数学基础 0.0.0

第 0 章基础数学

0.1 初中简单计算

0.1.1 快速多项式乘法

乘法公式快速计算：定项、计数、加和。
我们直接对于每一项进行计数
而非暴力算出每一项再进行求和
类似于统计贡献

例题：$(x+1)(x+6)$
我们平方项有一个
一次项是 $x+6x=7x$
常数项就是 $1*6=6$

这个看不出啥
我们来一个难一些的
$(x-2)(2x^2+5x-7)$
三次项 $2$
二次项 $5-4=1$
一次项 $-10-7=-17$
常数 $-2*(-7)=14$
答案 $2x^3+x^2-17x+14$

以上都是思考过程
再来一个 $(x+5)(2x^2-6x+3)$
易得 $2x^3+4x^2-27x+15$

还有一个扩展版
比如一个式子 $(x+1)(x+2)-(x+3)(x+4)$
对于整体统计每一项
直接 $(1-1)x^2+(3-7)x+2-12=-4x-10$

0.1.2 主元思想

实际上就是未知数
我们先以去括号为例
来一个 $\text{FFT}$ 搞不了的

\[\begin{aligned} &(a+b+2)(a+3b-1)\\ &=a^2+3ab-a+ab+3b^2-b+2a+6b-2\\ &=a^2+4ab+a+3b^2+5b-2 \end{aligned}\]

我们把其中一个变为主元，一个变为参数（常数），然后搞就容易了
比如 $a$ 作为主元

\[\begin{aligned} &(a+b+2)(a+3b-1)\\ &=a^2+(3b-1+b+2)a+(b+2)(3b-1)\\ &=a^2+(4b+1)a+(3b^2+5b-2) \end{aligned}\]

其中最后一步就是我们刚搞的乘法公式
这其实是一个降元的思路
将原来的多元变为一元
然后再去搞其他的多元多项式
逐项降元就不难了

主元选哪一个都可以
比如刚才那个选 $b$

\[\begin{aligned} &(a+b+2)(a+3b-1)\\ &=3b^2+(a-1+3a+6)b+(a+2)(a-1)\\ &=3b^2+(4a+5)b+(a^2+a-2) \end{aligned}\]

0.1.3 对称式

对称式其实就是二元轮换式
比如说一个关于 $a$ 和 $b$ 的对称式
你把里头所有的 $a$ 换成 $b$，把所有的 $b$ 换成 $a$ 而原式不变
例如 $a^2+b^2$、$a^2+2ab+b^2$、$|a-b|$、$a^2b+ab^2$ 等都是对称式

显而易见的性质：如果两个代数式是对称式，那么他们的加减乘除之后的结果仍是对称式
不显而易见的性质：所有的对称式都能用 $ab$ 和 $a+b$ 这两个基础对称式表示

\[\begin{aligned} &a^2+b^2=(a+b)^2-2ab\\ &a^2+2ab+b^2=2ab\\ &|a-b|=\sqrt{(a-b)^2}=\sqrt{(a+b)^2-4ab}\\ &a^2b+ab^2=ab(a+b)\\ \end{aligned}\]
我们可以猜测他是对的
其实根据上面的性质一易得这两种是对称式的最基本形式
然后他们乱搞就行了

test

一、代数式乘法

$(x+1)(x-7)$
$(x+1)(x+2)(x+3)$
$2(x+3)(x^2+6x+7)$
$(a+b)^3$

$(x+1)(x-7)=x^2-6x-7$

$(x+1)(x+2)(x+3)=(x^2+3x+2)(x+3)=x^3+6x^2+11x+6$

$2(x+3)(x^2+6x+7)=(2x+6)(x^2+6x+7)=2x^3+18x^2+50x+42$

$(a+b)^3=(a^2+2ab+b^2)(a+b)=a^3+(b+2b)a^2+(2b^2+b^2)a+b^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
基础训练，没啥难度，最后一个主元/硬算均可

二、主元基础练习

$a:2a^2+(-3b+7+2b-4)a+(b-2)(-3b+7)=2a^2+(-b+3)a+(-3b^2+13b-14)$
$b:-3b^2+(2a+7-3a+6)b+(a-2)(2a+7)=-3b^2+(-a+13)b+(2a^2+3a-14)$

$3x^2+4(kx+3)^2-12=0$
$(3+4k^2)x^2+24kx+24=0$

原式$=2kx+x+3ky-y-3=0$
整理得 $(2x+3y)k+x-y-3=0$
第二问显然 $2x+3y=0$
对吗？
然而并不对。
我们首先系数一定为 $0$
但别忘了后一项也必须为 $0$ ！
所以

\[\begin{cases} 2x+3y=0 \\ x-y=3 \end{cases}\]
\[\begin{cases} x=1.8 \\ y=-1.2 \end{cases}\]

$2x^2+(2k-1)x+(5k-15)=0$ 得

\[\begin{aligned} x_{1,2}&=\frac{1-2k\pm\sqrt{4k^2-4k+1-40k+120}}4\\ &=\frac{1-2k\pm\sqrt{4k^2-44k+121}}4\\ &=\frac{1-2k\pm(2k-11)}4 \end{aligned}\]
解得 $x_1=-2.5,x_2=-k+3$
如果你有逆天的因式分解能力发现其等于 $(2x+5)(x+k-3)$
第二问 $(2x+5)k+(2x^2-x-15)=0$
若 $x\neq -\frac5 2$ 即 $2x+5\neq 0$ 则同除 $2x+5$
最终变为 $k+x-3=0\to k=3-x$
这其实给我们搞主元一个启示
容易发现我们搞出来的 $k$ 和 $x$ 的解是等价的
但是由于 $k$ 的最高次数是一次
相对好搞一些
然而间接设可能处理结果会麻烦很多
量力而为吧

三、对称式基础练习

首先设 $x+y=a,xy=b$

$a^2-2b=10$

$a^3-3ab=26$
或者用 $(x+y)(x^2+y^2)-xy(x+y)=10a-ab=26$
或者分解因式 $(x+y)(x^2-xy+y^2)=a(10-b)=2*13=26$

这个瞪眼应该是看不出来了
但是容易猜测它应当有一个 $a^4=x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy^3+y^4$
那么只需减去 $4xy^3+6x^2y^2+4xy^3=2b(2x^2+3xy+2y^2)=6b^2+4b(x^2+y^2)$
而你已经得到其值为 $10$
$a^4-6b^2-40b=16-54+120=82$
或者你不太喜欢杨辉三角硬搞也可以 $(x+y)(x^3+y^3)-xy(x^2+y^2)=26a-10b=82$

$b(x^2+y^2)=10b=-30$

四、ex初二分式题（对称式应用）

我们先不管那个直接算
设原式$=M$，则$M^2-2=9-2=7$

同理 $M^3=x^3+3x+\frac 3 x+\frac 1 {x^3}$ 所以 $M^3-3M=18$

仍然考虑暴力(里面打错了上面第四项应为 $3x$)
注意到原式$=(x^2+\frac 1 {x^2})+3(x+\frac 1 x)+2=7+9+2=18$

这个咋搞？$3-\frac 2 x$？
这个貌似就必须得用对称式了
你会发现前面我们的隐含条件
设 $\begin{cases}x=a\\\frac 1 x=b\end{cases}$ 则满足 $\begin{cases}a+b=3\\ab=1\end{cases}$
前面均可以这么搞
换个元就是第三大题
但是问题没解决
这也不是对称式啊！
咋办？
平方！
因为这个进行对称变换（把两个字母调换）就变成了相反数
所以平方是显然的
$(a+b)^2-4ab=9-4=5$
所以原式$=\pm\sqrt5$
但由于题中条件只保留正数解 $\to \sqrt{5}$
或者也可以求绝对值
但也是通过先平方再根号实现
总体来说差不多

0.1.4 齐次

定义：如果一个多项式中的每一项都是一个 $k$ 次代数式，则称其为 $k$ 次齐次式

\[\begin{aligned} a+b&\to\checkmark(1)\\ a+b+1&\to\times (0+1)\\ a^3b^5c^{192}+d^{200}&\to\checkmark(200)\\ \end{aligned}\]

显而易见的性质：如果一个 $m$ 次齐次式中的所有变量 $i\to ki$，那么原式变为原来的 $k^m$ 倍
一个重要专题：二元等次齐次式作比
$\frac{x^2+3xy-y^2}{x^2+y^2}$ 容易发现其上下均为二元二次齐次式
那么~~根据玄学~~我们可以用两数的比例 $t=\frac x y$ 表示原式
这个怎么搞呢？
一个自然的想法：除掉其一个字母的齐次次数
这样我们就可以把其中的每一项都变成 $\frac{x^k}{y^k}$ （因为多余的次数已经杀掉了）
比如本题直接同除 $y^2$ 得到 $\frac{t^2+3t-1}{t^2+1}$
这样把二元变成了一元简便了计算
至于咋搞看题

0.1.5 共轭根式

我们由于 $\sqrt{a}+\sqrt{b}\neq \sqrt{a+b}$ 的原因很少去直接搞根式
除了平方之外也可以用共轭根式搞
我们定义形如 $a+\sqrt{b}$ 和 $a-\sqrt{b}$ 的根式为一组共轭根式
一组共轭根式相乘可以去括号
比如分母有理化就运用了共轭根式

\[\frac 1 {3+\sqrt{6}}=\frac{3-\sqrt{6}}{(3+\sqrt{6})(3-\sqrt{6})}=1-\frac{\sqrt{6}}{3} \]

test

一、齐次基础题（1）

二次不是三次四次不是

(1)设 $t=\frac x y=\frac 1 3$ 同除 $y^2$ 得 $t^2-2t-3=- \frac{32}9$
(2)一眼题 $(\frac 1 3+\frac 1 3+9)^2=\frac{841}{9}$
(3)原式$=\frac{x+y+z}{\sqrt[3]{xyz}}$
上下同除 $x$
得 $\frac{1+3+9}{\sqrt[3]{1*3*9}}=\frac{13}3$

想知道 $k$ 元比例关系 $a_1:a_2:\dots:a_k=\dots$ 只需要 $k-1$ 条比例关系（第三题发现齐次关系亦可）

二、齐次基础题（2）

思考硬开前面
得到 $c-b=5a,c-a=2b$
易得 $b=4a,c=9a$
上下同除 $a$
得 $\frac {14}{2+6+3}=\frac{14}{11}$

如果你是这样做的
那你就祭了
由于在 $a<0$ 时 $\sqrt{a^2}\neq a$
所以我们需要考虑符号
正解应为 $\pm\frac{14}{11}$

从此题会发现齐次条件相当于比例条件
它们基本可以通用解题
只不过齐次难一些

三、齐次进阶题（1）

我们这题涉及到前面的理解了
已经给了一个齐次条件
理论上再给一个比例/齐次条件就行了
一眼 1234
6 存疑 5 白扯
但我们还是看一看
其实也可理解成消去 $b$ 这一元

$a=2b\to \frac 3 4 a^2=c^2\to\frac c a=\frac{\sqrt 3}2$

$a^2=5c^2\to \frac a c=\frac{\sqrt 5}5$

直接代入一手 $a^2=a^2+4ac+4c^2+c^2\to 4a=-5c\to\frac c a=-\frac 4 5$
但这太巧合了直接杀掉 $a^2$
我们换一个题 $a=2b-c$ 试一下
同乘 $4$ 代入得到 $4a^2=a^2+2ac+c^2+4c^2\to -3a^2+2ac+5c^2=0$
设答案为 $e$ 同除 $a^2$ 得 $-3+2e+5e^2=0$ 解得 $e(e>0)=\frac{-2\pm\sqrt{64}}{10}=\frac{6}{10}=\frac 3 5$

