g(x)$ 奇偶性： > 考虑由于 $\forall \abs{x_1}>\abs{x_2},g(x_1)>g(x_2)$，那显然如果存在 $k$ 使得 $g(k)\neq g(-k)$，不妨设 $g(k)>g(-k)$， > 设 $\Delta x\to 0,\Delta x>0$，显然此时 $g(-k-\Delta x)\to g(-k) 考虑此时却存在 $\abs{-k-\Delta x}>\abs{k}$，违反定义，故一定有 $\forall k,g(k)=g(-k)$，进一步的 $f(x)$ 也是偶函数。 > > 问题在于函数未必连续，$\Delta x\to 0,\Delta x>0$ 无法说明 $g(-k-\Delta x)\to g(-k)$。  注意到 $f(x)=-f(4-x)=-f(x-4)\to f(x)=f(x-8k),k\in \Z\to f(2029)=f(5)=-f(1)=3$。 一个有用的结论：双对称导周期性，以后会讲。  考虑直接平方，显然 $k>0$。 $x^2\le \frac{k^2}{(x-k)^2}\to x^2(x^2-2kx+k^2)\le k^2\to x^4\le \dots$ 发现 $k$ 不齐次很难做参变分离。 其实有一种更好的方法，直接 $-\frac kx\le x-k\le \frac kx$。 同乘 $x$ 得到 $-k\le x^2-kx\le k\to kx-k\le x^2\le kx+k\to \frac{x^2}{x+1}\le k\le \frac{x^2}{x-1}$。 这个就是普通的换元题，$y=x+1\to y+\frac 1y-2\le k\to\frac 94\le k,y=x-1\to k\le y+\frac 1y+2\to k\le 4$。 得到 $[\frac 94,4]$。 错。 $k$ 不能在 $[2,3]$ 中否则原方程可能无意义。 答案为 $(3,4]$。  考虑原式等价于 $2^a+\log_2a=4^b+\log_2b$。 显然有 $a>b$。 考虑变形得到 $4^b-2^a=2^{2b}-2^a=\log_2 a-\log_2 b>0\to 2b-a>0\to a<2b$，选择 B。 > 分析： > 主要困难在原式从等式到不等式的转化。 > 考虑对数换同底这一步是自然的，困难在于进一步的处理。 > 笔者是通过挖掘 $ab$ 之间的性质进行求解。 > 而题解中给了另一种方法： > 直接构造函数 $f(x)=2^x+\log_2x$，$\text{left}=f(a),\text{right} > 这个算法，通过放缩构造同构式，应用相对更多。  形式化的说，先通过图像或关系式挖掘其本身的性质，没有形式就硬算或者通过恒等变形构造式子。  考虑前面一段的取值是 $(-3,+\infty)$，后一段则是 $[0,+\infty)$。 换言之，对于每一个 $a>0$ 一定能找到合法的 $b=-\frac{a^2+3}2$。 那么 $a+b$ 的表达式就变成了 $-\frac 12a^2+a-\frac 32$。 简单配一下方 $f(x)=-\frac 12(a^2-2a+1)-1=-\frac 12(a-1)^2-1$，取值范围 $(-\infty,-1]$，对应着 $[-1,+\infty)$。  考虑我们最终想要得到 $f(x)=f(-x)$。 不难想到令 $x=0\to f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)$。 那我们考虑能否得出 $f(0)=1$。 考虑 $x=0,y=0\to f(0)+f(0)=2f(0)^2\to f(0)^2=f(0)$。 由于 $f(0)\neq 0\to f(0)=1\to f(y)+f(-y)=2f(y)\to\forall y, f(y)=f(-y)$。  考虑首先要满足 $1-m,1-m^2\in(-1,1)$，同时 $1-m+1-m^2>0$。 后式即为 $m^2+m-2=(m+2)(m-1)<0\to (-2,1)$。 