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使用 Lambda 表达式编写递归四:实现 Θ 组合子

2013-04-10 20:33 by 鹤冲天, ... 阅读, ... 评论, 收藏, 编辑
Fish and Scales
《Fish and Scales》      作者:埃舍尔

本系列文章目录:

 

上一篇文章 我们实现 Y 组合子,这篇文章讨论 Θ 组合子的实现。(Θ 读 Theta,希腊语第八个字母,小写为 θ。)

继续使用前文中的类型假定,假定递归函数:

  • 参数为 int;
  • 返回值为 long。

Θ 组合子

Θ 组合子也是一个常见不动点组合子,由 阿兰·图灵 发现,也称为图灵不动点组合子:

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Θ = (λx.λy.(y(x x y))) (λx.λy.(y(x x y)))

传值调用形式为((x x y) η-展开为 λz. x x y z):

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Θv = (λx.λy.(y(λz. x x y z))) (λx.λy.(y(λz. x x y z)))

不过我还是喜欢把 y (x x y) η-展开为: λn.(y (x x y) n),得出:

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Θ = (λx.λy.λn.(y(x x y) n)) (λx.λy.λn.(y(x x y) n))

定义一个中间变量 h,令:

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h = λx.λy.λn.(y(x x y)n)

则:

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Θ = h h 
Θ = h(h)

实现 h

确定 h 的类型

根据前文的推断,Θ 的类型为 Func<Func<Func<int, long>, Func<int, long>>, Func<int, long>> , 这也是 h 返回值的类型。

h 可调用自身 h(h),需要用到 上一篇文章 用的 SelfApplicable<TResult>委托:

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delgate TResult SelfApplicable<TResult>(SelfApplicable<TResult> self);

h 的类型为:SelfApplicable<Func<Func<Func<int, long>, Func<int, long>>, Func<int, long>>>。

实现 h

对 h 作一步简单变换:

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h = λx.λy.λn.(y(x x y)n)
h = λx.λy.λn.(y(x(x)(y))(n)

使用本系列第一篇文章总结出的规律,可写出:

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SelfApplicable<Func<Func<Func<int, long>, Func<int, long>>, Func<int, long>>> h = x => y => n => y(x(x)(y))(n);

实现 Θ

根据 Θ 的简单式:

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Θ = h(h)

可写出:

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Func<Func<Func<int, long>, Func<int, long>>, Func<int, long>> Θ = h(h);

与 h 的代码放在一块:

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SelfApplicable<Func<Func<Func<int, long>, Func<int, long>>, Func<int, long>>> h = x => y => n => y(x(x)(y))(n);
Func<Func<Func<int, long>, Func<int, long>>, Func<int, long>> Θ = h(h);

还记得 上一篇文章 最后给出的代吗?(出处:http://blogs.msdn.com/b/madst/archive/2007/05/11/recursive-lambda-expressions.aspx

比较下,看看是不是一回事的。

调用下试试:

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var factorial = Θ(f => x => x == 0 ? 1 : x * f(x - 1));
var result = factorial(5);  // 120

封装 Θ

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public class ThetaCombinator {
    public static Func<TInput, TResult> Fix<TInput, TResult>(Func<Func<TInput, TResult>, Func<TInput, TResult>> f) {
        return Theta<TInput, TResult>.Fix(f);
    }
    static class Theta<TInput, TResult> {
        delegate T SelfApplicable<T>(SelfApplicable<T> self);
        static readonly SelfApplicable<Func<Func<Func<TInput, TResult>, Func<TInput, TResult>>, Func<TInput, TResult>>> h = x => y => n => y(x(x)(y))(n);
        public static readonly Func<Func<Func<TInput, TResult>, Func<TInput, TResult>>, Func<TInput, TResult>> Fix = h(h);
    }
}

调用示例代码:

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var factorial = ThetaCombinator.Fix<int, int>(f => n => n == 0 ? 1 : n * f(n - 1));
var result1 = factorial(5);   // 120

var fibonacci = ThetaCombinator.Fix<int, int>(f => n => n < 2 ? n : f(n - 1) + f(n - 2));
var result2 = fibonacci(5);   // 5

后记

http://blogs.msdn.com/b/madst/archive/2007/05/11/recursive-lambda-expressions.aspx 文中也给出了下面一种简单到极致的写法:

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Func<T, T> Fix<T>(Func<Func<T,T>, Func<T,T>> F) {
  return t => F(Fix(F))(t);
}

增加一个泛型参数并修改下参数的名称,得出:

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Func<T, TResult> Fix<T, TResult>(Func<Func<T,TResult>, Func<T,TResult>> f) {
  return t => f(Fix(f))(t);
}

便是 装配脑袋 给出的写法。下一篇文章 中将说明这个是如何编导出的。