$b^2=5c^2-a^2\to 2a^2=6c^2\to \frac{c^2}{a^2}=\frac 1 3\to \frac c a=\frac {\sqrt 3} 3$

显然根据 $b^2+c^2=1$ 求 $\frac c a=c=?$ 是做不到的

我们先不管 $c=2$，易得 $\frac c a =\frac 2 3\sqrt 2$
这一条件代入后可得 $$\begin{cases}a=\frac 32\sqrt2\b=\frac {\sqrt{2}} 2\c=2\end{cases}$$
由此可以发现确定比例后只要在给一个非齐次条件即可确定所有数的值
这样我们可以设 $k$ 求值
因为它是非齐次的所以一定消不掉 $k$

四、共根基础题（1）

$原式=\frac{(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=\frac 1 2$
或者。。。
平方一次 $x+1=4+x-4\sqrt x$
移项再搞 $9=16x\to x=\frac 9{16}\to\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\frac 5 4-\frac 3 4=\frac 1 2$

这题有点难度
设原式为 $A$，则 $A=\sqrt{A^2}=\sqrt{43+24\sqrt{3}+43-24\sqrt 3+2\sqrt{(43+24\sqrt{3})(43-24\sqrt{3})}}=\sqrt{86+2\sqrt{1849-1728}}=\sqrt{108}=6\sqrt3$

(1)
移项 $x^2-2+\frac 1 {x^2}\ge0$
换元 $a>0,a-2+\frac 1 a\ge0$
乘 $a$ 得 $a^2-2a+1\ge0$ 完全平方易证
(2)
换元 $A\ge2,A=x^2+\frac1{x^2}$
得 $原式=\frac1{\sqrt{A+1}+\sqrt A}$ 最大值即为分母取最小值时 $\frac 1{\sqrt3+\sqrt2}=\sqrt3-\sqrt2$

五、共根基础题（2）

第一问就是把坐标带进去就不说了
第二问直接平方

\[\begin{aligned} \sqrt{(x+1)^2+y^2}&=4-\sqrt{(x-1)^2+y^2}\\ (x+1)^2+y^2&=16+(x-1)^2+y^2-8\sqrt{(x-1)^2+y^2}\\ 4x-16&=-8\sqrt{(x-1)^2+y^2}\\ 4-x&=2\sqrt{(x-1)^2+y^2}\\ 16-8x+x^2&=4(x-1)^2+4y^2\\ 4x^2-8x+4+4y^2-x^2+8x-16&=0\\ 3x^2+4y^2&=12\\ \frac{x^2}4+\frac{y^2}3&=1 \end{aligned} \]
或者。。。
注意到

\[\begin{cases} \sqrt{(x+1)^2+y^2}+\sqrt{(x-1)^2+y^2}=4\\ [\sqrt{(x+1)^2+y^2}+\sqrt{(x-1)^2+y^2}][\sqrt{(x+1)^2+y^2}-\sqrt{(x-1)^2+y^2}]=4x\to\sqrt{(x+1)^2+y^2}-\sqrt{(x-1)^2+y^2}=x \end{cases} \]
\[\begin{aligned} 2\sqrt{(x+1)^2+y^2}&=4+x\\ 4x^2+8x+4+4y^2&=x^2+8x+16\\ 3x^2+4y^2&=12\\ \frac{x^2}4+\frac{y^2}3&=1 \end{aligned} \]

0.1.6 自由度&消元&换元

根据经验 $k$ 元一次方程需要 $k$ 条方程才可解

首先一元一次方程至少要有一条限制
那么每增加一个未知数都可以通过加减消元消去一元从而转换成上一层问题
类似于数学归纳法的思想

而齐次有结论想确定其比例关系需要 $k-1$ 个齐次条件

\[\begin{cases} x+y+z=0\\ x-y+3z=0 \end{cases} \]

我们解此不定方程可以将一个未知数作为参数进行处理
易得

\[\begin{cases} x+y=-z\\ x-y=-3z \end{cases} \]

从而解得

\[\begin{cases} x=-2z\\ y=z \end{cases} \]

即 $x:y:z=-2:1:1$

我们把它与前面的结合起来
显然一个二元方程只接受两个未知数
而他给了三个
那必然有个未知数要当作参数进行处理
这就是自由度的思想
对于一个 $k$ 元方程组中有 $m$ 个有效方程式（方程有解），那么定义该方程组的自由度为 $k-m$，记作 $f^*$。

我们在解方程时首先将 $f^*$ 个未知数设为参数
接下来理论上消元即可
消元有两个大类别：加减和代入
他们的优劣我们以后再说
最终我们就可以把爱一个多元的方程转化成一个 $f^*$ 元的问题从而简化计算
具体还是看题

还有一个思路是换元
这个理论上既能降元也能降次
如方程 $(x^2+2x+1)^2+(x^2+2x+1)=300$
我们显然可通过换元的方法
先算出一部分再代入重复的部分进行简化

test

一、解方程基础（1）

简单题 $f^*=0$
解得 $x=1,y=0.5$

$f^*=1$
$x+y=1-z,x-y=-z\to x=0.5-z,y=0.5$

有等价方程 $f^*=1\to x=0.5+1.5y$

$f^*=0$ 可解 $x=y=z=1$

第三条限制无效 $f^*=1$
$x=1.5-0.5z,y=-0.5+1.5z$

二、解方程基础（2）

\[\begin{aligned} &x=5-2y\\ &\to 15-6y-8y=-13\\ &\to x=1,y=2 \end{aligned} \]
系数有一先代入

\[\begin{aligned} &30x-42y=-144,30x+40y=430\\ &\to 82y=574\\ &\to x=5,y=7 \end{aligned} \]
系数较大试加减

\[\begin{aligned} &(1)+(3)\to 2x-10z=-28\to x-5z=-14\\ &(2)+3(3)\to 5x-21z=-58\\ &\to 5x-25z=-70\\ &\to z=3,x=1\\ &\to y=2 \end{aligned} \]

\[\begin{aligned} &(2)-2(1)\to 3y+z=7\\ &(3)-3(1)\to y+6z=8\\ &\to y=2,z=1\\ &\to x=4 \end{aligned} \]

三、解方程进阶（1）

信仰变换 $\frac1{x+2}+\frac1{x+7}=\frac1{x+3}+\frac1{x+6}$
再信仰变换 $\frac1{(x+2)(x+7)}=\frac1{(x+3)(x+6)}$
再信仰变换 $x^2+9x+14=x^2+9x+18$
所以无解？
然而并不是
我们的信仰变换二是有问题的
当 $2x+9=0$ 时原式有解即为 $x=-4.5$
~~信仰变换害死人啊~~

这题一眼不是给我做的
四次方程。。。因式分解？
这个看题解吧
我们发现他两侧的系数对称
我们暂叫他反射式
那这样咋做呢？
如果你有一定的代数直觉显然一眼除 $x^2$
设 $t=\frac1x$，可证 $x$ 非零则原式等价于 $2x^2+3x-16+3t+2t^2=0$
再来一手对称式，$$\begin{cases}a=x+t\b=xt=1\end{cases}\to2a^2-4+3a-16=0$$
解得 $a=\frac{-3\pm\sqrt{9+160}}{4}=-4\texttt{ or }\frac52$
信仰解方程 $x_1=2,x_2=\frac12,x_{3,4}=\frac{-4\pm \sqrt{16-4}}{2}=-2\pm\sqrt{3}$

一道广义反射式，系数绝对值满足狭义反射式定义
这个不一定能搞，但我们可以按普通方法试一下
一眼非零，信仰变换 $x^2+x-4-t+t^2=0$
然后类似对称式扩展
$\begin{cases}xt=1\\x-t=m\end{cases}\to m^2+2+m-4=0\to(m+2)(m-1)=0$

\[m_1=-2,m_2=1\to x^2+2x-1=0 \texttt{ or } x^2-x-1=0 \to \begin{cases} x_{1,2}=\frac{-2\pm\sqrt{8}}2=-1\pm\sqrt2\\ x_{3,4}=\frac{1\pm\sqrt{5}}2\\ \end{cases} \]
我们简单整理一下
狭义反射式满足最高次为偶数项，一般共有五项，降幂排列后严格满足反射关系
我们对于这种题：消次，对称降一元，解方程出结果
广义反射式只是奇次相反数
步骤基本相同
只不过有一个降元的处理 $(x-\frac 1 x)$ 略有不同

四、解方程进阶（2）

二元+高次，可能难一些

\[2(1)\to2x^2+y^2=2\\ (2)\to y=1-2x\\ \to2x^2+4x^2-4x-1=0\\ \to x_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{40}}{12}=\frac13\pm\frac{\sqrt{10}}6\\ \to y_{1,2}=\frac13\mp\frac{\sqrt{10}}3=\frac{1\mp\sqrt{10}}3 \]

\[x=-\frac23+\frac53y\\ (\frac53y-\frac53)^2+(y-2)^2=1\\ (5y-5)^2+(3y-6)^2=9\\ 34y^2-86y+61=9\\ 17y^2-43y+26=0\\ (y-1)(17y-26)=0\\ \begin{cases} x_1=1\\ y_1=1 \end{cases} \begin{cases} x_2=\frac{32}{17}\\ y_2=\frac{26}{17} \end{cases} \]

一眼对称式

\[xy=-2,x+y=\pm1\\ \begin{cases} x+y=1\\ xy=-2 \end{cases} \to \begin{cases} x+y=1\\ x-y=\pm3 \end{cases} \\ \begin{cases} x+y=-1\\ xy=-2 \end{cases} \to \begin{cases} x+y=-1\\ x-y=\pm3 \end{cases} \\ \to \begin{cases} x+y=\pm1\\ x-y=\pm3 \end{cases} \to \begin{cases} x_1=2\\ y_1=-1 \end{cases} \begin{cases} x_2=-1\\ y_2=2 \end{cases} \begin{cases} x_3=1\\ y_3=-2 \end{cases} \begin{cases} x_4=-2\\ y_4=1 \end{cases} \]
用齐次亦可

\[\frac{x^2+xy+y^2}{2x^2+3xy+2y^2}=\frac34,\frac xy=t\\ \frac{t^2+t+1}{2t^2+3t+2}=\frac34\\ 6t^2+9t+6-4t^2-4t-4=0\to 2t^2+5t+2=0\to(2t+1)(t+2)=0\to t_1=-\frac12,t_2=-2\\ \begin{cases} y=-2x\\ x^2+xy+y^2=3 \end{cases} \to x^2-2x^2+4x^2=3\to \begin{cases} x_{1,2}=\pm1\\ y_{1,2}=\mp2 \end{cases} \\ \begin{cases} x=-2y\\ x^2+xy+y^2=3 \end{cases} \to x,y 互换即可 \to \begin{cases} x_{3,4}=\pm2\\ y_{3,4}=\mp1 \end{cases} \]