考虑第一个限制 $m\in(0,2)$，第二个限制 $m\in(-\sqrt 2,\sqrt 2)\text{ and } m\neq 0\to (0,1)$。  序号一，$f(x)=-f(x+2)=-(-f(x+2+2))=f(x+4)$，正确。 序号二，$f(x+1)+f(-x+1)=0$，和定心，中心 $(1,0)$，正确。 序号三，考虑我们随意画图。  正确。 或者考虑严谨的说明，$f(2+k)=f(2-k)$。考虑 $f(2+k)=-f(k)=f(2-k)$。 序号四，显然未必，如上图。 序号五，$f(2009)=f(1)=0$。  第一小问，考虑到 $f(0)=f(0)^2\to f(0)=1$。 第二小问，考虑 $\forall x_10$。 考虑等价于证 $\forall x<0,f(x)>0$。 考虑 $\forall x<0,f(x)=f(0)/f(-x)=1/f(-x)>0$ 从而得证。 ###### 函数零点问题 根据定义解释一个常见误区：  两种表述中，下面的才正确，因为零点并不是点坐标，而只是横坐标。 注意零点存在定理只充分不必要。 先看一道题。  第一题，这个函数是增函数简单很多。 考虑 $f(1)=\ln 1+2-1=1>0$ 排除 D。 发现显然 $f(\frac 12)=\ln\frac 12<0$ 故选 C。  考虑仍是增函数。 发现 $f(0)=-3$，排除 A。 发现 $f(2)=\frac 32-\frac 43>0$，排除 D。 考虑 $f(1)=\log_46-2<0$，故选 C。 零点存在定理由于计算量大，适用范围窄且没有必要性的判断，故无法通过很多题目。 对于许多解方程或是零点的题目，更常用的是将零点转化成图像交点，通过图像求解。  考虑直接画一个 $y=-x$ 的图象和其余的即可。  如图所示，答案选择 A。  注意到函数为偶函数，原题目要求等价于：$f(0)=0$ 且 $\forall x\neq 0,f(x)\neq0$。 考虑 $(a+3)(a-1)=0\to a=1$。 问题在于：这对吗？ 考虑在原点右侧函数单调递增。 综上 $a=1$。  这个函数其实可以画图。 右侧较为简单，左侧配方之后得到 $f(x)=-(x+1)^2+1$。 所求相当于 $f(x)$ 和 $y=m-1$ 这条直线有四个交点。  这很简单，答案即为 $(1,2)$。  不管复合先画图。 考虑我们最终要让 $f(f(x))=3$，那里面能放什么？ 首先可以放 $-1$。 然后可以放 $4$ 和 $\frac 14$。  选 C。  考虑这个东西就是画图。  如图所示，$\sqrt 2-1$。  考虑后面等价于与朴素的反比例函数取交点。 由于第二段函数都和第一段存在重大联系所以考虑先绘制第一段函数图象。  当你尝试绘制后续图像的时候发现每一个比前一个矮一倍。  最终就像这样，答案为 $6$。 这并不完全正确。 $x=0$ 应当特殊判断，答案不变。  考虑到这个 $k$ 得不得零还是影响挺大的，于是果断分讨。 如果 $k=0$，那么我们 $x<0$ 就是一条函数图象，想要得 $-1$ 就只有一个值 $y=\frac 1e$，一定不能得到四个零点，故舍去。 否则就是如图所示的情况。  考虑我们 $y=-1$ 一定有两个交点，一正一负。 考虑负的交点也一定会有两个，问题在于正的那个，也就是 $\ln x=-1\to x=\frac 1e\to k\ge \frac 1e\to [\frac 1e,+\infty)$。  他给的函数其实就是 $f(x)+f(2-x)-b$。 我们先画一下 $f(x)$。  如图所示，考虑构造 $f(x)=b-f(2-x)$。  看着应当曲线切直线，两边是同时相切的，$x+2=-x^2+b\to x^2+x+(2-b)=0$ 仅有一个解，$\Delta=1-4(2-b)=4b-7=0\to b=\frac 74$。 两边不取等得到开区间 $(\frac 74,2)$。 这并非一个优秀的做法，曲线切直线的图象过于复杂，于是有另外一种拆分方式。 考虑拆成 $f(x)+f(2-x)=b$。 