一眼对称

\[\\\begin{cases} a=xy\\ b=x+y \end{cases} \to \begin{cases} b^2-2a-a^2=3\\ b-a=4 \end{cases} \to a^2+8a+16-2a-a^2=3 \to \begin{cases} a=-\frac{13}6\\ b=\frac{11}6 \end{cases} \to \\\begin{cases} xy=-\frac{13}6\\ x+y=\frac{11}6 \end{cases} \to y^2-\frac{11}6y=\frac{13}6 \to 6y^2-11y-13=0 \to y=\frac{11\pm\sqrt{121+312}}{12} \to \begin{cases} x_{1,2}=\frac{11\mp\sqrt{433}}{12}\\ y_{1,2}=\frac{11\pm\sqrt{433}}{12} \end{cases} \]
这题不好算数，我们换一个 $$\begin{cases}x^2+y2-x^2y2=-23\x+y-xy=-1\end{cases}$$

\[\\\begin{cases} a=xy\\ b=x+y \end{cases} \to \begin{cases} b^2-2a-a^2=-23\\ b-a=-1 \end{cases} \to a^2-2a+1 -2a-a^2=-23 \to \begin{cases} a=6\\ b=5 \end{cases} \to \begin{cases} x_{1_2}=2.5\pm0.5\\ y_{1,2}=2.5\mp0.5 \end{cases} \]

\[\\\begin{cases} x(x+2y-10)=0\\ y(y+2x-10)=0 \end{cases} \to \begin{cases} x=0\\ y=0 \end{cases} \or \begin{cases} x=0\\ (y+2x-10)=0 \end{cases} \or \begin{cases} (x+2y-10)=0\\ y=0 \end{cases} \or \begin{cases} (x+2y-10)=0\\ (y+2x-10)=0 \end{cases} \\ \to \begin{cases} x=0\\ y=0 \end{cases} \or \begin{cases} x=0\\ y=10 \end{cases} \or \begin{cases} x=10\\ y=0 \end{cases} \or \begin{cases} x=\frac{10}3\\ y=\frac{10}3 \end{cases} \]

换元是显然的

\[\\\begin{cases} a=x+y\\ b=x-y \end{cases} \to \begin{cases} 10b+3a=-5ab\\ 15b-2a=-ab \end{cases} \]
尝试消元

\[a=\frac{15b}{2-b}\to10b+\frac{45b}{2-b}=\frac{-75b^2}{2-b}\to20b-10b^2+45b=-75b^2\to \begin{cases}a=-5\\b=-1\end{cases}\to\begin{cases}x=-3\\y=-2\end{cases} \]

0.1.7 乘法公式 & 因式分解

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \\ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \\ a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

以上是初中学过的。
接下来考虑对于三次项找同样的公式。
显然有以下公式

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\ (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
这是简单的，随便算算就有了。
我们把他们变一下形：
$a^3+b^3=(a+b)^3-3a^2b-3b^2a=(a+b)^3-3ab(a+b)=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
$a^3-b^3=(a-b)^3+3a^2b-3b^2a=(a-b)^3+3ab(a-b)=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
以上就是常用的乘法公式。

对于因式分解的话我们就有三种方法：

公式法：见上。
十字相乘：普通的讲过了。
重点来看看带参的。
例如 $x^2+(a-2)x-2a=(x+a)(x-2)$
这个看着还是很简单。
再来一个二元二次式：
$x^2+2xy-3y^2-5x-7y+6$。
~~如果你刷过小蓝本~~你就会知道他可以十字相乘搞。
我们三项分别代表 $x,y,1$。
然后大概弄一下就有 $(x+3y-2)(x-y-3)$。

~~然而小蓝本的方法适应性差一些。~~
其实我们用这个方法也是先处理一对在搞另一对的。
那我们有一个神奇的方法：主元！
显然我们可以提 $x$ 为主元，得到 $x^2+(2y-5)x+(-3y^2-7y+6)$。
自然想到分解最后一项变成：$x^2+(2y-5)x+(-3y+2)(y+3)$。
改一下形式，$x^2+(2y-5)x+(-y-3)(3y-2)=(x-y-3)(x+3y-2)$。
填项（列项）：这个我们一般是在解三次多项式的时候用。

$x^3+4x^2+5x+2=?$
~~随机化大佬表示显然 $x=-1$。~~
那怎么办呢？
~~此处膜拜随机化大佬。。。~~
是的，猜根！
我们就是瞪眼法求解。
我们除掉一个 $(x+1)$ 得到 $x^2+3x+2$
显然原式等于 $(x+1)^2(x+2)$。

是的，~~并不是你以为的小蓝本的增添项。~~

$3x^3-8x^2+3x+2=?$
一眼 $x=1$
得到 $(x-1)(3x^2-5x-2)=(x-1)(x-2)(3x+1)$。

test

一、基础题目（1）

显然原式 $=-a(a^3-3^3)=-a(a-3)(a^2+3a+9)$
答案为 B。

二、基础题目（2）

这题要求化简。
首先我们发现这个共根是不行的，因为你最终除下去也没法搞。
那思考怎么办。
一个自然的想法就是把根号内部配成完全平方式。
显然 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$。
然后看出配方后就可做了，别忘了最后一步化简。

第二题同理。
简单想想，$\frac{\sqrt{8-2\sqrt{15}}}{\sqrt 2}$ 这一步转化是显然的，
然后我们上面配方得到 $\frac{\sqrt 5-\sqrt 3}{\sqrt 2}$
分母有理化得到 $\frac{\sqrt{10}-\sqrt 6} 2$。

三、基础题目（3）

看到这题，后一项八成是处理不了。
发现前面可以因式分解变成 $(x+2y)(x-y)=0$。
思考分讨。

$x-y=0$
一眼消元，$\frac{5x^2}{2x^2}$。
显然此时规定有意义的话结果为 $2.5$。

$x+2y=0$
同上，得到 $x=-2y$。
那我们就得到了 $\frac{-y^2}{5y^2}=-0.2$。

0.2 集合&逻辑

0.2.1 集合

集合和我们 STL 里的非常像
其中的每个节点被称为元素，一般用小写字母表示
注意：集合可以有无数个元素（如有理数集），也可以元素不是数字（set<node>），其一般用大写字母表示。
我们表示元素在集合中叫做属于，记作 $\in$，反之叫作不属于，记作 $\not\in$
如，$a\in A,b\not\in A$
集合有几个显而易见的性质

确定性：对其的描述需要准确，不可笼统
如"较大的数"这样的表述是不精确的，无法构成集合
~~其实就是一句废话~~
互异性：一个集合中的元素互不相同，都只出现一次
无序性：这个就是指集合中元素的顺序不影响集合
例如有 $\{2,4,1,5,3\}=\{1,2,3,4,5\}$

类似实数，如果两个集合中的元素完全相同，记作 $A=B$，反之 $A\neq B$。

描述一个集合有列举法和描述法两种方式（除自然语言外）

列举法
列举法就是把每一个元素都写出来
比如 $A=\{1,2,3,\pi,4,5,7,9.1373,10^{10000000}\}$，用大括号括住所有的元素
例如集合“$x^2=x$ 的实数根”，就可以写作 $A=\{0,1\}$，非常直观
然而对于无限集合这个就不太好用了

描述法
我们对于一个数集，分成两部分
如“小于 $100$ 的实数”写作 $\{x\in\mathbb R\mid x<100\}$
前一部分定范围，后一部分描述性质
这个方法相对更实用
其中的字母 $x$ 可以换

数集	符号	数集	符号
自然数集	$\mathbb N$	实数集	$\mathbb R$
整数集	$\mathbb Z$	正整数集	$\mathbb N^,\mathbb Z^,\mathbb N_+,\mathbb Z_+$
有理数集	$\mathbb Q$	复数集	$\mathbb C$
空集（没有元素的集合）	$\empty$

比如奇数集 $\{x\in\mathbb Z\mid x=2k+1,k\in\mathbb Z\}$
如果前面的为 $x\in\mathbb R$ 或根据后面的限制（比如奇数集的例子）能够推导出其范围也可不写其所属的集合（如奇数集可写作 $\{x\mid x=2k+1,k\in\mathbb Z\}$）

0.2.2 集合基本关系与运算

子集与真子集
如果对于集合 $A,B$，且满足 $A$ 中任意一个元素均在 $B$ 中，则称 $A$ 为 $B$ 的子集，记作 $A\subseteq B$ 或 $B\supseteq A$，亦称 $B$ 包含 $A$，$A$ 包含于 $B$。
如果满足 $A\subseteq B,A\neq B$，则称 $A$ 是 $B$ 的真子集，$B$ 真包含 $A$，$A$ 真包含于 $B$，记作 $A\subsetneqq B$ 或 $B \supsetneqq A$。
显而易见的性质：
1. $A\subseteq B,B\subseteq A\Rightarrow A=B$
2. $A\subseteq A,\empty\subseteq A$
3. $A\subseteq B,B\subseteq C\Rightarrow A\subseteq C$
交集、并集、补集

两个集合共有的元素组成的集合称为交集，合并去重后组成的集合叫做并集，分别用符号 $\cap$ 和 $\cup$ 表示
例如，$A=\{1,2,3,4\},B=\{x\in\mathbb Z\mid x>1\}$
则 $A\cup B=\mathbb N^*,A\cap B=\{2,3,4\}$

补集类似两个集合做差
比如 $\complement_U{A}=\{x\in U\mid x\notin A\}$
其中这个 $U$ 称为全集，然而并没有啥用
我们一般满足 $A\subseteq U$
运算律
显然交并都满足交换结合律
分配律：$(A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup(B\cap C)$
也有人把并集类比为加法，交集类比为乘法
然而你不禁想，$(A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap(B\cup C)$。。。
所以我们还是看题来说吧
容斥原理
这个怎么说呢。。。
算了还是介绍一下吧。。。

这两个都是显然的不多说了
我们思考一个更复杂的情况
比如说我们有 $S=\{A_1,A_2,\dots,A_n\}$
其中每一个 $A_i$ 都是一个集合
那么我们显然有

\[|\bigcup_{i=1}^nA_i|=\sum_{num=1}^{n}(-1)^{num-1}\sum_{|S'|=num}|\bigcap_{A''\in S'}A''| \]

test

一、集合基础题（1）

$A=\{2,4,6,8\}=\{x\mid 0<x<10,x=2k+1,k\in\Z\}$

$A=\{\sqrt2,-\sqrt2\}$

$A=\{x\mid x\ge0.8\}$

$A=\{x\mid x\ge-4\}$

$A=\{x\mid x\neq0\}$

$A=\{x\mid x\ge2\}$

$A=\{0\}$

$A=\empty$

$A=\{x\mid x<1500,x=2k,k\in \N^*\}$

二、集合基础题（2）

$\notin\ \notin\ \subsetneqq\ \subsetneqq$

$\in$

$\subsetneqq$

$\subsetneqq$

$\supsetneqq\ \subsetneqq\ \supsetneqq\ \supsetneqq$

$\subsetneqq\ \subsetneqq\ \in$

三、集合基础题（3）

这个画圈的方法正式学名叫 Venn 图，用于表示集合的关系

四、集合基础题（4）

我们这个其实不太好列举
因为它们都是无穷集合

$A=\{-1,2,5,8,\dots\},B=\{2,5,8,\dots\}\Rightarrow A\supsetneqq B$

$A=\{0,2,4,6,8,\dots\},B=\{0,4,8,12\dots\}\Rightarrow A\supsetneqq B$

这两个其实直接看也能看出来
但如果它的原始式子乱的像翔一样时
就可以通过列举法找找规律
比如这两个集合（被称为除三余二的剩余系）
$\begin{cases}C=\{x\mid x=3m-1,m\in\Z\}\\D=\{x\mid x=3m+2,m\in\Z\}\end{cases}\Rightarrow C=D$