我们按照每一个端点分段。 对于 $f(x)$ 分成 $(-\infty,2]$ 和 $(2,+\infty)$。 对于 $f(2-x)$ 分成 $[0,+\infty)$ 和 $(-\infty,0)$。 综上可以得到拆分： | $x$ | $f(x)$ | $f(2-x)$ | $f(x)+f(2-x)$ | | ------------- | ---------- | -------- | ------------- | | $(-\infty,0)$ | $2+x$ | $x^2$ | $x^2+x+2$ | | $[0,2]$ | $2-x$ | $x$ | $2$ | | $(2,+\infty)$ | $x^2-4x+4$ | $4-x$ | $x^2-5x+8$ | 考虑画这个图象。 对于第一段，对称轴 $x=-\frac 12\to\frac 74$。 对于第三段，对称轴 $x=\frac52\to\frac 74$。 可得 $(\frac 74,2)$。  考虑等价于 $\abs{\log_{0.5}x}$ 和 $\frac 1{2^x}$ 的交点个数。 这个可以最大限度保证两部分都足够简单。 我们最多可以接受在模板基础上在多套一层。 直接取倒数或是取绝对值是容易的。 套两层就难很多。  大概这样，选 B。 另一种做法好像也可以。  由于那两个都是从正无穷掉下来的，一定会产生双交点。  同理，直接画图。  然而没有什么效果。 结论一，正确。 然后我们就可以算几个特殊值了。 定义 $f(x)=(\frac 12)^x,g(x)=\abs{\log_2(x-1)}$。 考虑 $f(1.5)<1=g(1.5)$，可得 $x_1\in(1.5,2)$。 考虑 $f(2.5)=\frac {\sqrt 2}8,2^{f(2.5)}<\sqrt 2<1.5\to x_2\in(2,2.5)$。 考虑 $f(2.25)<\frac14,2^{f(2.2)}<\sqrt{\sqrt 2}<1.2\to x_2\in(2,2.2)$。 考虑 $g(\frac 34)=g(\frac 43)=2-\log_23<0.5,f(\frac 34)=\frac{\sqrt[4]2}2>0.5\to g(\frac 34)0\to \abs{a}>2\sqrt 2$。 我们就需要两根都切出来三个零点。  即 $10,f(2)=8-2a>0$ 配凑上上面的判别式更快求解。 也可以考虑参变分离，$a=x+\frac 2x$，$f(1)=f(2)=3,\min=2\sqrt 2\to (2\sqrt 2,3)$。 难点在于，考虑在这种无法直接拆分的时候转化成复合函数问题来做，以及两根必须对应区间的函数性质挖掘。 ##### test ###### Subtask 1  考虑 $g(x)=\frac{e^x}{e^{ax}-1}$ 是奇函数。 现在考虑定义域合法。 没有太好思路考虑尝试选项。 先一手取倒数，做 $e^{(a-1)x}-e^{-x}$ 是容易的。 考虑 $a=2$ 合法，答案选择 D。 更朴素的方法是用定义。 考虑 $f(-x)=\frac{-xe^{-x}}{e^{-ax}-1}=-\frac{xe^{(a-1)x}}{1-e^{ax}}=\frac{xe^{(a-1)x}}{e^{ax}-1}$，同样可得。 ###### Subtask 2  考虑 $g$ 函数是奇函数，且关于 $(2,0)$ 中心对称。 考虑 $g(x)=-g(4-x)=g(x-4)\to g(-6)=g(2)$，而当代入 $x=0$ 时 $g(2)+g(2)=0\to g(2)=0\to f(-6)=36=0\to f(-6)=-36$，选择 B。 ###### Subtask 3  显然分离常数，$S=\frac 12-\frac 1{1+2^x}$。 显然当 $x\ge 0$ 时 $[S]=0$。 简单分析一下，选 C。 更严谨的，考虑 $1+2^x>1\to 0<\frac 1{1+2^x}<1\to -\frac 12 题解： > 考虑前面同上。 > 直接换元 $t=3^{x-1}\to t^2-4t+3=0\to t=1/3\to t=3\to x=2$。 ###### Subtask 5  这题貌似水题。 $28.7+0.3+0.3+0.5+0.5 =30.3\to M=10^{0.3}\times10^{30}\approx 2e30$ 选择 B。 至于最后一步，如果你不想直接算。。。注意到 $\lg2\approx 0.3$。 ###### Subtask 6  考虑全局增函数。。。吗？ 仔细看系数，等价于 $\frac{\frac{f(x_1)}{x_1}-\frac{f(x_2)}{x_2}}{x_1-x_2}<0$。 构造函数法，减函数，直接排序取倒序。 显然 $\log_{0.2}4<0<0.4^2<1<4^{0.2}$，倒序之后选择 B。 错。 考虑整个构造函数是偶函数。 直接排序不对，应当排序绝对值。 $0.5<\log_54<1$ ，所以答案选 C。 ###### Subtask 7  考虑第一小问，$x=1,y=0\to g(1)-g(0)=-1\to g(0)=1$。 考虑第二小问 $g(x)=g(0)+x^2-2x=x^2-2x+1\to f(x)=x+\frac 1x-2$。 考虑第三小问即 $t=\abs{2^x-1},t+\frac 1t+\frac{2k}t-3k-2=0$。 首先，前面的函数图象如图：  考虑我们直接变成二次函数 $t^2+(-2-3k)t+2k+1=0$，要求有两个非负解，一个在 $(0,1)$ 中，另一个在 $\set 0\cup[1,+\infty)$ 中。 - 一个根为 $0$ $t$ 作为分母不能为零。 - 一个根为 $1$ 考虑 $1+1+2k-2-3k=-k=0\to k=0$ 不合法。 - $f(0)>0,f(1)<0$ 考虑 $2k+1>0,-k<0\to k>0$。 #### 1.2.3 三角函数 ##### 1.2.3.1 基础概念 ###### 任意角表示法 规定角的大小是从始边到终边逆时针旋转的角度。 特别的，要求始边与 $x$ 轴正半轴重合，顶点即为原点。 根据终边所在象限又将其细分为第一/二/三/四象限角。 特别的，如果终边与某一条坐标轴重合，那么他不是任意一个象限的角。 注意到，我们把角的大小定义从“夹角”变成了“旋转”。 由于顺逆方向的不同也就有了负角，由于旋转对过程的刻画也就有了大于 $360\degree$ 的角。 在这种定义下，一条终边可以对应无数个形如 $360k\degree+\alpha,k\in \Z$ 的角。  考虑 $2023=360\times5+223$ 选择 B。  全错。  $-120$。  $\set{\alpha\mid \alpha=(360k+b)\degree,k\in \Z,b\in(120,210)}$。  考虑应当选择 C。  题目不难，考虑就是 $\set{\alpha\mid180\degree\times k-60\degree\lt \alpha\lt180\degree\times k+45\degree,k\in\Z}$。（这种写法更常用） ###### 弧度制 定义一：一个角的大小定义为其在任意一个圆中所对弧长比圆的半径。 定义二：一个周角大小定义为 $\frac{\pi d}r=2\pi \text{ rad}$（单位可省略）。 定义三：$\pi=180\degree$。   $-560\degree=-\frac {28}9\pi\to \frac 89\pi$。  BC 一眼排除。 选择 D。    选择 A。 补充：角度制和弧度制下的部分公式。 下设角度为 $\alpha$，半径为 $r$。 - 弧长公式 角度：总共长 $2\pi r\to l=\frac{\pi r\alpha}{180\degree}$。 弧度：直接 $\alpha r$。 - 面积公式 角度：$S=\frac{\alpha\pi r^2}{360\degree}$。 弧度：$S=\frac{\alpha\pi r^2}{2\pi}=\frac 12 ar^2=\frac {lr}2$。