进一步思考普遍方法
比如称 $\{x\mid x=mk+n,m\in \N^*,n\in \N,n<m\}$ 为 $\alpha(m,n)$
定义 $A+x=\{A_1+x,A_2+x,A_3+x,\dots\}$
那不难发现上文中，$C=D=\alpha(3,2)-\infty$
第一题 $A=\alpha(3,2)-3,B=\alpha(3,2)$
然后不难发现 $k_1\ge k_2\Rightarrow\alpha(m,n)+k_1m\subseteq\alpha(m,n)+k_2m$

五、集合基础题（5）

$B=\{x\mid x\ge3\}$
$A\cup B=\{x\mid x\ge2\},A\cap B=\{x\mid 3\le x\lt4\}$

这个列举即可
$A=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\to A\cap B=\{1,2,3\},A\cap C=\{3,4,5,6\},A\cap(B\cup C)=\{1,2,3,4,5,6\},A\cup(B\cap C)=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$

(1) $\complement_{\R}(A\cup B)=\{x\mid x\le2\ 或\ x\ge10\}$
(2) $\complement_{\R}(A\cap B)=\{x\mid x\lt3\ 或\ x\ge7\}$
(3)$(\complement_{\R}A)\cap B=\{x\mid2\lt x\lt3\ 或\ 7\le x\lt10\}$
(4)$A\cup(\complement_{\R}B)=\{x\mid x\le2\ 或\ 3\le x\lt7\ 或\ x\ge10\}$

难度不大，主要是边界点需要考虑
记住原集有补集无，原集无补集有

六、集合基础题（6）

这个就很简单啦

这个就是~~经典常谈~~
并补为补交，交补为补并
即 $(\complement_UA)\cup(\complement_UB)=\complement_U(A\cap B),(\complement_UA)\cap(\complement_UB)=\complement_U(A\cup B)$
或者用人话说就是：
不在 A 或不在 B，除非有 A 还有 B
不在 A 且不在 B，凡在 AB 都去掉

七，集合基础题（7）

根据 $P\cup M=P$ 易得 $M\subseteq P$
那么 $a+2\in P\to-3\le a\le -1$
但是它不允许你用不等式直接搞了
所以写作 $\{a\mid -3\le a\le -1\}$
现在看着很麻烦，但有了区间就好了

首先说明 $1\in U,2\in A$
也就是 $a=\pm 1\ 且\ a+3=2\to a=-1\to \{-1\}$
取值范围其实就是一个集合
它可以是一个数，一堆数甚至没有数

$B\subseteq A\to a^2=a\lor a^2=3$
解得 $a\in\{0,1,\sqrt3,-\sqrt3\}$
去掉一个不合法的就剩下 $\{0,-\sqrt3,\sqrt3\}$

八、容斥基础题（1）

这个其实就是小学奥数题

$A\cap B\cap C=\emptyset$

这个画个图往里带入就可以了
只报 100：$20-3=17(人)$
只报 200：$18-3-1=14(人)$
只报 400：$21-1=20(人)$
报了 100 和 200：$3(人)$
报了 200 和 400：$1(人)$
结果为 $55$ 人
或者用公式 $20+18+21-3-1-0+0=55$

九、集合基础题（8）

Subtask 1

$\{a,\frac ba,1\}=\{a^2,a+b,0\},a^{2022}+b^{2023}=?$
我们发现，首先 $a$ 和 $\frac ba$ 里一定有一个 $0$。
那显然得到 $b=0$。
代入 $\{0,1,a\}=\{0,a,a^2\}$
那显然，$a^2=1$。
发现只有 $a=-1$ 合法。
答案 $=(-1)^{2022}+0^{2023}=1$

Subtask 2

小学计算题。
$4-1=3,4-2=2,4-3=1$
$5-1=4,5-2=3,5-3=2$
$6-1=5,6-2=4,6-3=3$
$C=\{1,2,3,4,5\},\sum_{x\in C} x=15$

Subtask 3

显然等价于 $2m\ge m+1$，一眼 $m\ge 1$。
答案： $\{m|m\ge1\}$

Subtask 4.1

显然一手 $m+1>-2,2m-1\le 5$。
空集让他自然炸掉就好。
得到 $\{m|-3<m\le 3\}$。
然而不对。
显然，我们如果满足为空集的话就都不需要考虑了。
而我们却给加了一个限制。

怎么办？
分讨把空集抽出来。
$B=\O\to m+1>2m-1\to m<2$
$B\neq \O\to m+1>-2,2m-1\le 5,m\ge 2\to 2\le m<3$
答案即为 $\{m|m<3\}$。

Subtask 4.2

先考虑空集，$a=0$，排除 D。
然后发现这题得分讨。

\[\begin{cases} x\le -\frac 1a\to -\frac 1a<-1\to 0<a<1 \qquad(a>0)\\ x\ge -\frac 1a\to -\frac 1a\ge 3\to -\frac 13\le a<0\qquad(a<0)\\ a=0 \end{cases} \to -\frac 13\le a\lt1 \]
选择 A。

Subtask 4.3

$A=\{0,1,2\}\to 2^3=8$

类似的，由于每个元素都有选和不选两种选择，子集个数 $x$ 和集合大小 $n$ 满足：

子集 $x=2^n$

真子集 $x=2^n-1$

非空子集 $x=2^n-1$

非空真子集 $x=2^n-2$

Subtask 4.4

我们大概想一下，$A$ 和 $B$ 的补集不交，应当是说明不在 $B$ 里面一定不在 $A$ 里面。
即 $A\subseteq B$。
A. 显然正确。
B. 显然为 $A\cup B=B$。
C. 只当 $A=B$ 时才成立。
D. 显然正确。

这样直接搞可能略显抽象。

十、集合基础题（9）

Subtask 1

我们发现 $A=\{x|-3\le x\le 1\}$。
则条件一等价于 $B\subseteq A$。
依旧分讨。
空集：$a-1>2a+1\to a<-2$。
其余：$-3\le a-1\le 2a+1\le 1\to-2\le a\le 0$
即 $\{a|a\le 0\}$。

第二问显然 $C\subseteq A$。
我们不严谨的写显然有 $-\abs{m+1}\le x\le \abs{m+1}$。
转化一步 $\abs{m+1}\le1$ 得到 $-2\le m\le 0$。

对于第二问，
正解可以选择严格的分讨或列两个双边不等式。
显然是一定有解非空的。

Subtask 2

只有 $4$ 正确。
这里解释一下最后一条。
显然这个方程有唯一解，不会在解集中有两个元素。
正确写法：$\set{(1,2)}$。

Subtask 3

显然，原问题等价于：
当函数 $y=ax+1$ 和 $y=\abs{x}$ 只有一个交点时，求 $x$ 取值范围。

显然 $\set{x\mid x>1\ 或\ x<-1}$。

Subtask 4

显然 $A=\set{m,-1,2},B=\set{m^3,-1,8}$。
显然只要 $m\neq -1$ 且 $m\neq 2$ 即可。
现在给出 $C=A\cup B$，分讨即可。
一定有的是 $\set{-1,2,8}$。

$m=8$
笔者也没有考虑到这种情况。
显然不满足元素和的条件，舍去。

$m^3=m$

$m=0$
合法，$C=\set{0,-1,2,8}$，积为 $0$。

$m=-1$
非法。

$m=1$
不满足元素和的条件。

$m^3=-1$
非法。

$m^3=2$
不满足元素和的条件。

$m^3=8$
非法。

其余情况
考虑 $m(m^2+1)=0$，方程有唯一解 $m=0$。

综上，$m=0$，选择 A。

Subtask 5

二次方程问题一定要考虑退化问题。

$k=0$
显然可行，$M=\set 1$。

$k\neq 0$
直接套解析式，$\Delta=1+4k(k+1)=4k^2+4k+1=(2k+1)^2=0\to k=-0.5$。

综上，$k=1\ 或\ -0.5$。
应当写作集合形式，$\set{1,-0.5}$

Subtask 6

(1)
显然 $A=\set{1,2}$。
只需满足：

$2\in B$，得 $4+4(a+1)+(a^2-5)=0$，即 $a^2+4a+3=0$，得 $a=-1\ 或\ -3$。

$1\not\in B$，得 $1+2a+2+a^2-5\neq0$，即 $a\neq \frac{-2\pm\sqrt{4+4\times 2}}2=-2\pm\sqrt 3$。

综上 $a\in\set{-1,-3}$。

(2)
显然 $B\subseteq A$。

$B=\empty$
$\Delta=4(a^2+2a+1)-4(a^2-5)=8a+24<0\to a<3$。

$B\neq \empty$
然后枚举一下：

$B=\set {1,2}$
显然无解。
可以看上面或者而用韦达定理：

\[\begin{cases} -2a-2=1+2\\ a^2-5=2 \end{cases} \to \begin{cases} a=2.5\\ a=\pm\sqrt 7 \end{cases} \to \empty \]

$B=\set 1$
首先，注意到 $\Delta=0$ 时 $a$ 有唯一解 $3$ 对应着 $B=\set 2$。
于是此条件无解。

$B=\set 2$
$a=3$。

综上 $a=\set{x\mid x\le 3}$。

Subtask 7.1

显然，答案为 $\set{1,2,3}$。

Subtask 7.2

显然，$A-B=\set{2,4},B-A=\set 6\to A*B=\set{2,4,6}\to C$。

Subtask 7.3

A 错误，$4\notin \set{0,1,2,3}$。
B 错误，$-3=-4+1\to -3\in [1]$。
C 正确。
D 正确。

Subtask 7.4

题很玄学，瞪眼法 $\set{x\mid \frac 1{20}\le x\le \frac14}$。

0.2.3 命题和逻辑

这个就挺水的
我们想一下初中学过的命题
一个合格的命题类似语文判断句：若 $p$，则 $q$。（其中 $p,q$ 称为条件，是一个只有真假两个值的语句）
~~我们根据懒的思想~~ 简记作 $p\Rightarrow q$
我们称 $p$ 是 $q$ 的充分条件，$q$ 是 $p$ 的必要条件
啥意思呢？
充分，相当于条件充分，类似“只要…就…”
就相当于“只要 $p$ 成立，那么 $q$ 就一定成立”
同理，必要，相当于必要约束，类似"只有…才…"
但这一切都建立在这个命题是真命题的前提下
如果他本身是假命题。就写作 $p\not\Rightarrow q$
当然那些就都不成立啦

然而它为什么要和集合放在一章里呢
只是因为他们都很水吗（
显然不是
我们可以把 $p$ 和 $q$ 都表示成一个集合
而对于任何一个情况都将其视作元素
那么 $p\Rightarrow q$ 就相当于 $P\subseteq Q$
任何一个元素但凡在 $P$ 中就一定在 $Q$ 中

这样说可能有点抽象
比如 $p:x=1,q:x^2=1$
显然我们相当于 $p:x\in\{1\},q:x\in\{-1,1\}$
而由于 $\{1\}\subseteq\{-1,1\}$
则自然 $p\Rightarrow q$

我们再从集合角度理解一下必要条件
显然集合 $Q$ 要更大
那么如果条件元素 $x$ 不在该集合里
他就不可能在集合 $P$ 中

而对于一种特殊情况 $p\Rightarrow q,q\Rightarrow p$
显然此时 $p$ 既是 $q$ 的充分条件，又是 $q$ 的必要条件，则称 $p,q$ 互为充分必要条件，简称充要条件，记作 $p\Leftrightarrow q$
我们从集合来理解就相当于 $P\subseteq Q,Q\subseteq P\Rightarrow P=Q$
所以又称条件 $p,q$ 等价

根据集合的定义不难看出，充分条件和充要条件均具有传递性
即 $(a\Rightarrow b,b\Rightarrow c)\Rightarrow a\Rightarrow c,(a\Leftrightarrow b,b\Leftrightarrow c)\Rightarrow a\Leftrightarrow c$

0.2.4 全称量词和存在量词

一个命题中可能出现“所有”或是“存在”这样的描述
我们自然定义，前者为全称量词命题，后者为存在量词命题
分别记作 $\forall$ 和 $\exists$
看一下我们在 0.2.3 中的那些命题其实都是全称量词命题（经典的“若 $p$ 则 $q$”）

由于我们大部分条件都针对变量来讲
所以我们可以在后面用括号表示它所表示的变量
比如 $p(x)$ 就表示一个和变量 $x$ 有关的条件（就是一个一般疑问句，只有真假两个值）
那么可能这样的命题就可简作：$\forall x\in A,p(x)$ 或是 $\exists x\in B,q(x)$
举个例子：所有的偶数都是实数
就可以记作 $\forall x\in\{x\mid x=2k,k\in \mathbb{Z}\}, x\in\mathbb{R}$

接下来探讨如何写一个命题的否定
这个简单来说就是抬杠方法论
比如"所有的星星都绕太阳转"
如果你要否定它显然是找一个不绕太阳的星星而非证明所有星星都不绕太阳转
又比如“世界上存在好人”
我们这个时候发现这个条件就是存在量词命题
它的否定显然只找招一个坏人是不够的
要否定这个命题必须证明所有人都是坏人

上面都是比较显然的
我们至少能发现一个基本性质：一个命题和他的否定是量词上相反的
我们有一个符号 $\neg$ 表示对于一个条件进行取反
那么有普遍性质：
一个全称量词 $\forall x\in A,p(x)$ 的否定即为 $\exists x\in A,\neg p(x)$
一个存在量词 $\exists x\in A,p(x)$ 的否定即为 $\forall x\in A,\neg p(x)$

这看起来很合理
但是最棒的其实是我们可以从集合的角度去思考这个问题
比如一个全称量词命题
我们还像原来一样将那个 $p(x)$ 写作集合 $P$
那么全称量词 $\forall x\in A,p(x)$ 就相当于 $A\subseteq P$
存在量词 $\exist x\in A,p(x)$ 就相当于 $A\cap P\neq \emptyset$
那么对于一个全称量词的否定 $\exists x\in A,\neg p(x)$
就相当于 $A\cap(\complement_AP)=\complement_AP\neq\emptyset$
这就是说，存在一个元素 $x$，使得 $x\in A$ 且 $x\not\in P$
那这就显然不满足 $A\subseteq P$ 了
对于另一种否定若 $A\in\complement_AP$ 就显然有 $A\cap P=\emptyset$
我们再一次证明了命题和集合间的紧密关系

0.2.5 逆命题，否命题，逆否命题

首先说明，这些都是对于全称命题来讲的
我们还是用一开始的表示方法 $p\Rightarrow q$ 进行说明
逆命题：$q\Rightarrow p$
否命题（与命题的否定完全不同！！！）：$\neg p\Rightarrow\neg q$
逆否命题：$\neg q\Rightarrow \neg p$

我们根据初中知识已经知道逆命题和原命题之间不存在直接的推证关系
举个例子：所有的人都是动物，然而不是所有的动物都是人
通过举例也容易发现否命题同样没有直接推证关系
还是那个例子：所有的人都是动物，然而不是人的未必不是动物

根据 0.2.3 我们对命题集合意义的讨论已经说明
若一个命题和其逆命题均成立，则说明这两个条件等价
类似的，否命题也有相同的性质
$P\subseteq Q,\complement_UP\subseteq\complement_UQ\Rightarrow P=Q$
这个可以反证，如果她不成立就一定有 $x$ 且满足 $x\not\in P,x\in Q$
而前半段就相当于 $x\in\complement_UP,x\not\in\complement_UQ$
由此得证

最后是逆否命题
先放结论：逆否命题正确性和原命题正确性相同
还是集合形式推理：
原命题相当于不存在 $x$ 使得 $x\in P$ 且 $x\not\in Q$
那么不在 $Q$ 中的一定不在 $P$ 中
也就是 $\complement_UQ\subseteq\complement_UP$
逆否命题也就从而得证了

这个还是以定义和推理为主
不考什么题，主要是体会集合推理的思想

test

一、命题基础题（1）

真
任意奇数都满足 $x=2k+1,k\in\Z$
那么其平方是 $4k^2+4k+1$ 显然也是奇数

假，例如 $2$

假，例如 $9$

真
这里的“互质”指两个数的最大公约数（$\gcd$）为 $1$
我们在这里给他加一个限定，就是不考虑零的情况，负数也不管最大公约数的符号
经典证明，设他们的 $\gcd$ 为 $d$，而这两个数分别是 $x$ 和 $x+1$
那么 $x$ 必然可以写作 $kd$，则 $x+1$ 写作 $kd+1$
由于 $d$ 是 $kd+1$ 的约数，可得 $d=1$

真
类似的设两个数为 $2k+1$ 和 $2k+3$，$k\in\Z$
设前面的是 $xd$ 则后面的即是 $xd+2$
$d$ 无非就 $1,2$ 两种可能
简单一想就是 $1$

真，不考虑零显然有一个 $2$ 作为 $\gcd$

真，如共轭根式

假，如两个 $\pi$

真，无理数一定是实数

假，必须规定是平四

这些题都不难，我们学习一下证明命题的方法
对于存在量词命题，只需要举例即可；而对于全程量词命题，则需要进行严谨的逻辑证明
容易思考证伪亦同，仅需进行命题否定即可

二、命题基础题（2）

注：由于作者~~太懒太菜不愿意写证明~~
所以后面涉及到证明的比较简单的例题就不细写了

必要不充分

充分不必要（别忘了 $0$）

既不充分也不必要

必要不充分

充分不必要

充分必要？
对吗？
不一定。
作者就是直接敲上就去看答案了
但你会发现他不一定对
因为他没有规定是几次方程！
显然二次方程是充分必要的我们不去管他
一次方程发现由于 $a=0$ 所以充分性依然成立
必要性呢？
$-1=0$ 随手一个反例（暂且认为他是关于 $x$ 的方程）
那答案应为充分不必要

三、命题基础题（3）

$\forall x\in\Z,x-1\le0$

$\exists x\in\Q,x-2<0$

存在被五整除的末位非零的数

所有四边形对角线都不互相垂直

存在对角线不互相平分的平四

存在三个连续整数且他们的积不是六的倍数

所有的一元二次方程都有实根

注意由于否定的本质是补集，所以注意 $a>b$ 要变成 $a\le b$ 而非 $a\lt b$
对于最后一个，“不总有” 的含义是一个存在量词命题

四、命题基础题（4）

Subtask 1.1

充分不必要。

$\set{x|0\lt x\lt 5}\supseteq \set{x|0\lt x\lt 2}\to B$。

必要性显然，排除 AD。
这个也是一个经典 trick 了。
$\Delta=\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2}{2}=0\to a=b=c$。
故选 C。

Subtask 1.2

看不懂，但应该是 B。

Subtask 1.3

套路求判别式 $\Delta=4a^2+8a+4-4a^2-8a=4>0$。
收获不大，考虑从异号入手。
$\begin{cases}a+1+1>0\\ a+1-1<0\end{cases}\to -2<a<0$。
充分不必要，找一个真子集就可以，故选 C。

Subtask 1.4

简单转化，后式即为 $\set{x|x>a+1\ 或\ x<a-1}$。
充分不必要，显然 $1>a+1\to a\in\set{x|x<0}$。

错。
可以挂等，不破坏“不必要性”。
综上 $\set{x|x\le 0}$。

Subtask 2.1

A 选项 $\Delta<0$，错误。
B 选项，显然正确。
C 选项，$x=4$ 且 $y=1$ 符合条件，正确。
D 选项，显然错误，如 $x=-1000$。

Subtask 2.2

D。

这个复杂一些，可能用自然语言更好理解。
原命题：对于所有实数都存在小于等于这个实数的自然数。
A：对于所有实数都存在大于这个实数的自然数。
B：对于所有实数都满足所有自然数都大于这个实数。
C：存在一个实数使得有一个自然数比这个实数大。
D：存在一个实数使得任意自然数都大于这个实数。

显然 A 错误，存在大于这个实数的自然数无法否定原命题。
C 同理，这并不影响存在不比这个实数大的自然数。
显然，D 正确，B 过于强了，
只要能证明存在一个实数，使得任意自然数都大于这个实数，
那么“对于所有实数都存在小于等于这个实数的自然数”即为假命题。

这个简单一些，选 D。

更普适的，对于条件只改量词不动内容，对于结论应当取反。

Subtask 3

等价于命题否定为真，
即 $\forall x_0\in R,mx_0^2+2mx_0-2\lt 0$。
显然，$m<0,\Delta=4m^2+8m=4m(m+2)\lt0\to -2<m<0$。

错。
考虑退化。
综上 $-2<m\le 0$。

第 1 章不等式和函数基础

1.1 不等式

1.1.1 初中知识复习

基础性质

首先我们给出几个相当简单的性质作为回顾
比如由一个最简单的不等式 $a>b$ 能够推导出

\[a+c>b+c\\ ac>bc(c>0)\\ ac<bc(c<0) \]

这三条都很简单，但有个问题：为什么他们是对的？
我们在这里引出一条基本证明方式：做差法
就是简单的通过 $a-b>0$ 来推导 $a>b$
~~然而这个的正确性。。。好像就没有证明的必要了~~
那我们第一条 $a+c-(b-c)=a-b>0$
第二条也可以用相同的方式：
$ac-bc=c(a-b)$
显然 $a-b>0$，而原式的符号就与 $c$ 的符号一致

或者我们可以用几何方法感性理解一下：
比如两个点同加同减，就相当于平移这两个点所在的线段，位置关系显然不变
而乘法就相当于拉伸，如果因子是正数就满足相对位置不变，否则就会把原来的位置关系调转

基础性质还有一个传递性和反身性
即 $a>b,b>c\Rightarrow a>c$ 和 $a>b\Rightarrow b<a$
这两个过于显然就不证明了
所以我们基础性质就是上述的这四条
其余比如 $a>b,c>d\Rightarrow a+c>b+d$
都是对上述基础性质的扩展

简单扩展

比如一个简单的例子：$a>b>0,c>d>0\Rightarrow ac>bd>0$
这个我们发现他很显然，但又不太好直接做差
这个时候就要祭出我们的做商法：对于两个正实数 $a,b$ 有 $a>b\Leftrightarrow \frac ab>1$
那这个就可以这么搞
比如说，$\frac{ac}{bd}=\frac ac*\frac bd>1$
这个看着并没有问题
然而你会发现，我们通过两个大于一的数字相乘大于一
然而却没有证明原定理成立
这显然是不行的。。。

那我们回归本质做差吧
$ac-bd=ac-bc+bc-bd=c(a-b)+b(c-d)>0$
我们可以把他优化一下变成 $ac>bc>bd$
这个就是通过比较中间值来证明的
上面都是显然结论，我们这几个方法通过下面的例题来学习一下

有两个比较常用的性质：

不等式加法 $a>b,c>d\Rightarrow a+c>b+d$
不等式乘法 $a>b>0,c>d>0\Rightarrow ac>bd$

性质整理

看着还是有点乱，我们整理一下：

显然的性质：反身性，传递性。
初中学过的：同加减，同乘除（含变号）。
简单扩展的：同号相加，同正同号相乘。
进一步扩展：
- $a>b>0\to a^n>b^n>0(n>0)$。
  $n\in N_+$ 时用同号相乘显然。
  分数可能难搞一些，可以考虑先推导根号的正整数性质，然后再进行拆分去做。
  无理数就近似为分数。
- $a>b>0\to \sqrt[n]{a}>\sqrt[n]b>0(n>0)$。
  整数情况见例一第六小问的逆否推导，可以扩展。
  分数情况和无理数情况就划归到上一条。

1.1.2 不等式技巧

1.1.2.1 二次不等式

例题：解不等式。

$x^2-5x-6<0$

$2x^2+x-6\ge0$

对于二次不等式，一般考虑图象法。
按照二函套路，显然能算出来 $-6<x<1$ 和 $x\le-2\ 或\ x\ge1.5$。

实际上，我们也可以选择分解因式再分讨。
但注意到分解出的因式正负关系是具有单调性的。
所以，我们可以把因式按照数轴的顺序排序，每次枚举前几个为正，然后计算即可。
这其实就是穿针引线的思想。

1.1.2.2 一次分式不等式

例题：

$\frac{x-2}{x+1}>0$

$\frac{4x+3}{1-x}\ge0$

$\frac{2x+5}{x+1}\le 1$

仔细想想直接分讨能过。

$\texttt{case 1: }x-2>0,x+1>0\to x>2\\ \texttt{case 2: }x-2<0,x+1<0\to x<-1$
同理 $\frac 34\le x<1$。
把 $1$ 减过去得到 $-4\le x\lt-1$。

我们有一个很神奇的方法：$\frac ab>0\iff ab>0$。
如果对于挂等的时候注意分母不可取等。

1.1.2.3 杂题

例题：

$(x-1)(x+2)(3x-1)>0$

$|x+3|>1-2x$

$\sqrt{3-x}<x-1$

第一题是高次不等式，考虑图像法。
~~穿针引线秒了。。。~~

关于穿针引线：

求根。

从小到大在数轴上排序。

判断初始是正还是负，（对于每一个根对应的次数）奇穿偶不穿。

为什么他是对的？
首先求根得到了零点信息，然后每过一个点就会一项反号。
如果此时对应一个偶项的话，符号会被正负相消，不会造成任何影响。

额外提示：
一般在使用穿针引线时直接将最高次项系数作为初始标准，
因为其对自变量趋于无穷时的函数值影响最大。

$x>1\ 或\ -2<x<\frac 13$。

附加题：

$(x-1)^2(x+2)(3x-1)>0$
显然一个偶次项代表其不会对答案造成任何影响，就是穿针引线的定义。
$x<-2\ 或\ \frac 13<x<1\ 或\ x>1$。

$(x-1)^2(x+2)^3(3x-1)^6>0$
同理可得 $\frac 13<x<1\ 或\ x>1$。

$x^3-2x^2-x+2<0$
猜根因式分解得到 $x=1$。
原式即为 $(x+1)(x-1)(x-2)<0$。
得到 $x<-1\ 或\ 1<x<2$。

第二题是绝对值方程。
简单分讨即可。

\[\begin{cases} x+3>0\to x+3>1-2x\to 3x>-2\to x>-\frac 23\\ x+3\le 0\to-x-3>1-2x\to x>4\to \O \end{cases} \to x>-\frac 23 \]

附加题：
显然这种题都是可以分讨的，但我们只介绍奇技淫巧。
因为有些题目只能分讨（见上题）。

$|x-1|>2$
显然这个直接几何意义即可。
大概看一眼就是 $x<-1\ 或\ x>3$

$|x-1|>|2x-3|$
有性质 $|a|>|b|\iff a^2>b^2$。
平方得 $x^2-2x+1>4x^2-12x+9$。
化简得 $(3x-4)(x-2)<0$ 解得 $\frac 34<x<2$

$|x-1|>|2z+3|$
同上，我们因式分解用平方差优化。
$(x-1-2x-3)(x-1+2x+3)>0\to (x+4)(3x+2)<0 \to -4<x<-\frac 23$

第三题是简单根式方程。
这题显然先平方。
右边负数一定不对直接排了即可。
搞完只需要弄一个二次不等式即可。

\[x-1\ge 0\to x\ge 1\\ 3-x<x^2-2x+1\\ x^2-x-2>0\\ (x-2)(x+1)>0\\ \to x<-1\ 或\ x>2\\ \to x>2 \]

然而是错的。
Why？

rt，$\sqrt {-2x}<x$

这题我们还那么解，$x\ge0,-2x<x^2\to x\ge 0,x(x+2)>0\to \dots$
然而这方程一眼无解。
问题在哪？
~~平方根双重非负性就判一半对才有鬼。~~
显然根号下也要判一手非负。

我们对原式加一个 $3-x\ge0$。
正确答案即为 $2<x\le 3$。

test

一、不等式基础（1）

我们先介绍一下证明题基本思路
从条件推结论叫做综合法
从结论逆向搞条件叫分析法
这两种我们用题来看吧。。。

综合：

\[\begin{aligned} &a>b>0\\ &\texttt{divide a*b}\to \frac 1b>\frac 1a\\ &\texttt{mul c}\to \frac ca>\frac cb \end{aligned} \]
分析：

\[\begin{aligned} \frac ca>\frac cb& \iff \frac 1a<\frac 1b\\ &\iff b>a \end{aligned} \]
我们把分析法的步骤倒着写就是答案了
但是他还是比较玄学
所以我们还是直接用综合搞了

$a=1,b=0,c=10000,d=0\Rightarrow a-b<c-d$

$a=-1,b=-1000,c=-1,d=-1000\Rightarrow ac<bd$

还是用和以前类似的间隔法

$\begin{aligned} &\because a>b,c<0\\ &\therefore ac<bc\\ &\because c<d,b>0\\ &\therefore bc<bd\\ &\therefore ac<bd\\ \end{aligned} $

这个用到了以前说过的不等式乘法

\[\begin{aligned} \\ &\because a<b<0 \\ &\therefore -a>-b>0 \\ &\therefore a^2>b^2>0 \\ &\therefore \frac 1{a^2}<\frac 1{b^2}\\ &\text{or choose this.}\\ &\because\frac 1{a^2}-\frac 1{b^2}=\frac{(b+a)(b-a)}{a^2b^2},b+a<0,b-a>0,a^2b^2>0\\ &\therefore \frac 1{a^2}-\frac 1{b^2}<0\\ &\therefore \frac 1{a^2}<\frac 1{b^2}\\ \end{aligned} \]

这个直接想很难受
我们倒着从结论推条件的抽象方法由于不能证明可以逆推
所以不攻自破不能用
咋办？
无脑做差+共轭根式！
$\sqrt a-\sqrt b=\frac{(\sqrt a+\sqrt b)(\sqrt a-\sqrt b)}{(\sqrt a+\sqrt b)}=\frac{a-b}{(\sqrt a+\sqrt b)}$
上下显然均为正数，显然这个就能搞了
还有另一种抽象方法：反证法（逆否等价推理法）
比如说我们假设结论不成立去推理条件矛盾
我们发现这正是逆否的推理逻辑
\[a>b\to\sqrt a>\sqrt b\\ \iff \sqrt a\le\sqrt b\to a\le b \]
我们证明下面的就可以了
由于我们有的时候搞否定不如推矛盾
所以我们还是喜欢用反证法

二、不等式基础（2）

我们发现这个应该使用不等式加法
比如说 $2<x<3,-4<-y<-3\Rightarrow -2<x-y<0$
其实这题要是填空非常简单
我们瞪眼也能看出来最大最小应该是他
因为 $x$ 比二大比三小，$y$ 比三大比四小，那“交叉相减”应当也是显然的
但是~~你肯定不能写“瞪眼可得”~~，所以一个正确的方法还是必要的

思路基本相同

\[\begin{aligned} &\because 2<x<3\\ &\therefore 4<2x<6\\ &\because 3<y<4\\ &\therefore -4<-y<-3\\ &\therefore 0<2x-y<3\\ \end{aligned} \]

这个应给是用 $x$ 乘上 $\frac 1y$

\[ \begin{aligned} &\because y>3,y<4\\ &\therefore 1>\frac 3y,1<\frac 4y\\ &\therefore \frac14<\frac1y<\frac 13\\ &\because 2<x<3\\ &\therefore \frac12<\frac xy<1 \end{aligned} \]

补一个题：已知 $a,b,m>0$，$a<b$，证明 $\frac ab<\frac{a+m}{b+m}$
我们做差通分 $\frac{a(b+m)-b(a+m)}{b(b+m)}=\frac{m(a-b)}{b(b+m)}$

\[ \begin{aligned} &\because a<b\\ &\therefore a-b<0\\ &\because b,m>0\\ &\therefore m(a-b)<0,b+m>0\\ &\therefore b(b+m)>0\\ &\therefore \frac{m(a-b)}{b(b+m)}<0\\ &\therefore \frac{am+ab-bm-ab}{b(b+m)}<0\\ &\therefore \frac{a(m+b)-b(a+m)}{b(b+m)}<0\\ &\therefore \frac ab-\frac{a+m}{b+m}<0\\ &\therefore \frac ab<\frac{a+m}{b+m} \end{aligned} \]

三、不等式基础（3）

遇事不决就做差！

\[\begin{aligned} \frac 1{\sqrt 2-1}-(2\sqrt 3-1)&=\sqrt 2+1-2\sqrt 3+1\\ &=2+\sqrt2-2\sqrt3\\ &=\frac{(2+\sqrt2-2\sqrt3)(2+\sqrt2+2\sqrt3)}{2+\sqrt2+2\sqrt3}\\ &=\frac{6+4\sqrt2-12}{2+\sqrt2+2\sqrt3}\\ &=\frac{(-6+4\sqrt2)(-6-4\sqrt2)}{(2+\sqrt2+2\sqrt3)(-6-4\sqrt2)}\\ &=\frac{36-32}{(2+\sqrt2+2\sqrt3)(-6-4\sqrt2)}\\ &=\frac 4{(2+\sqrt2+2\sqrt3)(-6-4\sqrt2)}<0\\ \therefore \frac 1{\sqrt 2-1}<2\sqrt 3-1 \end{aligned} \]
这个方法写证明好一些
填空就麻烦了
一个神奇的“待定符号法”（下用符号 $\oplus$ 表示未知的符号）

\[\begin{aligned} \frac 1{\sqrt 2-1} &\oplus 2\sqrt 3-1\\ \sqrt 2+1 &\oplus 2\sqrt 3-1\\ \sqrt 2 &\oplus 2\sqrt3-2\\ 2 &\oplus 12+4-8\sqrt3\\ 8\sqrt3 &\oplus 14\\ 192 &\oplus 196 \Rightarrow \frac 1{\sqrt 2-1} < 2\sqrt 3-1 \end{aligned} \]
注意他要求我们干的都是充要转化
所以注意平方的时候两边需要验一下均为正

四、不等式基础（4）

这里我们来研究一下，做差法和做商法适用于什么条件之下

这个适合做差
$\because\Delta=(x^2-6x+9)-(x^2-6x+8)=1>0\\\therefore(x-3)^2>(x-2)(x-4)$

同上
$\because \Delta=x-1>0\\\therefore x^2>x^2-x+1$

这个题好像都不容易
做商一般都是确定两个正负关系才能搞
做差试试
$\Delta=x^2+y^2+1-2(x+y-1)$
这个有点像完全平方
我们导一下式子

\[\begin{aligned} \Delta&=(x+y-1)^2-2(x+y-1)+1-1-2xy+2x+2y\\ &=(x+y-2)^2-1-2xy+2x+2y \end{aligned} \]
我们发现这么导是没有出路的
我们不如直接拆括号试一下
发现 $x,y$ 之间无交叉的项
考虑分别处理

\[\begin{aligned} \Delta&=x^2-2x+y^2-2y+3\\ &=(x-1)^2+(y-1)^2+1>0 \end{aligned} \]
这个对称式行不行呢？
令 $a=x+y,b=xy$ 则 $\Delta=a^2-2b-2a+2$
貌似也不行
可能不等式中对称式用的少

这个我们貌似还得做差
$\Delta=-x^2+2x-1=-(x^2-2x+1)=-(x-1)^2\le0$
或者我们分类

\[\begin{cases} A<B\qquad (x\neq 1)\\ A=B\qquad (x=1) \end{cases} \]

这题两种都行，因为两数均为正数

\[\begin{aligned} \text{minus method.}&\\ \Delta&=\frac{(x+2)^2}{x^2+1}-\frac{(x+2)^2}{x^2+2}\\ &=\frac{(x+2)^2}{(x^2+1)(x^2+2)}\ge0\\ \therefore A\ge B\\ \text{fraction method.}&\\ \Delta&=\frac{x^2+2}{x^2+1}=1+\frac{1}{x^2+1}>1\\ \therefore A\gt B \end{aligned} \]
为啥两种方法算出来的会不一样呢？
发现做商的时候过于草率
原数有可能为零！

\[\begin{cases} A>B\qquad (x\neq -2)\\ A=B=0\qquad (x= -2) \end{cases} \]

这题很简单，做差随便搞就出来了

\[\begin{cases} A>B\qquad (b>0)\\ A<B\qquad (b<0) \end{cases} \]

五、不等式基础（5）

第一题考虑消元
易得 $c=-a-b$ 将其代入，做差得 $\frac{-a-b}{a+a+b}-\frac{-a-b}{b+a+b}=\frac{a+b}{a+2b}-\frac{a+b}{2a+b}=\frac{(a+b)(a-b)}{(a+2b)(2a+b)}$
接下来用反证法

引理：
假设 $c\ge 0$，则 $a>b>0$
所以 $a+b+c>0$
与 $a+b+c=0$ 相矛盾
得到 $c<0$，同理可得 $a>0$

证明 $a+b>0,2a+b>0$：
由于 $c<0,a+b+c=0$
所以 $a+b>0$
所以 $2a+b>0$

证明 $a-b>0$：
由 $a>0$ 可得

证明 $a+2b>0$：
$a+2b=a+b+c+b-c=b-c>0$

综上原式为正

其实这题不用消元可以直接倒推
同上，$c<0$
原式等价于 $\frac 1{a-c}<\frac 1{b-c}$
显然，$a-c>0,b-c>0$
原式等价于 $a-c>b-c$
同加得 $a>b$，显然成立，故得证

容易想做差因式分解
先整充分
$\Delta=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
前项显然为正，只需证明 $a^2+ab+b^2>0$

这个我们直接完全平方不好过
我们可以考虑原式是二次式
选 $a$ 为主元则只需证判别式 $\Delta=b^2-4b^2=-3b^2<0$ 成立即可
这个已经显然了

有了这个必要就简单了
因式分解后后项为正可以直接除掉
得前项为正，一移项就有了

做个差试试。

\[\begin{aligned} \Delta &=\sqrt a-\sqrt b-\sqrt{a-b}\\ &=\frac{(\sqrt a-\sqrt b+\sqrt{a-b})(\sqrt a-\sqrt b-\sqrt{a-b})}{(\sqrt a-\sqrt b+\sqrt{a-b})}\\ &=\frac{(\sqrt a-\sqrt b)^2-(a-b)}{(\sqrt a-\sqrt b+\sqrt{a-b})}\\ &=\frac{a+b-2\sqrt{ab}-a+b}{(\sqrt a-\sqrt b+\sqrt{a-b})}\\ &=\frac{2(b-\sqrt{ab})}{(\sqrt a-\sqrt b+\sqrt{a-b})}\\ &=\frac{2\sqrt b(\sqrt b-\sqrt a)}{(\sqrt a-\sqrt b+\sqrt{a-b})}<0\\ &\therefore A<B. \end{aligned} \]

六、不等式基础（6）

Subtask 1

A 选项考虑 $a=1,b=-1$。
B 选项考虑 $a=2,b=1$。
C 选项考虑 $c=0$。
D 选项正确，同乘除非负不变号。

A 选项错误。
B 选项考虑 $m=-1,a=10001,b=1,\frac m {b-a}=\frac 1{10000}<1$。
C 选项考虑 $\Delta=\frac{a-m}{b-m}-\frac ab=\frac{ab-bm-ab+am}{b(b-m)}=\frac{m(a-b)}{b(b-m)}<0$。
故原式成立。
D 选项考虑
$\begin{aligned} \Delta&=\frac{ab^2-b^2m-a^2b+a^2m}{a^2b^2}\\&=\frac{ab(b-a)+(a+b)(a-b)m}{a^2b^2}\\&=\frac{a-b}{a^2b^2}(am+bm-ab)<0\end{aligned}$
故原式不成立，符号取反。

综上，答案为 DC。
对于选择题：

特殊值判断（比较复杂的式子）。

不等式性质（非常简单的式子）。

直接做差/化简。

Subtask 2

\[\begin{aligned} (1)\quad\Delta &= a^2-4a+b^2+2b+5\\ &=(a-2)^2+(b+1)^2 \ge 0\\ \therefore& \begin{cases}a^2+b^2=4a-2b-5\qquad (a=2,b=-1)\\a^2+b^2>4a-2b-5\qquad\text{otherwise}\end{cases}\\ (2)\quad\Delta &=\frac{a\sqrt b}{b}+\frac{b\sqrt a}{a}-\sqrt a-\sqrt b\\ &= \frac{a^2\sqrt b+b^2\sqrt a-ab\sqrt a-ab\sqrt b}{ab}\\ &= \frac{(a-b)a\sqrt b-(a-b)b\sqrt a}{ab}\\ &= \frac{(a-b)(a\sqrt b-b\sqrt a)}{ab}\\ &= \frac{(a-b)\sqrt a\sqrt b(\sqrt a-\sqrt b)}{ab}\\ \because &(a-b)(\sqrt a-\sqrt b)\ge 0\\ \therefore &\Delta\ge 0\\ \therefore &\frac{a}{\sqrt b}+\frac{b}{\sqrt a}\ge\sqrt a+\sqrt b\\ &\text{Or use method 2.}\\ \Delta &=\frac{(\sqrt a)^3+(\sqrt b)^3}{\sqrt{ab}}-(\sqrt a+\sqrt b)\\ &=\frac{(\sqrt a+\sqrt b)(a+b-\sqrt{ab})}{\sqrt{ab}}-(\sqrt a+\sqrt b)\\ &=\frac{(\sqrt a+\sqrt b)(a+b-2\sqrt{ab})}{\sqrt{ab}}\\ &=\frac{(\sqrt a+\sqrt b)(\sqrt a-\sqrt b)^2}{\sqrt{ab}}\ge0\\ &\text{In fact,looking at the last few steps of method 1.}\\ \Delta&=\frac{(\sqrt a+\sqrt b)(\sqrt a-\sqrt b)\sqrt a\sqrt b(\sqrt a-\sqrt b)}{ab}\\ &=\frac{\sqrt{ab}(\sqrt a+\sqrt b)(\sqrt a-\sqrt b)^2}{ab}\ge 0\\ (3)\quad\Delta&=\sqrt 6+\sqrt 7-(\sqrt 5+\sqrt 8)\\ &=\sqrt{13+2\sqrt{42}}-\sqrt{13+2\sqrt 40}\\ \because & \sqrt {42}>\sqrt {40}\\ \therefore & 13+2\sqrt{42}>13+2\sqrt 40\\ \therefore & \sqrt{13+2\sqrt{42}}>\sqrt{13+2\sqrt 40}\\ \therefore &\Delta >0\\ \therefore &\sqrt 6+\sqrt 7>\sqrt 5+2\sqrt 2\\ \end{aligned} \]

Subtask 3

对于第一题考虑直接同向累加。
$1<a<3,2<b<4\to 2<2a<6,-4<-b<-2\to-2<2a-b<4$。
对于第二题考虑解出 $x,y$ 再做。
然而发现解这个是复杂的，因为不等式让我们很难受。
考虑换元。
$\begin{cases}m=4x-y\\ n=2x+y\end{cases}\to\begin{cases}x=\frac 16m+\frac 16 n\\y=-\frac 13 m+\frac 23 n\end{cases}\to 1.5\le5x+y=\frac 12 m+\frac 32 n\le15$。

Subtask 4.1

考虑就是裸题。

1.1.3 基本不等式

考虑一个简单的式子 $(\sqrt x-\sqrt y)\ge 0$。
简单变形可得 $x+y\ge2\sqrt{xy}(x\ge 0,y\ge 0)$。
根据这个定义显然当 $x=y$ 时取等。
也有写法作 $x^2+y^2-2xy\ge 0$。

他有一些性质，比如说二次，齐次，对称等等。

二函角度：
取 $x$ 为主元，$\Delta=4y^2-4y^2=0$。

几何角度：

~~哲学角度：~~
两侧总系数相同，系数集中说明更大，因为其会导致较大的数展现更多。（正负不论）

这部分怎么考呢？
直接应用？

显然 $x+y\ge 2\sqrt{xy}=2$。
太简单啦~

那看看下面这个水题，
比如说：

。。。

要不我们还是先来几个简单的模型吧。

1.1.3.1 对勾函数

一般称形如 $f(x)=ax+\frac bx(ab>0)$ 的函数为对勾函数。
比如说：

这些函数长得不太一样。
但我们大概可以分成两类：

$ab>0$
- $a>0,b>0$
  发现对于函数右半支有最小值 $ax+\frac bx\ge2\sqrt {ab}$ 当 $ax=\frac bx\to x=\pm\frac{\sqrt{ab}} a$ 舍去负解时取等。
  对于左半支则可以进行换元处理。
  比如 $(-ax)+(-\frac bx)\ge 2\sqrt {ab}$，两边都取反得到函数最大值 $-2\sqrt{ab}$，当取等时即上述取等值舍去正解取等。
- $a<0,b<0$
  使用换元方法，类似。
$ab<0$
~~所以如果你仔细看定义了他并非对勾函数。~~
这个函数有什么好的性质值得研究吗？
比如说对于 $ax+\frac bx$ 这个东西，先假定 $a>0,b<0,x>0$。
我们发现你可以对于 $ax+(-\frac bx)$ 处理。
显然其 $\ge \sqrt{-ab}$。
这个并非函数最小值。
如果你一定要知道的话他其实是：

这条线段长度的最小值，对于这个 $a=1,b=-1$ 的图象，最小值就是二。
并且根据研究这个东西会在 $x=\pm\frac {\sqrt{-ab}}a$ 处取到。
根据图象一般其被称作飘带函数。

对勾函数是一类比较基础的模型，是对基本不等式很直接的应用。

test

这一部分多是比较直接的应用，

Subtask 1.1

直接使用基本不等式（显然两项均非负）
$2x^2+3y^2\ge2\sqrt{6x^2y^2}=2\sqrt 6$。

注意到 $a,b$ 给了为正的条件，
考虑两项乘积可做。
$1=\frac 1a+\frac 2b\ge 2\sqrt {\frac 2{ab}}\to\sqrt{\frac 2{ab}}\le \frac 12\to ab\ge 8$。

考虑乘积非负，这是一个很恶心但能做的条件。
然后发现两项均正。
考虑导进去 $\sqrt{ab}\ge 2\sqrt {\frac 2{ab}}\to ab\ge 2\sqrt 2$。

Subtask 1.2

只需搞中间项即可。
$\Delta_1=\frac{(a-b)^2}2\ge 0$。
$\Delta_2=\Delta_1\ge 0$。
~~貌似并不需要基本不等式。~~

如果你把它展开：
$2a^2+2b^2\ge a^2+b^2+2ab\ge 4ab$。
这个就变成了均为四项齐次。
根据哲学理解系数集中或者加减之后基本不等式可做。

对于指数集中来说要求项数相同。
于是我们可以数项数再进行考虑。

Subtask 1.3

有问题是一定有问题的。
显然最小值得是 $1$。
考虑“均值不等式取等”不等同于“函数取最小值”。
因为现在搞出来的东西是个变量。
这只能说明他在这个点和原函数重合（可以看看飘带函数）。

『$2x$ 在不取等的时候和 $2$ 没有任何关系。』

~~阿布忘了的口诀：~~一正二定三相等。
这个就是三个注意事项。
首先得是正的（起码非负）。
然后求出来得是定值（要不不能用）。
接着记得判取等条件。

注意每一步操作要保证正确。
显然不满足 $\forall x\in R,2x=2$。
所以这步放缩就不成立。

Subtask 1.4

裸对勾，显然 $x=2$，不在赘述。

忽略常数还是裸对勾。
$-3x-\frac 4x$ 这部分发现只能先符号取反处理。
$3x+\frac 4x\ge4\sqrt 3$，则答案为 $2-3x-\frac 4x\le 2-4\sqrt3$。

$x>1$ 实际上保证了两项非负。
但我们发现这个 $x-1$ 乘不下去。
考虑补一个常量还是简单的。
$x+\frac 1{x-1}=1+(x-1+\frac 1{x-1})\ge 3$。

Subtask 1.5

这两个其实是小奥问题。
我们来从不等式的角度抽象一下。

$ab=100\to2a+2b=2(a+b)\ge 4\sqrt {ab}=40$，取等条件 $a=b=10$。g

$a+b=18\ge 2\sqrt {ab}\to ab\le 81$，取等 $a=b=9$。

Subtask 1.6

考虑发现不行还是做差。
$\Delta_1=\frac {2ab-a\sqrt {ab}-b\sqrt {ab}}{a+b}=\frac{-\sqrt{ab}(a+b-2\sqrt{ab})}{a+b}\le 0$。
$\Delta_2=1+1+\frac ab+\frac ba-4=\frac{(a-b)^2}{ab}\ge0$。
$\Delta_3=\frac{1-\sqrt{8ab}+a\sqrt{ab}+b\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}$……

如果你的因式分解功力逆天的话，你可以选择：

\[\begin{aligned} \Delta_3 &=\frac{1-\sqrt{8ab}+a\sqrt{ab}+b\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}\\ &=\frac{(a^{\frac 34}b^{\frac 14}-a^{\frac 14}b^{\frac 34})^2+2ab-\sqrt{8ab}+1}{\sqrt{ab}}\\ &=\frac{(a^{\frac 34}b^{\frac 14}-a^{\frac 14}b^{\frac 34})^2+(\sqrt{2ab}-1)^2}{\sqrt{ab}}\ge 0\\ \end{aligned} \]
然而这有点过于逆天了。
考虑直接做。
$a+b+\frac 1{\sqrt{ab}}\ge2\sqrt{ab}+\frac1{\sqrt{ab}}\ge2\sqrt 2$。
如果你仔细观察一下，他们其实本质相同。
不过是用不等式还是用完全平方罢了。

我们看一下取等条件，
一二都显然我们不论。
对于三我们有 $a=b=\frac{\sqrt 2}2$。

Subtask 1.7

第一题常见非正解：
考虑 $\sqrt{xy}\le \frac 12,\frac 1x+\frac 1y\ge 2\sqrt{\frac 1{xy}}=\frac{2}{\sqrt{xy}}\ge 4$。

显然当 $x=y=\frac 14$ 时取等。
然而注意到这个东西用了两次均值。
如果你还记得自由度的定义加上题目条件理论自由度 $f^*=-1$ 原方程很可能无解。
只不过他有等价的假条件才把自由度升了上去。

负自由度必须判取等条件，否则容易放缩过度，变成类似 Subtask 1.3 中的情况。

其实对于第一题我们有几个很显然的思路。

消元
对称/齐次/……

我们都试一试。

直接消元法
$\frac 1x+\frac 1{1-x}=\frac{1-x+x}{x(1-x)}=\frac 1{x(1-x)}=\frac1{-(x^2-x+\frac 14-\frac 14)}=\frac1{\frac 14-(x-\frac 12)^2}$……
首先分母肯定非负，最小值就是让分母最大。
不难想到 $x=\frac 12\to ans=4$。
这个东西是一个齐 $-1$ 次式，想把它变成齐零次自然想到乘数。
$\frac 1x+\frac 1y=2+\frac xy+\frac yx\ge4$。

第二题，考虑同样的方法。

直接消元法
$x+2y=xy\to x=\frac{2y}{y-1}\to x+2y=\frac{2y^2}{y-1}$。
显然有 $y-1>0$。

然而这并不好做。
齐次相乘法
考虑相乘化零次。
$x+2y=2+2+\frac{4y}x+\frac xy\ge 8$。

第三题，发现他中间并非齐次。
考虑直接展开。
$S=\frac{2xy+x+2y+1}{\sqrt{xy}}=2\sqrt{xy}+\frac{6}{\sqrt{xy}}\ge2\sqrt{12}=4\sqrt 3$。
取等要求：$\begin{cases}x+2y=5\\xy=3\end{cases}$ 取等。

$x=5-2y\to -2y^2+5y-3=0\to(2y-3)(-y+1)=0\to y=1.5/1\to \begin{cases}x_1=2\\y_1=1.5\end{cases} \begin{cases}x_2=3\\y_1=1\end{cases}$。

然而这题有一个玄妙的错解：
直接均值得到 $S\ge 4\sqrt 2$。

然而你发现并没有用到题目条件就得到了答案，
考虑取等条件 $x=1,y=0.5$ 并不满足题目条件。
这就是一个负自由度导致过度放缩的例子。

第四题依旧齐次。
然而发现他次数不太对。
考虑乘 $\sqrt{xy}$，$S=\frac {\sqrt y}{2\sqrt x}+\frac {\sqrt x}{2\sqrt y}+\frac{8\sqrt{xy}}{x+y}$。

这个可能没什么好想法。
一次均值好像不太行。

那只能暴力的想，$\frac {\sqrt y}{2\sqrt x}+\frac {\sqrt x}{2\sqrt y}\ge 1,x+y\ge 2\sqrt{xy}$。
可直接代入符号就错了。

那就回归基本：通分。
$S=\frac{y(x+y)+x(x+y)+16xy}{2xy(x+y)}=\frac{x^2+18xy+y^2}{2xy(x+y)}$
我们将下面的 $xy$ 替换。
$S=\frac{x^2+18xy+y^2}{2(x+y)}$
然后考虑这个东西可以拆项跑基本不等式。
$S=\frac{16+(x+y)^2}{2(x+y)}=\frac 8{x+y}+\frac{x+y}2\ge4$。

取等条件 $x+y=4,xy=1\to y^2-4y+1=0\to y_{1,2}=2\pm\sqrt 3$。
总之是对的。

Subtask 1.8

第一题其实很简单。
$a/2+b/2\ge \sqrt {ab},a/2+c/2\ge \sqrt{ac},b/2+c/2\ge \sqrt{bc}$，累加即可，取等显然。
第二题同理，三个均值一乘就行。

Subtask 1.9

这题看着相当难。
然而简单转化一下，$S=3^{2x}+3^y\ge 2\sqrt 9=6$。

Subtask 2.1

1.1.3.2 齐次与基本不等式

posted @ 2025-05-14 22:30 2025ing 阅读(59) 评论(0) 收藏举报

刷新页面返回顶部

数集	符号	数集	符号
自然数集	\(\mathbb N\)	实数集	\(\mathbb R\)
整数集	\(\mathbb Z\)	正整数集	\(\mathbb N^,\mathbb Z^,\mathbb N_+,\mathbb Z_+\)
有理数集	\(\mathbb Q\)	复数集	\(\mathbb C\)
空集（没有元素的集合）	\(\empty\)

2025ing

数学基础 0.0.0

第 0 章 基础数学

0.1 初中简单计算

0.1.1 快速多项式乘法

0.1.2 主元思想

0.1.3 对称式

test

一、代数式乘法

二、主元基础练习

三、对称式基础练习

四、ex初二分式题（对称式应用）

0.1.4 齐次

0.1.5 共轭根式

test

一、齐次基础题（1）

二、齐次基础题（2）

三、齐次进阶题（1）

四、共根基础题（1）

五、共根基础题（2）

0.1.6 自由度&消元&换元

test

一、解方程基础（1）

二、解方程基础（2）

三、解方程进阶（1）

四、解方程进阶（2）

0.1.7 乘法公式 & 因式分解

test

一、基础题目（1）

二、基础题目（2）

三、基础题目（3）

0.2 集合&逻辑

0.2.1 集合

0.2.2 集合基本关系与运算

test

一、集合基础题（1）

二、集合基础题（2）

三、集合基础题（3）

四、集合基础题（4）

五、集合基础题（5）

六、集合基础题（6）

七，集合基础题（7）

八、容斥基础题（1）

九、集合基础题（8）

Subtask 1

Subtask 2

Subtask 3

Subtask 4.1

Subtask 4.2

Subtask 4.3

Subtask 4.4

十、集合基础题（9）

Subtask 1

Subtask 2

Subtask 3

Subtask 4

Subtask 5

Subtask 6

Subtask 7.1

Subtask 7.2

Subtask 7.3

Subtask 7.4

0.2.3 命题和逻辑

0.2.4 全称量词和存在量词

0.2.5 逆命题，否命题，逆否命题

test

一、命题基础题（1）

二、命题基础题（2）

三、命题基础题（3）

四、命题基础题（4）

Subtask 1.1

Subtask 1.2

Subtask 1.3

Subtask 1.4

Subtask 2.1

Subtask 2.2

Subtask 3

第 1 章 不等式和函数基础

1.1 不等式

1.1.1 初中知识复习

第 0 章基础数学

第 1 章不等式和函数基础